2.因数与倍数（培优版）-2022-2023学年五年级下册数学期中专项复习（人教版）

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2.因数与倍数（普通校）
2022-2023学年五年级下册数学期中专项复习
【知识梳理】
一、因数与倍数。
1、如果a÷b=c（a,b,c均是不为0的自然数），那么，b，c就是a的因数，a就是b和c的倍数。因数和倍数是相互依存的。
2、找一个数的因数的方法
（1）列乘法算式找，根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的每个乘数都是该数的因数。
（2）列除法算式找，用此数除以大于等于1而小于它本身的整数，所得的商没有余数，这些除数和商都是该数的因数。
3、表示一个数的因数的方法：（1）列举法；（2）集合法。
4、一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
5、找一个数的倍数的方法
用这个数依次与非零自然数相乘，所得的乘积就是这个数的倍数；也可以用一个非零自然数除以这个数，如果商没有余数，那么被除数就是这个数的倍数。
6、表示一个数的倍数的方法:(1)列举法;(2)集合法。
7、一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数就是它本身，没有最大的倍数。
二、2、5、3的倍数与特征。
1、自然数中个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数；个位上是0的数，同时是2和5的倍数。
2、整数中，是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数)，不是2的倍数的数叫做奇数。
3、用一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
4、拓展。
2的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8；
5的倍数的特征：个位上是0或5；
3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数。
综上所述，同时是2，3和5的倍数的特征是个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。
三、质数与合数及运算性质。
1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数(或素数)。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
2、1既不是质数，也不是合数。
3、用“排除法”找100以内的质数：（1）先画去“1”，再画去10以内质数的所有倍数（它们本身除外）这样剩下的数就是100以内的质数。
100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
4、解决问题时，可以采用反证法。
在解决问题时，如果不能根据题中的条件解决问题，我们可以假设与题中相反的条件，从而得出错误的结论，并判断题中的说法是否正确，这样的方法就是反证法。
5、两数之和的的奇偶性。
两个数想加，奇数加奇数的和是偶数，偶数加偶数的和是偶数，奇数加偶数的和是奇数。
奇数+奇数=偶数　奇数+偶数=奇数　偶数+偶数=偶数
6、两数之积的的奇偶性。
奇数×奇数=奇数　奇数×偶数=偶数　偶数×偶数=偶数
7、判断多个自然数之和的奇偶性。
偶数（或奇数）个偶数的和是偶数，偶数个奇数的和是偶数，奇数个奇数的和是奇数。


【专项练习】
一、选择题（每题2分，共10分）
1．下面的数中（    ）既是2和5的倍数又有因数3。
A．80 B．345 C．27 D．630
2．三个连续偶数的和是60，其中最大的一个偶数是（    ）。
A．20 B．22 C．18 D．无法确定
3．下面既是奇数，又是合数的数是（    ）。
A．19 B．91 C．23 D．37
4．一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数是（    ）。
A．4 B．1 C．16 D．8
5．在10～20之间的质数中，个位上的数字与十位上的数字交换位置后，仍是一个质数的数有（    ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
二、判断题（每题1分，共5分）
6．(1分)59的因数比9的因数多。( )
7．(1分)1567239是3的倍数。( )
8．(1分)一个自然数（0除外）不是质数就是合数。( )
9．(1分)两个质数的和一定是质数。( )
10．(1分)在式子a÷b＝c中，（a、b、c均不为0）a是b的倍数，b是a的因数。( )
三、填空题(每空1分，共21分)
11．(4分)15的因数有( )个，其中最大的因数是( )；15的倍数有( )个，其中最小的倍数是( )。
12．(4分)在45、70、36、37、102、89、240、51中。
(1)( )是质数，( )是合数。
(2)( )既是2的倍数，又是3的倍数；( )既是3的倍数，又是5的倍数。
13．一个两位数既是5的倍数，又是3的倍数，而且它还是个偶数，这个数最小是( )，最大是( )。
14．用最小的质数、最小的合数和最小的自然数，组成同时是2、3、5的倍数的最大三位数是( )，最小三位数是( )。
15．(3分)在1~20这20个自然数中，最小的奇数是( )，最小的偶数是( )，最大的质数是( )。
16．两个质数的和是18，它们的积是77，这两个质数分别是( )和( )。
17．请你一个不差地写出30的因数：( )；50以内15的倍数：( )。
18．用2、7、5这三个数字组成三位数，共能组成( )个不同的三位数，其中有( )个数能被5整除。
四、连线题(共6分)
19．(6分)连一连。

