期中模拟卷C卷（范围：八下苏科第7-10章）——2022-2023学年苏科版数学八年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

八年级数学下册期中模拟卷C卷

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．

【解答】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

2．（2分）为了解某市2020年参加中考的34000名学生的视力情况，抽查了其中1800名学生的视力进行统计分析，下面叙述错误的是（　　）

A．34000名学生的视力情况是总体 

B．本次调查是抽样调查 

C．1800名学生的视力情况是总体的一个样本 

D．样本容量是34000

【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．

【解答】解：A．34000名学生的视力情况是总体，故A不符合题意；

B．本次调查是抽样调查，故B不符合题意；

C．1800名学生的视力情况是总体的一个样本，故C不符合题意；

D．样本容量是1800，故D符合题意；

故选：D．

【点评】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．

3．（2分）在一个不透明的布袋中装有56个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有（　　）

A．11 B．13 C．14 D．16

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．

【解答】解：设袋中有黑球x个，

由题意得：0.2，

解得：x＝14，

经检验x＝14是原方程的解，

则布袋中黑球的个数可能有14个．

故选：C．

【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

4．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝6cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C向点B运动，几秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形？（　　）

A．2秒 B．2秒或3秒 C．2秒或4秒 D．4秒

【分析】设点P、Q运动的时间为ts，依题意可表示出CQ，BQ，AP，PD的长，然后分①当BQ＝AP时，②当CQ＝PD时，两种情况列出方程求解即可．

【解答】解：设点P、Q运动的时间为t秒，依题意得，

CQ＝t，BQ＝6﹣t，AP＝2t，

PD＝9﹣2t，

①当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形，

即6﹣t＝2t，

解得t＝2．

②当CQ＝PD时，四边形CQPD是平行四边形，即t＝9﹣2t，

解得，t＝3，

所以经过2秒或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．

故选：B．

【点评】此题考查的是平行四边形的判定，能够进行正确分类计算是解决此题关键．

5．（2分）如果分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　）

A．缩小3倍 B．扩大3倍 C．不变 D．缩小6倍

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．

【解答】解：，

故选：A．

【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．

6．（2分）在分式（a，b为正数）中，字母a，b值分别扩大为原来的10倍，则分式值（　　）

A．扩大原来的10倍 B．缩小原来的 

C．不变 D．缩小为原来的

【分析】将a换为10a，b换为10b，计算得到结果，即可做出判断．

【解答】解：根据题意得：，

则分式的值缩小原来的．

故选：B．

【点评】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．

7．（2分）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若▱ABCD的周长为24，则△CED的周长为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，再根据平行四边形的性质可得AD+DC＝12，进而可得答案．

【解答】解：∵对角线AC的垂直平分线分别交AD于E．

∴AE＝CE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，DC＝AB，

∵若▱ABCD的周长为24，

∴DC+AD＝12，

∴△CDE的周长＝DE+EC+CD＝DE+EA+DC＝DA+DC＝12，

故选：B．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，平行四边形对边相等．

8．（2分）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（　　）

A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7

【分析】本题的关键是求出S△DMN，先连接AM，由于DE是△ABC的中位线，那么DE∥BC，且DEBC，M是DE中点，于是可知，DMBC，在△BCN中，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得DNBD，即，DNAD，于是S△DMNS△ADM，而S△ADMS△ADES△ABC（可设S△ABC＝1），那么S四边形ANME也可求，两者面积比也就可求．

【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DEBC，

若设△ABC的面积是1，根据DE∥BC，得△ADE∽△ABC，

∴S△ADE，

连接AM，根据题意，得S△ADMS△ADES△ABC，

∵DE∥BC，DMBC，

∴DNBN，

∴DNBDAD．

∴S△DNMS△ADM，

∴S四边形ANME，

∴S△DMN：S四边形ANME：1：5．

故选：A．

【点评】根据三角形的中位线定理，以及相似三角形的性质和三角形的面积公式找到图形中的各部分面积之间的关系，从而求得比值．

9．（2分）如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（　　）

A．1 B．1 C．21 D．21

【分析】由菱形的性质可得点A与点C关于BD对称，则△PCE的周长＝PC+PE+CE＝AE+CE，此时△PCE的周长最小，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，由∠BAD＝60°，可求∠EBG＝60°，则BG，EG，在Rt△AEG中，求出AE，则△PCE的周长＝AE+CE1，即为所求．

