人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.2 圆的一般方程优秀课件ppt

课后素养落实(十五)　圆的一般方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为(　　)

A．(1，－1)　　　　　 B．

C．(－1，2) D．

D　[将圆的方程化为标准方程，得2＋(y＋1)2＝，所以圆心为．]

2．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示的图形是(　　)

A．一个点　　B．一个圆　　C．一条直线　D．不存在

A　[方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．]

3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是(　　)

A．D＝E＝0，F≠0 B．D＝F＝0，E≠0

C．D＝E≠0，F≠0 D．D＝E≠0，F＝0

D　[∵圆过原点，∴F＝0，又圆心在y＝x上，∴D＝E≠0．]

4．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是(　　)

A．π B．π

C．3π D．不存在

B　[所给圆的半径为r＝＝，

所以当m＝－1时，半径r取最大值，此时最大面积是π．]

5．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定不经过(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

D　[圆心在第三象限，则a＜0，b＞0．直线x＋ay＋b＝0的斜率k＝－＞0，在x轴上的截距为－b＜0，故直线过一、二、三象限，故选D．]

二、填空题

6．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线Dx＋Ey＋2F＋8＝0对称，则该圆的半径为________．

2　[圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为，

由题意有－－＋2F＋8＝0，则D2＋E2－4F＝16．

∴圆的半径为r＝＝×4＝2．]

7．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．

－2　[由题意可得圆C的圆心在直线

x－y＋2＝0上，将代入直线方程得

－1－＋2＝0，解得a＝－2．]

8．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为________．

5　[由题意，得直线l恒过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5．]

三、解答题

9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．

[解]　圆心C，

因为圆心在直线x＋y－1＝0上，

所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，①

又r＝＝，所以D2＋E2＝20，②

由①②可得或

又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，

所以所以圆的一般方程为

x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．

10．已知关于x，y的方程为x2＋y2－2x－4y＋m＝0．

(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；

(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值．

[解]　(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，

整理得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，

由题意知5－m＞0，解得m＜5．

(2)设直线x＋2y－4＝0与圆：x2＋y2－2x－4y＋m＝0的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则

整理得5y2－16y＋8＋m＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝，又OM⊥ON(O为坐标原点)，则x1x2＋y1y2＝0，x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，则(4－2y1)·(4－2y2)＋y1y2＝0，解得m＝．故m的值为．

1．(多选题)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的是(　　)

A．圆M的圆心为(4，－3)

B．圆M被x轴截得的弦长为8

C．圆M的半径为25

D．圆M被y轴截得的弦长为6

ABD　[圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25．圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，令x＝0，则y2＋6y＝0，

∴|y1－y2|＝6；令y＝0，x2－8x＝0，|x1－x2|＝8．]

2．已知点A(－1，1)和圆C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0，一束光线从点A出发经过x轴反射到圆周上的最短路程是(　　)

A．6　　　B．8　　C．10　　　D．12

B　[易知点A在圆C外，找出点A(－1，1)关于x轴的对称点A′(－1，－1)，则最短路程为|CA′|－r．

又圆的方程可化为(x－5)2＋(y－7)2＝4，则圆心C(5，7)，半径r＝2，

则|CA′|－r＝－2＝10－2＝8．故所求的最短路程为8．]

3．若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m＝________，圆的面积为________．

－3　8π　[设A(0，y1)，B(0，y2)，在圆方程中令x＝0得y2＋2y＋m＝0，y1，y2即为该方程的两根，

由根与系数的关系及判别式得

又由∠ACB＝90°，C(2，－1)，知kAC·kBC＝－1，

即·＝－1，

即y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4，

代入上面的结果得m－2＋1＝－4，

∴m＝－3，符合m<1的条件．

r＝＝2，

∴圆的面积为πr2＝π×(2)2＝8π．]

4．已知点A(－2，0)，B(0，2)，若点C是圆x2＋y2－2x＝0上的动点，则△ABC面积的最小值为________．

3－　[如图所示，△ABC的面积最小时，点C到直线AB的距离最短，该最短距离其实就是圆心到直线AB的距离减去圆的半径．

直线AB的方程为x－y＋2＝0，|AB|＝2，x2＋y2－2x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，易知该圆的圆心为(1，0)，半径为1，

圆心(1，0)到直线AB的距离d＝＝，

故△ABC面积的最小值为×2×＝3－．]

在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图像与两条坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．

(1)求实数b的取值范围；

(2)求圆C的方程；

(3)圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．

[解]　(1)显然b≠0，否则二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图像与两坐标轴只有两个交点(0，0)，(－2，0)，这与题设不符．由b≠0知，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图像与y轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与x轴必有两个交点，从而方程x2＋2x＋b＝0有两个非零的不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b＞0且b≠0，即b＜1且b≠0．所以b的取值范围是(－∞，0)∪(0，1)．

(2)由方程x2＋2x＋b＝0得x＝－1±．于是二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图像与坐标轴的交点是(－1－，0)，(－1＋，0)，(0，b)．设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．

因圆C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C的方程，

则

解上述方程组，因b≠0，得

所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0．

(3)圆C必过定点．证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x＋y＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0　(*)．

为使(*)式对所有满足b＜1且b≠0的b都成立，必须有1－y0＝0，

结合(*)式得x＋y＋2x0－y0＝0，解得或

经检验，知点(0，1)，(－2，1)均在圆C上，因此圆C过定点．