3.长方体和正方体（培优版）-2022-2023学年五年级下册数学期中专项复习（人教版）

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3.长方体和正方体（普通校）
2022-2023学年五年级下册数学期中专项复习
【知识梳理】
一、长方体和正方体的特征。
1、长方体的特征：长方体是由6个长方形（特殊情况下由2个相对的面是正方形）围成的立体图形。长方体有6个面，相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。
2、相交与一个顶点的3条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高，长方体的12条棱中有4条长、4条宽和4调高。
3、正方体是又6个完全相同的正方形围成的立体图形。正方形有12条棱，每条棱的长度都相等；正方体有8个顶点。
4、正方体可以堪称长、宽、高都相等的长方体。正方体是特殊的长方体。
二、长方体和正方体的表面积。
1、长方体或正方体6个面的总面积，叫作它的表面积。
2、长方体的表面积的计算公式。
（1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2，用公式表示S=2ab+2ah+2bh。
（2）长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，用公式表示S=2（ab+ah+bh）。
注意：S表示长方体的表面积，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高。
3、正方体的表面积的计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示是S=6a2，其中S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长。
三、长方体和正方体的体积。
1、体积的意义。
物体所占空间的大小叫作物体的体积。
2、常用的体积单位。
常用的体积单位：立方米（m3）、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3）。
3、长方体的体积计算公式。
长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。
4、长方体的体积计算公式。
正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a3。
5、长方体和正方体的体积计算公式的应用。
已知长方体（正方体）的长宽高（棱长），根据长方体的体积公式或正方体的体积公式可直接求出长方体（正方体）的体积。
6、每相邻的两个体积但未见的进率是1000。1米3=1000分米3，1分米3=1000厘米3。
7、体积单位间的换算方法：把高级单位的名数换算成低级单位的名数，用高级单位的数乘进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，用低级单位的数除以进率。
8、容积的意义：容器所能容纳物体的体积，通常叫做它的容积。
9、容积单位：计量物体的容积，常用体积单位。计量液体的体积常用升和毫升作单位。
10、1升=1000毫升，1升=1分米3，1毫升=1厘米3。
11、测量不规则物体的体积可以用排水法。利用有刻度的量杯记录下放入不规则物体前后水位的刻度，上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。



【专项练习】
一、选择题（每题2分，共10分）
1．从正方体的一个顶点处截去一个小正方体后，它的表面积与原来的表面积相比（    ）。
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
2．一个水箱能装水100L，我们说这个水箱的（    ）是100L。
A．体积 B．表面积 C．容积 D．侧面积
3．一个长方体木块（如图），如果把它截成一个最大的正方体，这个正方体的体积是（    ）立方厘米。

A．8 B．16 C．64 D．216
4．一个长方体的长、宽、高分别是a、b、h（单位：dm）。如果高增加3dm，它的体积就增加（    ）dm3。
A．3ab B．3abh C．27 D．abh
5．下面是老师为同学们准备的小棒，用这些小棒能搭成的长方体是（    ）。
小棒长度



根数
3
8
5
A． B．
C． D．
二、判断题（每题1分，共5分）
6．(1分)长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、5厘米，这个长方体没有正方形的面。( )
7．(1分)一瓶白酒有500立方米。( )
8．(1分)长方体和正方体的体积都等于底面积乘高。( )
9．(1分)把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，体积和表面积都不变。( )
10．(1分)这个图一定能围成一个正方体。( )
三、填空题(每空1分，共21分)
11．(4分)在括号里填上合适的单位名称。
一块橡皮的体积约是8( )        一个水杯的容积约是800( )
一个文具盒的体积约是0.75( )   一辆货车车厢的体积约是50( )
12．想一想，围一围。小明要用下面几种规格的纸板（数量足够多）围长方体，他已经选了两个②号纸板，还要再选两个( )号纸板和两个( )号纸板。

13．(3分)一个长方体长5厘米，宽4厘米，高6厘米。这个长方体的棱长和是( )厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
14．(3分)用一根长60厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是( )厘米，用它做成一个盒子，盒子的体积是( )立方厘米，至少需要( )平方厘米的纸板。
15．(1分)用几块边长为1厘米的正方体木块摆成一个立体图形，右图分别是从不同方向观察这个立体图形。这个立体图形的体积是( )立方厘米。