五、作图题(共6分)
20．(6分)给5的倍数涂上红色。

六、解答题(共52分)
21．(5分)医生带42支新冠疫苗试剂到五（1）班接种，同学们按5人一组排队恰好排完，当接种到最后一组学生时，医生发现试剂少了几支，五（1）班最少有多少人？



22．(5分)将20本练习簿分发给小朋友，要全部分完，而且每个人分到的作业簿要一样多，可能有几个小朋友？



23．(6分)明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？




24．(6分)五年级43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完吗？为什么？



25．(6分)有10000个苹果，如果2个2个地数，能正好数完吗？为什么？如果5个5个地数呢？



26．(6分)“天宫二号”空间实验室发射的年份是一个四位数，千位上的数字是最小的质数，百位上的数字是最小的偶数，十位上的数字比最小的质数小1，个位上的数字比最小的合数大2。“天宫二号”是哪一年发射的？



27．(6分)李老师的车牌号码从左往右的数字依次是：①10以内最大的质数；②既是奇数又是合数的数；③既是质数又是偶数；④既不是质数也不是合数的奇数；⑤最小的合数。你知道李老师车牌号的数字部分是多少吗？



28．(6分)红光小学社团活动丰富多样。参加器乐组的学生有108人，参加创客组的人数是器乐组的2倍。参加创客组的学生有多少人？



29．(6分)一个长方形的长和宽都是整厘米数，面积是24平方厘米，这样的长方形有多少种情况？长和宽各是多少厘米？
















参考答案
1．D
【分析】个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；一个数各位上的数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。根据2、5、3的倍数的特征解答即可。
【详解】A．各个数位上的数字之和不能被3整除，故排除；
B．个位上的数字是5，不能被2整除，故排除；
C．个位上的数字为7，不能被2和5整除，故排除；
D．个位上的数字为0，可以被2和5整除，各个数位上的数字之和能被3整除，故符合题意。
故答案为：D
【点睛】明确2、5、3的倍数的特征是解决此题的关键，解决此类问题可采用推理法。
2．B
【分析】根据连续偶数的特点可知，两个连续偶数相差2，三个连续偶数的和是中间一个偶数的3倍；用60除以3即可求出中间数，然后用中间的偶数加上2即可求出最大的偶数。
【详解】60÷3＝20
20＋2＝22
即最大的一个偶数是22。
故答案为：B
【点睛】本题主要是考查奇数、偶数的意义及特点，连续两个奇数或偶数都相差2。
3．B
【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。
【详解】A．19是奇数，但19是质数；
B．91既是奇数，又是合数；
C．23是奇数，但23是质数；
D．37是奇数，但37是质数；
故答案为：B
【点睛】此题主要明确奇数与偶数、质数与合数的定义，才能做出正确的解答。
4．C
【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身；
一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。
一个数既是16的因数，又是16的倍数，说明这个数的最大因数是16，最小倍数是16，所以这个数是16。
【详解】一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数是16。
故答案为：C
【点睛】本题考查因数与倍数的意义及应用。
5．C
【分析】根据质数的定义，质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。据此写出在10～20之间所有的质数，再把个位上的数字与十位上的数字交换位置后，如果仍然是质数，则符合题意，据此解答。
【详解】在10～20之间的质数有：11、13、17、19；
个位上的数字与十位上的数字交换位置后，数字变为：11、31、71、91。仍是一个质数的有：11、31、71，共有3个。
故答案为：C
【点睛】此题的解题关键是理解掌握质数的定义。
6．×
【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此找出59和9的因数，根据因数的多少进行判断即可。
【详解】59＝1×59
所以59的因数有1、59；共有2个；
9＝1×9＝3×3
所以9的因数有1、3、9；共有3个；
可见59的因数比9的因数少。
故答案为：×
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数的因数的方法。
7．√
【分析】3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；据此解答。
【详解】在1567239这个数字中，1＋5＋6＋7＋2＋3＋9＝33
33是3的倍数，所以1567239是3的倍数。
故答案为：√
【点睛】此题主要考查3的倍数的特征。
8．×
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
1既不是质数也不是合数。
【详解】自然数包括1，因为1既不是质数也不是合数，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】掌握质数与合数的意义，明确自然数（0除外）按因数的个数分为质数、合数和1。
9．×
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【详解】如：2＋3＝5，5是质数；
5＋7＝12，12是合数。
所以，两个质数的和不一定是质数。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查质数与合数的意义及应用。
10．√
