2022-2023学年河南省郑州市八年级（下）第一次调研数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省郑州市八年级（下）第一次调研数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，下列不等式不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在数轴上表示不等式的解集，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，在中，是的垂直平分线，平分，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.  某公园的，，处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在(    )

A. 三边高线的交点处
B. 三角角平分线的交点处
C. 三边中线的交点处
D. 三边垂直平分线的交点处

8.  小聪用元钱去购买笔记本和钢笔共件已知每本笔记本元，每支钢笔元，设小聪最多能买支钢笔可列出不等式(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么，两地的距离为(    )

A. 千米
B. 千米
C. 千米
D. 千米

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  不等式的最大整数解是        ．

12.  如图，在中，，，分别过点、作经过点的直线的垂线段、，若厘米，厘米，则的长为        ．

13.  小明做了一个如图所示的风筝，其中，，小明说不用测量就知道是的垂直平分线．其中蕴含的道理是______．

14.  如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，若，则的长为        ．

15.  小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在中，，，第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图；第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为______ ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
小马虎解不等式出现了错误，解答过程如下：
不等式两边都乘以，得第一步
去括号，得第二步
移项，合并同类项，得第三步
解得第四步
小马虎解答过程是从第______步开始出错的，出错的原因是______．
请写出此题正确的解答过程．

17.  本小题分
如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．
在图中画出以为一边，面积为的等腰三角形．
在图中画出的角平分线的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；保留作图痕迹；标注相关字母．
 

18.  本小题分
已知：如图，在中，平分，．
求证：是等腰三角形．
若，，求的度数．

19.  本小题分
画出函数的图象，利用图象：
求方程的解；
求不等式的解集；
若，求的取值范围．

20.  本小题分
如图，已知、相交于点，，于点，于点，．
求证：≌；
试猜想与的大小关系，并说明理由．

21.  本小题分
如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
若，则的度数是______度；
若，的周长是．
求的长度；
若点为直线上一点，请直接写出周长的最小值．

22.  本小题分
某校购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元，且购买乙种树苗的棵数比甲种树苗棵数的倍多棵．
若购买两种树苗的总费用不超过元，最多可以购买甲种树苗多少棵？
为保证绿化效果，学校决定再购买甲、乙两种树苗共棵两种树苗都要买，总费用不超过元，问有哪几种可能的购买方案？

23.  本小题分
如图，已知等边的边长为，现有两点、分别从点 、点同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点的速度，点的速度为当点第一次到达点时，、同时停止运动．

当点第一次到达点时，点的位置在        ；当、运动秒时，点追上点；
当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间．
当为直角三角形时，运动时间的值是        ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
当时，；当时，，故本选项符合题意；
D.，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
根据等角对等边即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，关键是熟悉等角对等边的性质．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
不等式的解集为：，
故选：．
解不等式求得不等式的解集，然后将不等式的解集在数轴上表示出来就可判定答案了．
此题考查一元一次不等式问题，注意空心和实心的不同表示．不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．
 

4.【答案】 

【解析】解：是的平分线，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
；
，，，
，
故选：．
根据角平分线的定义得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，根据三角形的内角和得到；再由直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了含直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：关于的不等式的解集为，，
，
，
故选：．
先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出的符号，再求出的取值范围即可．
本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于的不等式是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：三角形的内角和为，等腰三角形的两个底角相等，
等腰三角形的底角度数小于，
，
的角只能是顶角，
这个等腰三角形的顶角度数为，
故选：．
三角形的三个内角的度数是，等腰三角形的两个底角相等，则底角一定是锐角．
本题侧重考查等腰三角形的性质、三角形内角和等于度，掌握等腰三角形性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：售票中心到出口、的距离相等，
售票中心到在线段的垂直平分线上，
同理可得，售票中心应该在三条边的垂直平分线的交点，
故选：．
由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．
 

8.【答案】 

【解析】解：设小张买了支钢笔，则应满足的不等式是．
故选：．
根据题意分别表示出笔记本和钢笔总钱数进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确表示出总钱数是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：函数过点，
，
解得：，
，
不等式的解集为．
故选：．
首先利用待定系数法求出点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出点坐标．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作于，

由题意得，，，
，
，
，
，，
千米，，
千米，
千米，
故选：．
图所示，过点作于，由题意得，，，利用三角形内角和定理求出，再求出，，得到千米，，利用勾股定理求出千米，即可利用勾股定理求出的长．
本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
；
不等式的最大整数解是；
故答案为：．
先求出不等式的解集，再进行判断即可．
本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键．
 

12.【答案】厘米 

【解析】解：，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
厘米，厘米，
则厘米，
故答案为：厘米．
利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得≌，再由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长．
此题考查了全等三角形的判定与性质，根据平角的定义及同角的余角相等证得是解决问题的关键．
 