16．(3分)做一个长6分米，宽4分米，高5分米的鱼缸，用角钢做它的框架，至少需要角钢( )分米，如果上面没有盖，做这个鱼缸至少需要玻璃( )平方分米，最多可装水( )升。
17．将一个长、宽、高分别为3dm、4dm、5dm的长方体切割成两个长方体。切割后表面积最少增加( )，最多增加( )。
18．(3分)2.15时＝( )时( )分             3050毫升＝( )升
四、计算题(共12分)
19．(6分)求如图图形的表面积和体积。（单位：厘米）




20．(6分)如图：计算图形中的体积（单位：cm）。




五、作图题(共6分)
21．(6分)画一个长2cm、宽2cm、高3cm的长方体和棱长为3cm的正方体。


六、解答题(共52分)
22．(5分)将一个棱长40厘米的正方体油桶装满柴油。如果每升柴油重0.86千克，那么这桶柴油重多少千克？



23．(5分)一个正方体油箱，从里面量棱长为30厘米，这个油箱的容积是多少升？如果每升汽油0.85千克，这样一箱汽油重多少千克？



24．(6分)下图是一个长方体纸盒的后面和左面，这个纸盒上面的面积是多少平方分米？




25．(6分)如图，一个长方体简易墙壁书架，除前面没有木板外，其他面均用木板制作，制作这样一个简易墙壁书架至少需要木板多少平方分米？




26．(6分)听了阿基米德的故事，同学们用橡皮泥制作了一顶“皇冠”，并用排水法测它的体积，请你根据下表中的实验数据，计算出这顶“皇冠”的体积是多少？
水槽相关数据（从内部量）
水槽内水面的高度/厘米
“皇冠”的体积
长/厘米
宽/厘米
高/厘米
放入“皇冠”前
放入“皇冠”后
？
20
16
30
20
20.5



27．(6分)将一块体积为15立方分米的铁块，熔铸成横截面为边长5厘米的正方形的铁条，这根铁条最长是多少米？（损耗忽略不计）



28．(6分)一个长方体食品盒，长10厘米，宽10厘米，高15厘米。如果围着它贴一圈商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少是多少平方厘米？



29．(6分)希望小学有一间长10米，宽6米，高3.5米的长方体教室。
（1）这间教室的空间有多大？
（2）现在要在教室四面墙壁刷涂料，扣除门、窗、黑板面积6平方米，这间教室刷涂料的面积是多少平方米？


