【解答】解：∵菱形ABCD，

∴点A与点C关于BD对称，

连接AE交BD于点P，连接PC，

则PE+PC＝PA+PE＝AE，

∴△PCE的周长＝PC+PE+CE＝AE+CE，此时△PCE的周长最小，

∵E是BC的中点，菱形ABCD的边长为2，

∴BE＝1，AB＝2，

过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，

∵∠BAD＝60°，

∴∠ABC＝120°，

∴∠EBG＝60°，

∴BG，EG，

在Rt△AEG中，AE2＝AG2+EG2，

∴AE，

∴△PCE的周长＝AE+CE1，

∴△PCE的周长的最小值为1，

故选：B．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握菱形的性质，将所求问题转化为求AE的长是解题的关键．

10．（2分）如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠FAE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．则下列结论中：①AF＝AE；②∠EGC＝2∠BAG；③DE+BG＝EG；④若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】①正确．证明△ADE≌△ABF（ASA）可得结论．

②正确．证明△AGF≌△AGE（SAS），推出∠AGF＝∠AGE＝90°﹣∠BAG，推出∠EGF＝180°﹣2∠BAG可得结论．

③正确．证明△GAF≌△GAE，推出GF＝GE可得结论．

④正确．当DE＝EC时，设DE＝EC＝a，BG＝x，则EG＝a+x，GC＝2a﹣x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABC＝∠ABF＝∠ADE＝∠BAD＝90°，

∵AE⊥AF，

∴∠EAF＝∠BAD＝90°，

∴∠BAF＝∠DAE，

∴△ADE≌△ABF（ASA），

∴AE＝AF，故①正确，

∵AG平分∠EAF，

∴∠GAF＝∠GAE，

∵AF＝AE，AG＝AG，

∴△AGF≌△AGE（SAS），

∴∠AGF＝∠AGE＝90°﹣∠BAG，

∴2∠AGF＝2（90°﹣∠BAG），即∠EGF＝180°﹣2∠BAG，

∵∠EGF＝180°﹣∠EGC，

∴180°﹣∠EGC＝180°﹣2∠BAG，

∴∠EGC＝2∠BAG，故②正确，

∵△ADE≌△ABF，

∴DE＝BF，

∵△AGF≌△AGE，

∴GF＝GE，

∵GF＝BF+BG＝DE+BG，

∴EG＝BG+DE，故③正确，

当DE＝EC时，设DE＝EC＝a，BG＝x，则EG＝a+x，GC＝2a﹣x，

在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，

∴（x+a）2＝a2+（2a﹣x）2，

解得xa，

∴CGa，EGa，

∴CE：CG：EG＝a：a：a＝3：4：5，故④正确，

∴正确的有①②③④共四个，

故选：D．

【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

11．（2分）代数式有意义，则x的取值范围是 　x≠3　．

【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．

【解答】解：由题意可得：2x﹣6≠0，

解得：x≠3，

故答案为：x≠3．

【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．

12．（2分）在4张完全相同的卡片上分别画上图①、②、③、④．在看不见图形的情况下随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是　　．