13.【答案】与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 

【解析】解：根据题意知，，，
≌，
垂直平分，
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
根据，知≌，即可知垂直平分，既而知线段垂直平分线性质．
本题考查了线段垂直平分线的性质，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据作法可知，为的平分线，，则，，然后即可解答．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和解直角三角形．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题主要考查了翻折问题，含角的直角三角形，直角三角形的边角关系，特殊角的三角函数值，全等三角形的性质．翻折属于全等变换，对应部分相等，这是解题的关键，当点恰好落在直角三角形纸片的边上时，要注意分类讨论．
分两种情形解答：点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：≌≌，则，；垂直平分线段；利用，可求得，则，解直角三角形可求线段；点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：≌≌，则，，；在中，利用所对的直角边等于斜边的一半可得结论．
【解答】
解：点恰好落在直角三角形纸片的边上时，设交边于点，如图，

由题意：≌≌，垂直平分线段．
则，．
，，，
．
，
，
．
．
在中，
，
，
．
点恰好落在直角三角形纸片的边上时，如图，

由题意：≌≌，；
则，．
，，
，
．
综上，线段的长为：或．
故答案为：或．  

16.【答案】一  去分母时漏乘常数项 
不等式两边都乘以得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
解得：．
即不等式的解集为：． 

【解析】

解：两边应该同时乘以，
不等式左边，
右边，
即从第一步开始出错，出错原因是去分母时漏乘常数项，
故答案为：一，去分母时漏乘常数项，
【分析】
根据不等式的性质，去分母时不等式两边应该同时乘以，第一步开始出错，出错原因是去分母时漏乘常数项，
依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可得到答案．
本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本方法．  

17.【答案】解：，，
边上的高，
如图，

如图，即为所求．
 

【解析】根据等腰三角形的定义，以及面积为，作出图形即可；
取格点，连接交格点，作射线交于，则即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，角平分线等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

18.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
解：，，
，
，
，
平分，
． 

【解析】先根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得到，所以，从而得到结论；
先利用三角形内角和计算出，再利用平行线的性质得的度数，最后由角平分线的定义得结果．
本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了平行线的性质．
 

19.【答案】解：画出函数的图象如图：

由图象知，方程的解是；
由图象知，不等式的解集是；
由图象知，当时，的取值范围是． 

【解析】根据函数图象与轴交点的横坐标是相应方程的解，可得答案；
根据函数与不等式的关系：轴上方的部分是不等式的解集，可得答案；
根据函数值的取值范围，可得相应自变量的取值范围；
本题考查了一次函数图象，利用了函数与方程的关系：函数图象与轴交点的横坐标是相应方程的解；又利用了函数与不等式的关系：图象位于轴上方的部分是相应不等式的解集．
 

20.【答案】证明：，
，
即，
于点，于点，
，
在和中，
，
≌；
解：，理由如下：
≌，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据可证明：≌；
根据证明≌可得结论．
本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：；
是的垂直平分线，
，
的周长．
，的周长是，
；
周长的最小值为． 

【解析】

【分析】
本题主要考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；当点与点重合时，周长的值最小，于是得到结论．
【解答】
解：，
，
．
的垂直平分线交于点，
，
，
故答案为：；
见答案；
当点与重合时，周长的值最小，理由：
，，
点与点重合时，，此时最小，
周长的最小值．  

22.【答案】解：设购买甲种树苗棵，
由题意可得：，
解得：，
答：最多可以购买甲种树苗棵；
设再购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以取，，
该园林部门共有种购买方案，
方案：购买甲种树苗棵，乙种树苗棵；
方案：购买甲种树苗棵，乙种树苗棵． 

【解析】设购买甲种树苗棵，由购买两种树苗的总费用不超过元，列出不等式，可求解；
设再购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，由总费用不超过元，列出不等式，即可求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】的中点 或或或 

【解析】解：当点  第一次到达  点时，，
此时运动了，
点的位置在线段的中点，
设点、运动秒后，、两点重合，，
解得：，
即当、运动秒时，点追上点．
故答案为：的中点；

当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
由知秒时、两点重合，恰好在处，
如图，假设是等腰三角形，

，
．
，
是等边三角形，
，，
在和中，
，，
≌
，
，
解得，符合题意．
所以假设成立，当、运动秒时，能得到以为底的等腰三角形；

当点在上运动时，如图，
若，
，，
，
，
，即，解得．

如图，当，
同理可得：由得，解得；
当点在上运动时，点也在上，此时，，不能构成三角形：
当点在上运动时，
如图，当点位于中点处时，由为等边三角形知，
即是直角三角形，
则，解得．

如图，当点位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，
则；
综上，当或或或时，可得到直角三角形．
故答案为：或或或．
先求解第一次到达的时间，可得的位置，再点、运动秒后，、两点重合，可得，再解方程即可；
先证明≌，可得，再建立方程，即可得到答案；
当点在上运动时，如图，若，如图，当，再利用含的直角三角形的性质列方程即可，当点在上运动时，点也在上，此时，，不能构成三角形：当点在上运动时，如图，当点位于中点处时，由为等边三角形知，如图，当点位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形，再列方程求解即可．
本题考查的是动态几何问题，等边三角形的性质，等腰三角形的定义，含的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．