参考答案
1．C
【分析】从正方体的一个顶点处截去一个小正方体后，凹下去图形的三个面的面积刚好能补上原来缺失的三个面的面积，所以大正方体的表面积没有改变。
【详解】由图可知，减少三个面，同时又增加三个面，正方体的表面积与原来的表面积相比，表面积不变。
故答案为：C
【点睛】从一个立体图形中挖去部分后，再观察这个立体图形的表面积有什么变化，这种题有一定的难度，需要同学们仔细看图、认真分析，培养空间观察和想象能力。
2．C
【分析】根据容积的意义可知，容积就是指容器所能容纳物体的体积，据此即可做出正确选择。
【详解】因为容积就是指容器所能容纳物体的体积，所以一个水箱能装水100L，我们说这个水箱的容积是100L。
故答案为：C
【点睛】此题主要考查容积的定义，关键是区分容积与体积的不同。
3．C
【分析】这个长方体的最小棱长是4厘米，所以切成的最大正方体的棱长是4厘米，根据正方体的体积公式：V＝a3，代入计算即可得解。
【详解】4×4×4＝64（立方厘米）
故答案为：C
【点睛】关键是理解正方体的特点，长方体三种棱长中最小的棱长即是最大正方体的棱长。
4．A
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，高增加之前的长方体的体积为：abh，高增加后，体积变为ab×（h＋3），用增加后的体积减去之前的体积，即可得解。
【详解】根据分析得，ab×（h＋3）－abh
＝abh＋3ab－abh
＝3ab（dm3）
故答案为：A
【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的体积公式求解。
5．C
【分析】根据长方体的特征，长方体的4条长、4条宽、4条高分别相等，而9厘米的小棒只有3根，所以不会选择9厘米的小棒去搭长方体，如果全部选择全是7厘米的小棒，那么搭出来的图形是一个正方体，不符题意；所以要选择8根7厘米的小棒和4根4厘米的小棒，去搭这个长方体。
【详解】根据分析得，要搭成这个长方体，需要8根7厘米的小棒和4根4厘米的小棒；
所以组成的图形应该是。
故答案为：C
【点睛】此题的解题关键是掌握长方体的特征。
6．×
【分析】当长方体的长、宽、高任意两个相等时，长方体有正方形的面。
【详解】这个长方体的长和高相等，都是5厘米，所以它有正方形的面。
故答案为：×
【点睛】本题考查了长方体，掌握长方体的特征是解题的关键。
7．×
【分析】根据生活经验、数据大小及对容积单位的认识可知：计量一瓶白酒的容积用“毫升”作单位；据此解答。
【详解】一瓶白酒有500毫升。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】联系生活实际，根据计量单位和数据的大小，灵活选择合适的计量单位。
8．√
【分析】根据长方体和正方体的体积公式，长方体的体积＝长×宽×高，长×宽＝长方体的底面积；即长方体的体积＝底面积×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，棱长×棱长＝正方体的底面积；正方体的体积＝底面积×高，由此解答。
【详解】长方体的体积＝底面积×高，正方体的体积＝底面积×高；
因此正方体和长方体的体积都可以用底面积乘以高来进行计算，这种说法是正确的。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查长方体正方体的体积公式，熟练掌握长方体正方体的体积公式并灵活运用。
9．×
【分析】如图：几何体在拼接的过程中，因为面的重合，会引起表面积的减少；而两个正方体拼接在一起，每个正方体所占空间的大小没有改变，只是合二为一了，所以体积不会减少。
【详解】把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了两个面，体积还是两个正方体的体积之和。所以表面积减少了，体积不变。原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】根据两个正方体拼组成长方体的特点，即可判断表面积与体积的变化情况。
10．√
【分析】能不能围成一个正方体，要看这个展开图是否属于正方体展开图的基本类型，根据正方体展开图的类型，1－4－1型，2－3－1型，2－2－2型，3－3型，据此判断解答即可。
【详解】属于2－3－1型，是正方体展开图类型，能拼成正方体；所以原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题的解题关键是记住正方体展开图的基本类型。
11．     立方厘米##cm3     毫升##mL     立方分米##dm3     立方米##m3
【分析】常见的体积单位有：立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米相当于一个手指尖的体积，一个粉笔盒的体积接近1立方分米，棱长为1米的正方体的体积是1立方米；
常见的容积单位有：升、毫升，1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米，1升＝1000毫升，据此根据对体积和容积单位大小的认识选择合适的单位即可。
【详解】分析可知，一块橡皮的体积约是8立方厘米，一个水杯的容积约是800毫升，一个文具盒的体积约是0.75立方分米，一辆货车车厢的体积约是50立方米。
【点睛】根据题中数据联系生活实际选择合适的体积或容积单位是解答题目的关键。
12．     ③     ④
【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面积是正方形），相对面的面积相等；据此解答。
【详解】如图：

