中考数学总复习第10讲 直线、射线、线段难点解析与训练

第10讲    直线、射线、线段

考点·方法·破译

1．会正确地画出和表示直线、射线、线段；会用中点解题．

2．应用“两点之间，线段最短”解决实际问题，会求两点之间的距离．

经典·考题·赏析

【例1】指出图中的直线、射线和线段．

【解法指导】本题紧扣直线、射线、线段的概念及性质，注意它们的表示方法的不同，找直线、射线时，注意直线两端可以无限延伸，而射线只有一端可以无限延长，线段是无法延长的，只有当两条射线的端点和方向相同时，两条射线才表示同一条射线，在同一直线上，不同两点间的部分表示不同的线段．

解：直线有一条是直线AD，射线有六条，分别是射线BA、BD、CA、BE、CD、EF．线段有三条，分别是线段BC、BE、CE．

【变式题组】

01．（兰州）下列语句表述正确的是（    ）

A．延长射线OC       B．射线BA与射线AB是同一条射线

C．作直线AB＝BC      D．已知线段AB，作线段CD＝AB

02．（南京）如图，可以用字母表示出来的不同射线有（    ）

A．4条    B．6条    C．5条    D．1条

03．（秦皇岛）如图，直线l、线段a及射线DA，能相交的图形是（    ）

A．①③④   B．①④⑥   C．①④⑤   D．②③⑥

【例2】（云南）在同一平面内不在同一直线上的3个点，过任意2个点作一条直线，则可作直线的条数为________．

【解法指导】因为3点不共线，任意两点都可能确定一条直线，从政个点中任选出两个点，共有3种情况，所以共可作直线的条数为3条．

【变式题组】

01．（丹东）根据语句“点M在直线a外，过M有一直线b交直线a于点N，直线b上另一点Q位于M、N之间”画图，正确的是（    ）

02．（北京）根据下列语句画出图形

⑴直线AB经过点C；

⑵经过点M、N的射线NM；

⑶经过点O的两条直线m、n；

⑷经过三点E、F、G中的每两点画直线．

03．（温州）如图A、B、C表示3个村庄，它们被三条河隔开，现在打算在每两个村庄之间都修一条笔直公路，则一共需架多少座桥？请你在图上用字母标明桥的位置．

【例3】已知：线段AB＝10cm，M为AB的中点，在AB所在直线上有一点P，N为AP的中点，若MN＝1.5cm，求AP的长．

【解法指导】题中已说明P在AB所在直线上，即说明P点可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上（不可能在BA的延长线上），故应分类讨论．

解：⑴如图①，当点P在线段AB上时，点N在点M的左侧，则AP＝2AN＝2（AM－MN）＝2（AB－MN）＝2×（5－1.5）＝7（cm）；

⑵当点P在线段AB的延长线上时，N点在M点的右侧如图②，则AP＝2AN＝2（AM＋MN）＝2（AB＋MN）＝2×（5＋1.5）＝13（cm）；

所以AP的长为7cm或13cm

【变式题组】

01．（昆明）已知A、B、C为直线l上的三点，线段AB＝9cm，BC＝1cm，那么A、C两点间的距离是（    ）

A．8cm    B．9cm    C．10cm    D．8cm或10cm

02．（十堰）如图C、D是线段AB上两点，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则AC的长等于（    ）

A．3cm    B．6cm    C．11cm    D．14cm

03．（青海）已知线段AB，C是AB的中点，D是BC的中点，下面等式不正确的是（    ）

A．CD＝AB－BD  B．CD＝AD－BC  C．CD＝AB－BD  D．CD＝AB

【例4】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个站，问：

⑴要有多少种不同的票价？

⑵要准备多少种车票？

【解法指导】首先要能把这个实际问题抽象成一个数学问题，把车站和三个停方点当作一条直线上的五个点，票价视路程的长短而变化，实际上就是要找出图中有多少条不同的线段．因为不同的线段就是不同的票价，故求有多少种票价即求有多少条线段，而要求有多少种车票即是求有多少条射线．

解：因为图中有10 条不同的线段，故票价有10种；有20条不同的射线，故应准备20种车票．

【变式题组】

01．（河南）如图从A到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中、从A到B有2条水路、2条陆路；从B地到C地有3条陆路可供选择；走空中从A不经B地直接到达C地，则从A地到C地可供选择的方案有（    ）

A．20种  B．8种  C．5种  D．13种

02．（海南）如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交于点O，则图中的菱形共有（    ）

A．4个   B．5个   C．6个   D．7个

3．（佛山实验区）A车站到B车站之间还有3个车站，那么从A车站到B车站方向发出的车辆，一共有多少种不同的车票（    ）

A．8    B．9    C．10    D．11

【例5】如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，M是AD的中点，CD＝8，求MC的长．

【解法指导】由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，可设AB＝2x，CD＝3x，CD＝4x，由CD＝4x＝8，而求得x的值，进而求出MC的长．

解：设AB＝2x，由AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，得CD＝4x，CD＝3x，AD＝（2＋3＋4）x＝9x，∵CD＝8，∴x＝2，∴AD＝9x＝18，∵M是AD的中点，∴MC＝MD－CD＝AD－CD＝×18－8＝1

【变式题组】

01．（河北）如图，长度为12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分MC∶CB＝1∶2，则线段AC的长度为（    ）

A．2cm    B．8cm    C．6cm    D．4cm

02．（随州）已知线段AB＝16cm，点C在线段AB上，且BC＝AC，M为BC的中点，则AM的长为________.