【分析】先判断图中中心对称图形的个数，再根据概率公式进行解答即可．

【解答】解：∵在这一组图形中中心对称图形的是：①②④共3个，

∴卡片上的图形是中心对称图形的概率是．

故答案为：．

【点评】本题主要考查的是概率公式及中心对称图形，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）．

13．（2分）已知在一个样本中，40个数据分别落在4个组内，第一、二、四组数据个数分别为5、12、8，则第三组的频数为　15　．

【分析】根据小组频数之和等于数据总和计算第三小组的频数．

【解答】解：根据题意可得：40个数据分别落在4个组内，第一、二、四组数据个数分别为5、12、8，

则第三组的频数为40﹣（5+12+8）＝15．

故本题答案为：15．

【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．

14．（2分）写出一个最简分式使它满足：含有字母x，y；无论x，y为何值时，分式的值一定是负的，符合这两个条件的分式可以是　　．

【分析】根据题意所列分式的值总是负数，那么只要分子、分母同号，且分式的值为负数即可：例如分母取x2+y2+1即可．

【解答】解：依题意得：符合条件的分式为：．

故答案是：．

【点评】本题主要考查最简分式，注意分式有意义，分母不为0．

15．（2分）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F．若∠ADE+∠CDF＝80°，则∠EDF等于 　50　度．

【分析】根据垂直的定义得到∠AED＝∠DFC＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠A+∠C＝180°﹣80°＝100°，根据菱形的性质得到∠A＝∠C＝50°，于是得到结论．

【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴∠AED＝∠DFC＝90°，

∵∠ADE+∠CDF＝80°，

∴∠A+∠C＝180°﹣80°＝100°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠A＝∠C＝50°，

∴∠ADC＝130°，

∴∠EDF＝∠ADC﹣（∠ADE+∠CDF）＝50°，

故答案为：50．

【点评】本题考查了菱形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

16．（2分）如图，菱形ABCD的顶点C在直线MN上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC的度数为 　35°　．

【分析】先求出∠BCD＝110°，再由菱形的性质得BC＝CD，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．

【解答】解：∵∠1＝50°，∠2＝20°，

∴∠BCD＝180°﹣∠1﹣∠2＝110°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝CD，

∴∠BDC＝∠DBC（180°﹣110°）＝35°，

故答案为：35°．

【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质，求出∠BCD＝110°是解题的关键．

17．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B1处．当以点C、E、B1为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为 　3或　．

【分析】分为两种情况，当∠CB′E＝90°和∠CEB′＝90°时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可．

【解答】解：如图，当∠CB′E＝90°时，

矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，

∴AC5，

由折叠性质可得：

AB′＝AB＝3，B′E＝BE，

∴B′C＝AC﹣AB′＝2，

设BE＝x，则：

CE＝4﹣x，B′E＝BE＝x，

在Rt∠B′CE中，由勾股定理可得：

x2+22＝（4﹣x）2，

解得：x，

∴BE，

如图，当∠CEB′＝90°时，

∴∠BEB′＝90°，

由折叠性质可得：

∠AB′E＝∠ABE＝90°，B′E＝BE，

∴四边形ABEB′为正方形，

∴BE＝B′E＝AB＝3，

综上，BE＝3或，

故答案为：3或．

【点评】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是分两种情况考虑，画出对应图形．

18．（2分）在△ABC中，点D为AB边上一点，连接CD，把△BCD沿着CD翻折，得到△B'CD，AC与B'D交于点E，若∠A＝∠ACD，AE＝CE，S△ACD＝S△B'CE，BC，则点A到BC的距离为 　　．

【分析】过点C作CM⊥AB，结合等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理求得CM的长，然后利用三角形面积公式列方程求解．

【解答】解：过点C作CM⊥AB，

∵∠A＝∠ACD，AE＝CE，

∴AD＝CD，DE⊥AC，

∴S△ACD＝2S△DCE，

又∵S△ACD＝S△B'CE，

∴2S△DCE＝S△B'CE，

∴，

设DE＝x，则B′E＝2x，

∴由折叠性质可得：DB′＝DB＝3x，BC＝B′C，∠B＝∠B′，

又∵CM⊥AB，DE⊥AC，

∴∠CMB＝∠CEB′，

∴△CMB≌△CEB′（AAS），

∴BM＝B′E＝2x，CE＝CM，

又∵CD＝CD，

∴Rt△CMD≌Rt△CED（HL），

∴CM＝CE，

∵S△ABCAB•CM（AD+BD）•CMCM（AD+3x），

S△ABC＝S△ADC+S△BDC＝2S△CDE+S△BDC＝2DE•CEBD•CMCMx，

∴CM（AD+3x）CMx，

解得：AD＝2x，

∴AD＝CD＝2x，

在Rt△CMD中，CM，

在Rt△BCM中，（2x）2+（x）2＝（）2，

解得：x＝±（负值舍去），

∴CM，AB，

设△ABC中BC边上的高为h，

∴S△ABCBC•hAB•CM，

∴，

解得：h，

即点A到BC的距离为，

故答案为：．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，题目有一定的综合性，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．

