第19讲 数学方法在物理解题中的应用（上）（原卷版）

第19讲 数学方法在物理解题中的应用（上）

【方法指导】

1．动态平衡问题的几何解法

等效圆周角不变法

物体受三个力平衡：一个力恒定、另外两个力大小、方向都变化，但两力夹角不变时可用此法(如图)．由弦长的变化判断力的变化，此类题也可用正弦定理求解．

2．与圆有关的几何知识

(1)周长：2πr，面积：πr2；

(2)直径所对的圆周角是直角；

(3)同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对圆心角的一半；

(4)圆的函数方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2是以点(a，b)为圆心、r为半径的圆．

3.三角函数

y＝acos θ＋bsin θ＝ (cos θ＋sin θ)

令sin φ＝，cos φ＝

则有：y＝ (sin φcos θ＋cos φsin θ)＝sin (φ＋θ)

所以当φ＋θ＝时，y有最大值，且ymax＝.

4.二次函数

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数且a≠0)，当x＝－时，y有极值ym(a>0时，ym为极小值；a<0时，ym为极大值)．

【例题精析】

[例题1]             如图所示，两细绳栓一小球使其恰在圆环的圆心O位置．已知两绳夹角∠AOB＞90°，让圆环在竖直面内绕过O点的水平轴缓慢地逆时针转动，当OA由竖直转到水平位置的过程中，OA的作用力FA和OB的作用力FB的变化情况是（　　）

A．FA先增大后减小，FB先增大后减小 

B．FA增大，FB先增大后减小 

C．FA增大，FB增大 

D．FA先增大后减小，FB增大

[例题2]             质量为5kg的木块与水平面间动摩擦因数为，一人欲用最小的作用力F使木块沿地面匀速运动，如图所示，则此最小作用力的大小和F与水平面的夹角θ分别为（g＝10m/s2）（　　）

A．10N　30° B．N　0 C．25N　30° D．25N　60°

[例题3]             如图所示为某弹射游戏装置，处于竖直平面内的三段光滑管道AB、BC、CDE，其中AB是水平放置直管道，BC是半径R＝0.8m的四分之一圆弧管道，CDE是半径r＝0.4m的四分之三圆弧管道，D为管道最高点，出口E点切线水平，长L（可调）摩擦因数为μ＝0.5的粗糙水平轨道EK，与圆弧轨道相连于E点（EK与BC错开）。已知弹簧的劲度系数k＝400N/m，在弹性限度内弹性势能EP（x为弹簧的形变量）。游戏过程弹簧均未超出弹性限度，弹射装置发射的小球可视为质点，质量m＝0.1kg，管道粗细可以忽略，忽略空气阻力。（计算结果可以用根号表示）

（1）若某次小球发射后刚好能过D点，求小球通过圆弧管道最低点B时对轨道的压力；

（2）若某次游戏时L＝1.36m，要使小球能从K点射出，则弹簧的形变量至少要多少；

（3）现使弹簧储存EP＝1.4J的弹性势能，应调节EK长度L为何值时，小球第一次落地点与E点水平距离最大，并求出最大距离。

【强化专练】

1. （多选）光滑半圆弧形轻杆固定在地面上，轻绳一端跨过定滑轮，另一端连接一穿在轻杆上的小球，拉动轻绳，使小球从A点缓慢运动到B点的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．轻杆对小球的支持力变小 

B．轻杆对小球的支持力不变 

C．轻绳对小球的拉力变小 

D．轻绳对小球的拉力先变小再变大

2. 在上海世博会最佳实践区，江苏城市案例馆中穹形门窗充满了浓郁的地域风情和人文特色．如图所示，在竖直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸长的轻绳通过光滑的轻质滑轮悬挂一重物G．现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近（C点与A点等高）．则绳中拉力大小变化的情况是（　　）

A．先变小后变大 B．先变小后不变 

C．先变大后不变 D．先变大后变小

3. 某游乐场游戏装置示意图如图甲所示，水平平台上固定一竖直光滑曲面，曲面下端A切线水平，并与半径为r＝2m的竖直光滑圆轨道平滑连接，质量为m＝2kg的物块P从光滑曲面上离平台高度为h处静止释放，先通过圆轨道后再进入平台AC，与质量相同的物块Q在AC之间发生弹性碰撞。圆轨道的最高点B处有一力传感器，可以测出物块经过B点时对轨道的压力F，取不同的高度h得到相应的压力F，作出F﹣h关系图，如图乙所示。已知平台AC长度为L＝6m，物块与平台之间的动摩擦因数μ满足μ（x为物块所在平台上的位置到A点的距离），平台离地面高度为H＝5m，不计空气阻力。

（1）若物块P恰好通过最高点B，求对应h1的值，并确定图乙中a的值；

（2）若物块Q恰好到达C处，求h2的值；

（3）若将平台左端截去长为ΔL的一小段，物块P仍从第（2）问中位置静止释放，物块Q在物块P的碰撞下滑离平台，落在水平地面上的D点，要使AD的水平距离最大，求ΔL的值。