03．（黄冈）已知线段AB＝12cm，直线AB上有一点C，且BC＝6cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长．

【例6】如图⑴，一只昆虫要从正方体的一个顶点A爬行相距它最远的另一个顶点B，哪条路径最短？说明理由．

【解法指导】解答此类题的方法是将立方体展开，再根据两点之间，线段量短．

解：将立方体展开成如图⑵，由两点之间线段最短知线段AB即为最短路线．

【变式题组】

01．（天津）下列直线的说法错误的是（    ）

A．经过一点可以画无数条直线    B．经过两点可以画一条直线

C．一条直线上只有两个点     D．两条直线至多只有一个公共点

02．（湘潭）如图所示，从A地到B地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路线，这是因为（    ）

A．两点之间线段最短   B．两直线相交只有一个交点

C．两点确定一条直线   D．垂线段最短

【例7】（第五局“华罗庚金杯”赛试题）摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？

【解法指导】条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形思考它们之间的关系．

解：设小镇为D，傍晚汽车在E休息，则AD＝DC，EB＝CE，AD＋EB＝DE＝200，

∴AB＝AD＋EB＋DE＝200＋400＝600．

答：A、B两市相距600千米．

【变式题组】

01．（哈尔滨）已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E、F分别为线段OA、OB的中点，则线段EF的长度为____cm．

02．（银川）AB、AC是同一条直线上的两条线段，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，线段BC与MN的大小有什么关系？请说明理由．

03．（河南）如图，线段AB＝4，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，小明据此很轻松地求得CD＝2，但他在反思的过程突发奇想：若点O运动到AB的延长线上，原有的结论“CD＝2”是否仍成立？请帮小明画出图形并说明理由．

演练巩固  反馈提高

01．当AB＝5cm，BC＝3cm时，A、C两点间的距离是（    ）

A．无法确定   B．2cm    C．8cm    D．7cm

02．下列说法正确的是（    ）

A．延长直线AB  B．延长线段AB  C． 延长射线AB  D．延长线段AB

03．若PA＋PB＝AB，则（    ）

A．P点一定在线段AB上     B．P点一定在线段AB外

C．P点一定在AB的延长线上    D．P点一定在线段BA的延长线上

04．（内江）已知点C是线段AB上的一点，下列说法中不能说明点C是线段AB的中点是（    ）

A．AC＝BC   B．AC＝AB   C．AC＋BC＝AB  D．2AC＝AB

05．如图，已知线段AD＞BC，则线段AC与BD的关系是（    ）

A．AC＞BD   B．AC＝BD   C．AC＜BD   D．不能确定

06．（黄冈）某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，那么它有位置应在（    ）

A．A区    B．B区    C．C区    D．A、B两区之间

07．（广州）线段AB＝4cm，在直线AB上截取BC＝1cm，则AC＝________.

08．（云南）延长线段AB到点C，使BC＝AB，D为AC的中点，且DC＝6cm，则AB的长是________cm．

09．在直线l上任取一点A，截取AB＝16cm，再截取AC＝40cm，求AB的中点D与AC的中点E的距离．

10．线段AB上有两点M、N，点M将AB分成2∶3两部分，点N将AB分成4∶1两部分，且MN＝3cm，求AM、NB的长．

11．如图，C是线段AB上一点，D是线段BC的中点，已知图中所有线段长度之和为23，线段AC与线段CB的长度都是正整数，则线段AC的长度是多少？

12．如图B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，M是AD的中点，CD＝8，求MC的长．

13．指出图中的射线（以O为端点）和线段．

14．判断下列语句是否正确：

⑴直线l有两个端点A、B；

⑵延长射线OA到C；

⑶已知A、B两点，经过A、B两点只有一条线段．

15．已知A、B、C三点：⑴AB＝10cm，AC＝15cm，BC＝5cm；⑵AB＝5.2cm，AC＝9cm，BC＝3.8cm；⑴AB＝3.2cm，AC＝1.5cm，BC＝4.5cm．A、B、C三点是否在一条直线上？

培优升级    奥赛检测

01．（全国初中数学联赛试题）在一条直线上已知四个不同的点依次是A、B、C、D的距离之和最小小的点（    ）

A．可以是直线AD外的某一点    B．只有点B或点C

C．只是线段AD的中点     D．有无穷多个

02．（“五羊杯”邀请赛）如图，已知B是线段AC上一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4

03．（海南省竞赛题）如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，若想求出MN的长度，则只需条件（    ）

A．AB＝12   B．BC＝4   C．AM＝5   D．CN＝2

04．（第18届江苏省竞赛题）已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足a＜b＜c，abc＜0和a＋b＋c＝0，那么线段AB与BC的大小关系是（    ）

05．（江苏省竞赛题）如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点，已知AC＝p，且p、q、r为质数，p＜q，p＋q＝r，又知图中所有线段长度之和为27，则线段AB的长是（    ）

A．8    B．7    C．6    D．非上述答案

06．（襄樊）下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（    ）

A．①②    B．①③    C．②④    D．③④

07．平面上有四个点，经过其中每两点画一条直线，那么一共可以画直线（    ）

A．6条         B．1条或3条或6条

C．1条或4条       D．1条或4条或6条

08．（第十六届江苏省竞赛题）如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，20公里，而村庄G正好是AF的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（    ）

A．A处    B．C处    C．G处    D．E处

09．如图，A、B、C、D四点在同一直线上，M是AB的中点，N是线段DC的中点，MN＝a，BC＝b，则AD＝（    ）

A．a＋b    B．a＋2b    C．2b－a   D．2a－b             

10．如图AC＝AB，BD＝AB，且AE＝CD，则CE为AB长的（    ）

A．    B．    C．    D．

11．（“希望杯”邀请赛试题）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_____个，最多为______个．

12．把线段AB延长到D使BD＝AB，再延长BA到C，使CA＝AB，则BC是CD的___倍.

13．已知A、B、C三点在一条直线上，若线段AB＝60，其中点为M，线段BC＝20，其中点为N，求MN的长．