【分析】必须在整除的情况下，两个数才有倍数和因数关系，倍数和因数是相互依存的，只能说谁是谁的倍数，谁是谁的因数，不能单独说谁是倍数或谁是因数。据此进行判断。
【详解】在式子a÷b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，b、c就是a的因数，a就是b、c的倍数。
故答案为：√
【点睛】此题考查因数和倍数的意义，必须在整除的情况下，两个数才有倍数和因数关系，倍数和因数是相互依存的。
11．     4     15     无数     15
【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。一个数的因数和倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。
【详解】15＝1×15＝3×5
15的因数有1、3、5、15，共有4个，其中最大的因数是15。
15的倍数有无数个，其中最小的倍数是15。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数的因数和倍数的方法。
12．(1)     37、89     45、70、36、102、240、51
(2)     36、102、240     45、240
【分析】（1）质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。
（2）2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数；由此解答。
【详解】（1）37、89是质数，45、70、36、102、240、51是合数。
（2）2的倍数有：70、36、102、240；
3的倍数有：45、36、102、240、51；
5的倍数有：45、70、240；
所以36、102、240既是2的倍数，又是3的倍数；45、240既是3的倍数，又是5的倍数。
【点睛】此题主要考查质数与合数的意义以及2、3、5的倍数的特征。
13．     30     90
【分析】3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数；能被2整除的自然数叫偶数。据此解答。
【详解】这个两位数是5的倍数，这个两位数有10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95；
在上述这些数中，是3的倍数是有：15、30、45、60、75、90；
在15、30、45、60、75、90这些数中，偶数有30、60、90。
所以一个两位数既是5的倍数，又是3的倍数，而且它还是个偶数，这个数最小是30，最大是90。
【点睛】此题主要考查3、5的倍数的特征以及偶数的定义。
14．     420     240
【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数。最小的质数是2，最小的合数是4，最小的自然数是0；2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数；据此解答。
【详解】最小的质数是2，最小的合数是4，最小的自然数是0；
组成同时是2、3、5的倍数的最大三位数是420，最小三位数是240。
【点睛】此题主要考查质数与合数的意义，2、3、5的倍数的特征。
15．     1     2     19
【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。据此解答。
【详解】在1~20这20个自然数中，最小的奇数是1，最小的偶数是2，最大的质数是19。
【点睛】此题主要明确奇数与偶数、质数与合数的定义，以及奇数与质数、偶数与合数的区别，才能做出正确的解答。
16．     7     11
【分析】根据题意，两个质数的积是77，把77分解质因数，采用相乘法，写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。据此解答。
【详解】77分解质因数可得：77＝7×11；
7和11是质数，而且7＋11＝18，满足“两个质数的和是18”这一条件。
所以这两个质数分别是7和11。
【点睛】此题考查根据两个质数的和与积，推算两个质数是多少，只要把乘积分解质因数即可解决问题。
17．     1、2、3、5、6、10、15、30     15、30、45
【分析】（1）可以利用整除的方法来求一个数的因数，除的时候先从较小数字1开始；也可以利用乘法来一对一对的找；
（2）求一个数的倍数，就用这个数分别乘自然数1、2、3、4、5…就得到了这个数的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍…据此解答。
【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6
30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30
15×1＝15
15×2＝30
15×3＝45
50以内15的倍数有：15、30、45
【点睛】找因数时做到有序、不重不漏；找倍数时，需要明确一定的范围。
18．     6##六     2##两##二
【分析】用2、7、5三个数字卡片组成的三位数有：
①2在百位上时：257、275；
②5在百位上时：527、572；
③7在百位上时：725、752；
5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数；由此解答。
【详解】用2、7、5这三个数字组成三位数，可以组成257、275、527、572、725、752共6个不同的三位数，其中能被5整除的数有275、725，共有2个数。
【点睛】此题考查了5的倍数的特征，另外在写这些三位数时，要按照一定的顺序写，不要漏写或者重复写。
19．见详解
【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。据此完成连线。
【详解】质数有13、2、17、3、7；
合数有21、99；
1既不是质数也不是合数。
连线如下：

