中考数学总复习第02讲 有理数的加减法难点解析与训练

第02讲  有理数的加减法

考点·方法·破译

1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.

2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.

3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.

4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.

经典·考题·赏析

【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（    ）

A．0.3元  B．16.2元  C．16.8元  D．18元

【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．

【变式题组】

01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（    ）

A．8℃  B．－8℃  C．6℃  D．2℃

02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________

03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________

【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）

【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.

解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85

【变式题组】

01．（－2.5）＋（－3）＋（－1）＋（－1）

02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）

03．0.125＋3＋（－3）＋11＋（－0.25）

【例３】计算

【解法指导】依进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.

解：原式＝

        ＝

        ＝＝

【变式题组】

01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）

02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算＝__________.

【例４】如果a＜0，b＞0，a＋b＜0，那么下列关系中正确的是（     ）

A．a＞b＞－b＞－a  B．a＞－a＞b＞－b  

C．b＞a＞－b＞－a  D．－a＞b＞－b＞a

【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.

解：∵a＜0，b＞0，∴a＋b是异号两数之和

又a＋b＜0，∴a、b中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |

将a、b、－a、－b表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a＞b＞－b＞a

【变式题组】

01．若m＞0，n＜0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）

02．若m＜0，n＞0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）

03．已知a＜0，b＞0，c＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a、b、c、a＋b、a＋c的大小

【例５】4－（－33）－（－1.6）－（－21）

【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.

解：4－（－33）－（－1.6）－（－21）＝4＋33＋1.6＋21

    ＝4.4＋1.6＋（33＋21）＝6＋55＝61

【变式题组】

01．

02．4－（＋3.85）－（－3）＋（－3.15）

03．178－87.21－（－43）＋153－12.79

【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…

⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？

⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？

⑶求这列数中所有正数的和.

【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.

解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)

⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1

故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.

⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169

【变式题组】

01．(杭州)观察下列等式

1－＝，2－＝，3－＝，4－＝…依你发现的规律，解答下列问题.

⑴写出第5个等式；

⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？

02．观察下列等式的规律

9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20

⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；

⑵当这个等式的右边等于2008时求n.

【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）

【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.

解：设S＝＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）

则有S＝＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）

将原式和倒序再相加得

2S＝＋＋（＋＋＋）＋（＋＋＋＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋＋＋＋…＋＋）

即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝＝1225

∴S＝

【变式题组】

01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210

02．（第8届希望杯试题）计算（1－－－…－）（＋＋＋…＋＋）－（1－－－…－）（＋＋＋…＋）

演练巩固·反馈提高

01．m是有理数，则m＋|m|（    ）

A．可能是负数     B．不可能是负数  

C．比是正数      D．可能是正数，也可能是负数

02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（    ）

A． 5   B．1   C．1或5   D．±1或±5

03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（    ）

A． 1   B．0   C．－1    D．－3

04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（    ）

A．两数一定都是正数    B．两数都不为0  

C．至少有一个为负数    D．至少有一个为正数

05．下列等式一定成立的是（    ）

A．|x|－ x ＝0 B．－x－x ＝0  C．|x|＋|－x| ＝0  D．|x|－|x|＝0

06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（   ）

A．－4℃  B．4℃   C．－3℃   D．－5℃

07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（    ）

A．－a   B．0   C．2a    D．－2a

08．设x是不等于0的有理数，则值为（    ）

A．0或1  B．0或2  C．0或－1   D．0或－2

09．（济南）2＋(－2)的值为__________

10．用含绝对值的式子表示下列各式：

    ⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________

    ⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________

    ⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________

11．计算下列各题：

⑴23＋（－27）＋9＋5    ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25

⑶－0.5－3＋2.75－7   ⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－|

12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99

13．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：

＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5

⑴问收工时距离A地多远？

⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？

14．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的……以此类推，直到最后减去余下的，最后的得数是多少？

15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如＋来表示，用＋＋表示等等.现有90个埃及分数：，，，，…，，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？

培优升级·奥赛检测

01．（第16届希望杯邀请赛试题）等于（    ）

A．   B．   C．   D．

02．自然数a、b、c、d满足＋＋＋＝1，则＋＋＋等于（    ）

A．   B．   C．   D．

03．（第17届希望杯邀请赛试题）a、b、c、d是互不相等的正整数，且abcd＝441，则a＋b＋c＋d值是（    ）

A．30   B．32   C．34   D．36

04．（第7届希望杯试题）若a＝，b＝，c＝，则a、b、c大小关系是（    ）

A．a＜b＜c  B．b＜c＜a  C．c＜b＜a  D．a＜c＜b

05．的值得整数部分为（    ）

A．1   B．2   C．3   D．4

06．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（    ）

A．－22003   B．22003   C．－22004   D．22004 

07．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m＋1，则(4m＋1)2004＝__________

08．＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋）＝__________

09．＝__________

10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________

11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________

12．已知(a＋b)2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝0，求aB．

13．计算(－1)(－1) (－1) … (－1) (－1)

14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.