三．解答题（共8小题，满分64分）

19．（6分）化简：．

【分析】设x﹣y＝a，y﹣z＝b，x﹣z＝c，得出a+b＝x﹣z＝c，代入后通分，再变形，即可得出答案．

【解答】解：设x﹣y＝a，y﹣z＝b，x﹣z＝c，

则a+b＝x﹣z＝c，

＝﹣3．

【点评】本题考查了分式的加减的应用，能选择适当的方法进行计算是解此题的关键．

20．（6分）化简求值：（）；其中a2﹣a﹣1＝0．

【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解后约分得到原式，然后把a2＝a+1代入计算即可．

【解答】解：原式•

•

，

∵a2﹣a﹣1＝0．

∴a2＝a+1，

∴原式1．

【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

21．（8分）中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我县团委组织了一次全县初中学生参加的“中国诗词大会”海选比赛活动．为了解学生比赛情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩x取整数，总分100分）进行统计，得到下列统计图表：请根据所给信息，解答下列问题：

（1）本次“抽取200名学生海选比赛成绩进行统计”，这种调查属于 　抽样调查　．（填全面调查或抽样调查）

（2）图1条形统计图中D组人数为 　50　人，请补全条形统计图；

（3）在图2的扇形统计图中，a的值为 　15　，表示C组扇形的圆心角的度数为 　72　度；

（4）规定：海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”可以晋级下一轮比赛，其余淘汰．若某校参加这次海选比赛的学生共有2000人，请估计该校参加这次海选比赛淘汰的学生有多少人？

【分析】（1）根据题意可以判断出是抽样调查；

（2）从调查人数减去A、B、C、E组人数，剩下的就是D组人数；

（3）B组人数除以调查人数即可，360°乘以C组人数所占调查人数的百分比即可求出，

（4）用样本估计总体，实际总人数乘以样本中不优秀人数所在调查人数的百分比．

【解答】解：（1）根据题意可以判断出是抽样调查；

故答案为：抽样调查．

（2）条形统计图中的D组人数：200﹣10﹣30﹣40﹣70＝50人，

故答案为：50．

（3）30÷200＝15%，

360°72°，

故答案为：15，72．

（4）20001300（人），

答：估计该校参加这次海选比赛淘汰的学生有1300人．

【点评】考查条形统计图、扇形统计图的制作方法及两个统计图所反映数据的特点，掌握用样本估计总体的统计思想方法．

22．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠A＝130°，DE平分∠ADC交AB于点E，连接CE．

（1）请用直尺和圆规过E点作BC的垂线，交BC于点M（保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，当M是BC的中点时，求∠DEC的度数．

【分析】（1）利用尺规作出图形即可．

（2）利用平行四边形的性质以及角平分线的性质求出∠EDC，∠ECD，再利用三角形内角和定理解决问题即可．

【解答】解：（1）如图，直线EM即为所求作．

（2）∵BM＝CM，EM⊥BC，

∴EB＝EC，

∴∠B＝∠ECB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠BCD＝130°，AB∥CD，

∴∠B＝∠ADC＝50°，

∵DE平分∠ADC，

∴∠EDC＝25°，

∵∠ECD＝∠BCD﹣∠ECB＝130°﹣50°＝80°，

∴∠CED＝180°﹣80°﹣25°＝75°．

【点评】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，属于中考常考题型．

23．（8分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）证明：四边形ADCF是菱形；

（3）若AC＝4，AB＝5，直接写出菱形ADCF的面积．

【分析】（1）由AAS证明△AEF≌△DEB即可；

（2）由全等三角形的性质得AF＝DB，证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD＝CD，可证得结论；

