2025年高考数学一轮复习课时作业-圆锥曲线中的定值问题【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习课时作业-圆锥曲线中的定值问题【含解析】，共6页。试卷主要包含了已知点F是抛物线C，已知椭圆C，已知双曲线C，已知椭圆Γ等内容，欢迎下载使用。
(1)求抛物线C的方程;
(2)过(-1,0)作直线l与抛物线C交于A,B,求kNA+kNB的值.
2.(10分)(2024·泉州模拟)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A,B.直线l与C相切,且与圆O:x2+y2=4交于M,N两点,M在N的左侧.
(1)若|MN|=455,求l的斜率;
(2)记直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,证明:k1k2为定值.
3.(10分)(2024·哈尔滨模拟)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±34x,焦距为10,A1,A2为其左、右顶点.
(1)求C的方程;
4.(10分)(2024·佛山模拟)已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),左、右顶点及上顶点分别记为A,B,C,且CF·CB=1.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)设过F的直线PQ交椭圆Γ于P,Q两点,若直线PA,QA与直线l:x+4=0分别交于M,N两点,l与x轴的交点为K,则|MK|·|KN|是否为定值?若为定值,请求出该定值;若不为定值,请说明理由.
2025年高考数学一轮复习课时作业-圆锥曲线中的定值问题【解析版】(时间:45分钟 分值:40分)
1.(10分)(2024·咸阳模拟)已知点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,纵坐标为2的点N在C上,以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D,E,|DE|=23.
(1)求抛物线C的方程;
【解析】(1)由题知,N点的横坐标为2p,
所以|NF|=p2+2p,|OF|=p2,
所以|NF|2=|DF|2=|OF|2+|DE|22,
所以p22+(3)2=(p2+2p)2,解得p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)过(-1,0)作直线l与抛物线C交于A,B,求kNA+kNB的值.
【解析】(2)由(1)知N(1,2),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my-1,
代入y2=4x,整理得y2-4my+4=0,
所以Δ=(4m)2-4×4>0,即m2>1,
所以y1+y2=4m,y1y2=4,
所以kNA+kNB=y1-2x1-1+y2-2x2-1=y1-2my1-2+y2-2my2-2=2my1y2-2(1+m)(y1+y2)+8m2y1y2-2m(y1+y2)+4=8m-2(1+m)×4m+84m2-2m×4m+4=2.
2.(10分)(2024·泉州模拟)已知椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A,B.直线l与C相切,且与圆O:x2+y2=4交于M,N两点,M在N的左侧.
(1)若|MN|=455,求l的斜率;
【解析】(1)当直线l斜率不存在时,方程为x=±2,显然与圆也相切,此时不符合题意,
设直线l的斜率为k,则直线方程为y=kx+m,与椭圆方程联立,
得x24+y23=1y=kx+m⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
因为直线l与C相切,
所以有Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0⇒m2=4k2+3,
圆O:x2+y2=4的圆心坐标为(0,0),半径为2,圆心(0,0)到直线y=kx+m的距离为|m|k2+(-1)2,
因为|MN|=455,
所以有455=2×4-(|m|k2+(-1)2) 2⇒45=4-4k2+3k2+1⇒k=±12;
(2)记直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,证明:k1k2为定值.
【解析】(2)椭圆左、右顶点坐标分别为A(-2,0),B(2,0),
直线l与圆联立得x2+y2=4y=kx+m⇒(1+k2)x2+2kmx+m2-4=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),其中x10,b>0)的渐近线方程为y=±34x,焦距为10,A1,A2为其左、右顶点.
(1)求C的方程;
【解析】(1)依题意ba=342c=10c2=a2+b2⇒a=4b=3⇒C:x216-y29=1.
(2)设点P是直线l:x=2上的任意一点,直线PA1,PA2分别交双曲线C于点M,N,A2Q⊥MN,垂足为Q,求证:存在定点R,使得|QR|是定值.
【解析】(2)如图:
设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),
直线MN:y-y0=-x0-4y0(x-x0),
即MN:y=-x0-4y0x+(x0-4)x0+y02y0.
(记k=-x0-4y0,m=(x0-4)x0+y02y0)代入9x2-16y2=9×16中得:
(9-16k2)x2-32kmx-16(m2+9)=0.
所以x1+x2=32km9-16k2,x1x2=-16(m2+9)9-16k2.
又因为直线A1M:y=y1x1+4(x+4),直线A2N:y=y2x2-4(x-4),联立得:
-13=y1x1+4·x2-4y2=y1x1+4·(169)y2x2+4=169·(kx1+m)(kx2+m)(x1+4)(x2+4)
⇒(16k2+3)x1x2+4(4km+3)(x1+x2)+16(m2+3)=0
⇒(m2+9)(16k2+3)-8km(4km+3)+(m2+3)(16k2-9)=0⇒-24km-6m2+16×12k2=0,
即32k2-4km-m2=0⇒m=-8k或m=4k(舍),
所以x0-4y0·8=(x0-4)x0+y02y0⇒(x0-6)2+y02=4,
所以Q点轨迹为以(6,0)为圆心,2为半径的圆,所以R(6,0),|QR|=2.
4.(10分)(2024·佛山模拟)已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),左、右顶点及上顶点分别记为A,B,C,且CF·CB=1.
(1)求椭圆Γ的方程;
【解析】(1)依题意C(0,b),B(a,0),F(-1,0),
所以CF=(-1,-b),CB=(a,-b),
由CF·CB=1,
可得b2-a=1,即a2-a-2=0,
解得a=2或a=-1(舍去),故a2=4,b2=3,
所以椭圆Γ的方程为x24+y23=1.
(2)设过F的直线PQ交椭圆Γ于P,Q两点,若直线PA,QA与直线l:x+4=0分别交于M,N两点,l与x轴的交点为K,则|MK|·|KN|是否为定值?若为定值,请求出该定值;若不为定值,请说明理由.
【解析】(2)是定值.设直线PQ的方程为x=my-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立得x24+y23=1x=my-1,
消去x整理得(3m2+4)y2-6my-9=0,
所以y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,A点的坐标为(-2,0),直线PA的方程为y=y1x1+2(x+2),
令x=-4,得yM=-2y1x1+2=-2y1my1+1,
同理可得yN=-2y2my2+1,
所以|MK|·|KN|=|yMyN|=|-2y1my1+1·-2y2my2+1|=|4y1y2m2y1y2+m(y1+y2)+1|,
|-363m2+4-9m23m2+4+6m23m2+4+1|=9,故|MK|·|KN|为定值9.