【点睛】此题主要明确质数与合数的定义，才能做出正确的解答。
20．见详解
【分析】根据5的倍数的特征，个位上是0或5的数是5的倍数。据此解答。
【详解】涂色如下：

【点睛】此题考查的目的是理解掌握5的倍数的特征。
21．45人
【分析】同学们按5人一组排队恰好排完，说明五（1）班的人数正好是5的倍数，根据求一个数的倍数的方法，从小到大依次写出5的倍数的数，试剂少了几支，说明五（1）班的人数比42大，从5的倍数的这些数中即可找出比42大的数，即可求出五（1）班最少有多少人。
【详解】5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50⋯⋯
40＜42，45＞42，
刚好比42大的数是45，说明至少有45人。
答：五（1）班最少有45人。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数的倍数的方法。
22．可能有2或4或5或10或20个小朋友。
【分析】根据找一个数因数的方法，列举出20的因数，然后排除1即可。
【详解】20的因数有：1、2、4、5、10、20。
答：可能有2或4或5或10或20个小朋友。
【点睛】明确找一个数因数的方法，是解答此题的关键.
23．不对，理由见详解
【分析】纯牛奶和可乐的单价分别是5元和10元，都是5的倍数，所以不论买几瓶，总钱数也应是5的倍数；付了100元，用100元减去找回的钱数就是应付的总钱数，如果不是5的倍数，找回的钱就不对。
【详解】100－18＝82（元）
答：售货员阿姨找回的钱不对。因为买纯牛奶和可乐的总价钱应是5的倍数，而82元不是5的倍数，所以找回的钱不对。
【点睛】掌握5的倍数特征是解题的关键；个位上是0或5的数是5的倍数。
24．不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而43是奇数。
【分析】根据奇数和偶数的运算性质来判断题干中的说法是否正确。
【详解】因为偶数＋偶数＝偶数，而43是奇数，所以43不可能分出来两个偶数。
答：不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而43是奇数。
【点睛】此题的解题关键是理解奇数和偶数相关的运算性质，并灵活运用。
25．能，因为10000是2的整数倍．5个5个地数也能．
【详解】能，因为10000是2的整数倍．5个5个地数也能正好数完，因为10000也是5的整数倍．
26．2016年
【分析】按照质数、合数、奇数和偶数的定义可知，最小的质数是2，最小的偶数是0，最小的合数是4，据此判断。
【详解】根据分析，2－1＝1，4＋2＝6；
千位上的数字是2，百位上的数字是0，十位上的数字是1，个位上的数字是6，所以这个数是2016。
答：“天宫二号”是2016年发射的。
【点睛】此题的解题关键是掌握质数、合数、奇数和偶数的定义。
27．79214
【分析】自然数中是2的倍数的数，叫做偶数；不是2的倍数的数，叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。由此解答即可。
【详解】①10以内最大的质数是7；
②既是奇数又是合数的数是9；
③既是质数又是偶数是2；
④既不是质数也不是合数的奇数是1；
⑤最小的合数是4；
所以这个数是79214；
答：李老师车牌号的数字部分是79214；
【点睛】熟练掌握奇偶数、质数与合数的意义是解答本题的关键。
28．216人
【分析】根据参加创客组的人数是器乐组的2倍，可得参加创客组的学生人数＝参加器乐组的学生人数×2；据此列式解答。
【详解】108×2＝216（人）
答：参加创客组的学生有216人。
【点睛】本题主要考查三位数乘一位数的计算与应用，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式解答。
29．4种；长24厘米，宽1厘米；长12厘米，宽2厘米；长8厘米，宽3厘米；长6厘米，宽4厘米。
【分析】首先根据长方形面积的计算公式，对长方形面积24平方厘米进行拆分，找出24的全部因数，进行不同组的长和宽的组合，统计符合题意的长方形个数。
【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6
24＝24×1
长是24厘米时，宽是1厘米；
24＝12×2
长是12厘米时，宽是2厘米；
24＝8×3
长是8厘米时，宽是3厘米；
24＝6×4
长是6厘米时，宽是4厘米；
所以，这样的长方形有4种。
答：这样的长方形有4种；长是24厘米时，宽是1厘米；长是12厘米时，宽是2厘米；长是8厘米时，宽是3厘米；长是6厘米时，宽是4厘米。
【点睛】本题考查了长方形面积 的计算以及因数的应用，找全24的因数，是解答此题的关键。