（3）根据条件可证得S菱形ADCF＝S△ABC，再由三角形面积公式可求得答案．

【解答】（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD的中点，

∴AE＝DE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB（AAS）；

（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，

∴AF＝DB，

∵AD为BC边上的中线，

∴DB＝DC，

∴AF＝CD，

∵AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，

∴，

∴平行四边形ADCF是菱形；

（3）解：∵D是BC的中点，

∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABCAB•AC5×4＝10．

【点评】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的判定方法，证明△AEF≌△DEB是解题的关键．

24．（8分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为CD中点，F为AD中点，AE与BF交于点G．

（1）求证：△ABF≌△DAE；

（2）连结BE，记BE中点为H，求GH的长．

【分析】（1）由“SAS”可证△ABF≌△DAE；

（2）由勾股定理可求BE的长，由全等三角形的性质可得∠DAE＝∠ABF，可证∠BGE＝90°，由直角三角形的性质可求解．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝CD＝4，

∵E为CD中点，F为AD中点，

∴AF＝DE＝2，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（SAS）；

（2）解：∵BC＝4，EC＝2，

∴BE2，

∵△ABF≌△DAE，

∴∠DAE＝∠ABF，

∵∠DAE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠ABF，

∴∠BGE＝90°，

∵点H是BE的中点，

∴GHBE．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．

25．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，连接EF．

（1）若∠EAF＝45°，则仅根据图中已有的角与线段，你能推出哪些结论？这些结论的逆命题是否正确？

（2）如果在图中添加正方形的一条对角线，那么你又能推出哪些结论？它们的逆命题是否正确？

（3）如果在图中过点E、F分别作正方形边的平行线，那么你又能推出哪些结论？它们的逆命题是否正确？

（4）列举你所看到或研究过的与上述图形或结论有关的其它数学问题，你能否自行构造出一些与之相关的其它的数学问题？

【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADS，可使AB与AD重合，证出△AFS≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF＝FS，即可得出BE+DF＝EF；

（2）连接BD分别交AF、AE于Q、P，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，可得∠GBP＝90°，证明△AGP≌△AQP，即可得出DQ2+BP2＝PQ2；

（3）过E作EH∥AB交AD于H，过F作FM∥AD交AB于M，可得∠ABH＝∠BAE，∠AFM＝∠DAF，即可得∠AEH+∠AFM＝45°；

（4）列举一个用旋转解决问题的例子即可．

【解答】解：（1）由∠EAF＝45°可推得BE+DF＝EF，理由如下：

延长CD至S，使DS＝BE，连接AS，如图：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠ADS＝90°，AB＝AD，

∴△ABE≌△ADS（SAS），

∴AE＝AS，∠BAE＝∠DAS，

∴∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝∠DAS+∠EAD＝90°，即∠EAS＝90°，

∵∠EAF＝45°，

∴∠SAF＝45°＝∠EAF，

又AF＝AF，

∴△AEF≌△ASF（SAS），

∴EF＝SF，

又SF＝DF+DS＝DF+BE，

∴EF＝DF+BE；

其逆命题：若EF＝DF+BE，则∠EAF＝45°也正确；

（2）连接BD交AF于Q，交AE于P，如图：

可得DQ2+BP2＝PQ2，（提示：将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG，可得∠GBP＝90°，证明△AGP≌△AQP，即可得结论），

其逆命题：若DQ2+BP2＝PQ2，则∠EAF＝45°也正确；

（3）过E作EH∥AB交AD于H，过F作FM∥AD交AB于M，如图：

可得∠AEH+∠AFM＝45°，（提示：∠ABH＝∠BAE，∠AFM＝∠DAF），

其逆命题：若∠AEH+∠AFM＝45°，则∠EAF＝45°也正确；

（4）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，已知AB＝4，BC＝3，O是△ABC内一点，连接OA、OB、OC，求OA+OB+OC的最小值；

【点评】本题考查正方形中的“半角”模型，属于开放性试题，解题的关键是掌握用旋转的方法构造全等三角形．

26．（12分）如图1①②③，平面内三点O，M，N，如果将线段OM绕点O旋转90°得ON，称点N是点M关于点O的“等直点”，如果OM绕点O顺时针旋转90°得ON，称点N是点M关于点O的“正等直点”，如图1②．

（1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）．

①在P1（﹣1，2），P2（2，﹣1），P3（1，﹣2）三点中，　P1，P3　是点P关于原点O的“等直点”；

②若直线l1：y＝kx+4交y轴于点M，若点N是直线l1上一点，且点N是点M关于点P的“等直点”，求直线l1的解析式；

（2）如图3，已知点A的坐标为（2，0），点B在直线l2：y＝3x上，若点B关于点A的“正等直点”C在坐标轴上，D是平面内一点，若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标．

【分析】（1）①将OP顺时针旋转90°或逆时针旋转90°，求出旋转后点P的对应点坐标，即可求解；

②分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质可求点N坐标，代入解析式，可求解；

（2）分点C在x轴上和点C在y轴上，由平行四边形的性质可求解．

【解答】解：（1）如图2，连接OP，作PF⊥y轴，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OE，过点E作EH⊥y轴，

∴PF＝2，OF＝1，∠PFO＝∠EHO＝90°，

∵将OP绕点O顺时针旋转90°得到OE，

∴OP＝OE，∠POE＝90°，

∴∠POF+∠EOH＝90°，

∵∠POF+∠FPO＝90°，

∴∠FPO＝∠EOH，

又∵∠PFO＝∠EHO＝90°，OE＝OP，

∴△PFO≌△OHE（AAS），

∴HE＝OF＝1，PF＝OH＝2，

∴点E（1，﹣2），

将OP绕点O顺时针旋转90°得到OG，

同理可求点G（﹣1，2），

∴P1，P3是点P关于原点O的“等直点”，

故答案为：P1，P3；

②∵y＝kx+4交y轴于点M，

∴点M（0，4），

∵点N是点M关于点P的“等直点”，

∴MP＝NP，MP⊥NP，

如图，当线段MP绕点P顺时针旋转90°得PN，过P作PQ⊥y轴于点Q，NK⊥PQ交QP的延长线于点K，

则∠MQP＝∠NKP＝90°，

∠QMP+∠QPM＝∠QPM+∠NPK＝90°，

∴∠QMP＝∠KPN，

∴△MPQ≌△PNK（AAS），

∴MQ＝PK＝4﹣1＝3，PQ＝NK＝2，

∴点N（5，3），

∵点N是直线l1上一点，

∴3＝5k+4，

解得k，

∴直线l1的解析式为：yx+4，

当线段MP绕点P逆时针旋转90°得PN，

同理可得点N（﹣1，﹣1），

∴﹣1＝﹣k+4，

解得k＝5，

∴直线l1的解析式为：y＝5x+4，

∴综上所述：直线l1的解析式为yx+4或y＝5x+4；

（2）如图3，当点C在x轴上时，

∵点A的坐标为（2，0），

∴OA＝2，

∵点C是点B关于点A的“正等直点”，

∴∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴点B的横坐标为2，

∴点B的坐标（2，6），

∴AB＝6＝AC，

∴OC＝8，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD＝6，

∴点D（8，﹣6）；

若点C在y轴上时，过点B作BE⊥x轴于E，

∵点C是点B关于点A的“正等直点”，

∴∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠BAE+∠CAO＝90°，

又∵∠CAO+∠ACO＝90°，

∴∠BAE＝∠ACO，

又∵AC＝AB，∠AOC＝∠AEB＝90°，

∴△ACO≌△BAE（AAS），

∴BE＝AO＝2，AE＝OC，

∴点B的纵坐标为﹣2，

∴点B坐标为（，﹣2），

∴EO，

∴CO＝2，

∴点C（0，），

设点D（x，y），

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AC与BD互相平分，

∴，

∴

∴点D（，），

综上所述：点D坐标为（8，﹣6）或（，）．

【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，理解“等直点”的定义，并能运用是本题的关键．