小明已经选了两个②号纸板，还要再选两个③号纸板和④号纸板。
【点睛】本题考查长方体的特征及应用。
13．     60     148     120
【分析】把长方体的长、宽、高的数据代入到长方体的棱长和公式：L＝（a＋b＋h）×4，长方体的表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，和长方体的体积公式：V＝a×b×h中，计算出长方体的棱长和、表面积和体积。
【详解】（5＋4＋6）×4
＝15×4
＝60（厘米）
（5×4＋5×6＋4×6）×2
＝（20＋30＋24）×2
＝74×2
＝148（平方厘米）
5×4×6＝120（立方厘米）
即这个长方体的棱长和是60厘米，表面积是148平方厘米，体积是120立方厘米。
【点睛】此题主要考查长方体的棱长总和公式、长方体的表面积公式以及长方体的体积公式的灵活运用。
14．     5     125     150
【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用铁丝的总长度除以12，即可求出正方体框架的棱长；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长和正方体的表面积＝6×棱长×棱长，代入棱长的数据，即可分别求出正方体盒子的体积和需要的纸板的面积。
【详解】60÷12＝5（厘米）
5×5×5＝125（立方厘米）
6×5×5＝150（平方厘米）
即这个正方体框架的棱长是5厘米，做成盒子的体积是125立方厘米，至少需要150平方厘米的纸板。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用正方体的棱长总和公式以及正方体的体积、表面积的计算方法求解。
15．4
【分析】这个几何体从正面看，有4个小正方形，说明至少有4个小正方体，从上面看有3个小正方形，说明这个几何体是摆成一排，结合从侧面看到的图形，这个几何体摆法如图：，利用正方体的体积公式求出一个小正方体的体积，再乘小正方体的个数，即可求出这个立体图形的体积。
【详解】根据分析得，这个立体图形是由4个小正方体组合而成。
1×1×1×4＝4（立方厘米）
【点睛】此题的解题关键是通过三视图来确定几何体的摆法，再利用正方体的体积公式求解。
16．     60     124     120
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据即可求出需要的角钢的长度。求无盖的鱼缸需要的玻璃面积，实际上求长方体的4个侧面和1个下底面的面积之和，根据长方体的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，即可求出需要的玻璃的面积；再根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，代入即可求出鱼缸的容积。
【详解】（6＋4＋5）×4
＝15×4
＝60（分米）
6×4＋6×5×2＋4×5×2
＝24＋60＋40
＝124（平方分米）
6×4×5＝120（立方分米）
120立方分米＝120升
【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的棱长总和、表面积以及体积公式解决实际的问题。
17．     24     40
【分析】平行于哪个面切割增加的面积均是所平行面面积的2倍；平行于最小面切割时增加的面积最小，平行于最大面切割时增加的面积最大；据此解答。
【详解】最少增加：3×4×2＝24（dm2）
最多增加：4×5×2＝40（dm2）
【点睛】解答本题的关键是要注意切割后增加的是两个面的面积。
18．     2     9     3.05
【分析】根据1小时＝60分钟，1升＝1000毫升，高级单位换算成低级单位，乘进率，低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。
【详解】2.15时＝2小时＋0.15小时，0.15小时＝9分钟，所以2.15时＝2时9分；
3050毫升＝3.05升
【点睛】此题主要考查单位之间的互化，关键是熟记进率。
19．82平方厘米；42立方厘米；
150平方厘米；125立方厘米
【分析】把长方体的长、宽、高的数据代入长方体的表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，和长方体的体积公式：V＝a×b×h中，计算出长方体的表面积和体积。
把正方体棱长的数据代入正方体的表面积公式：S＝6×a×a，和正方体的体积公式：V＝a×a×a中，计算出正方体的表面积和体积。
【详解】（7×3＋7×2＋3×2）×2
＝（21＋14＋6）×2
＝41×2
＝82（平方厘米）
7×3×2＝42（立方厘米）
6×5×5＝150（平方厘米）
5×5×5＝125（立方厘米）
即长方体的表面积是82平方厘米，体积是42立方厘米；正方体的表面积是150平方厘米，体积是125立方厘米。
20．44cm3
【分析】该图形的体积可以看作是一个棱长为2cm的正方体的体积和一个长为6cm，宽为2cm，高为3cm的长方体的体积相加之和，根据正方体和长方体的体积公式，代入数值计算即可。
【详解】


（cm3）
21．见详解
【分析】根据长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。已知长2cm、宽2cm、高3cm，上下相对的两个面是正方形，其它4个面是长方形，据此作图即可；
根据正方体特征：6个面都是正方形，且面积相等；有8个顶点；12条棱长度都相等；已知棱长是3cm，据此作图即可。
【详解】如下图：

【点睛】此题的解题关键是理解掌握长方体和正方体的特征。
22．55.04千克
【分析】根据正方体的体积（容积）公式：V＝a×a×a，代入数据求出正方体油桶的容积，再根据1升＝1000立方厘米，换算单位后，用正方体油桶装满柴油的体积乘每升柴油的重量，即可求出这桶柴油重多少千克。
【详解】40×40×40＝64000（立方厘米）
64000立方厘米＝64升
64×0.86＝55.04（千克）
答：这桶柴油重55.04千克。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用正方体的体积（容积）公式求解。
23．27升；22.95千克
【分析】根据正方体的体积（容积）公式：V＝a3，代入棱长的数据，即可求出这个油箱的容积；再根据1升＝1000立方厘米，把油箱里能装油的体积换算单位后，再乘每升汽油的质量，即可求出这一箱汽油的质量。
【详解】30×30×30＝27000（立方厘米）
27000立方厘米＝27升
27×0.85＝22.95（千克）
答：这个油箱的容积是27升，这样一箱汽油重22.95千克。
【点睛】此题的解题关键是掌握正方体的体积（容积）公式以及体积、容积单位之间的换算。
24．45平方分米
【分析】从图上可以看出，这个长方体纸盒的长为9分米，宽为5分米，高为6分米，根据长方体的特征可知，要求这个纸盒上面的面积是多少，根据长方形的面积公式：S＝ab，代入长和宽的数据，即可得解。
【详解】9×5＝45（平方分米）
答：这个纸盒上面的面积是45平方分米。
【点睛】此题的解题关键是掌握长方体的特征，考查长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算哪个长方形面的面积。
25．55平方分米
【分析】要做这个简易书架，前面没有木板，实际就是求书架的五个面（除了前面）的面积，根据长方体表面积公式解答即可。
【详解】50×30＋50×25×2＋30×25×2
＝1500＋2500＋1500
＝5500（平方厘米）
5500平方厘米＝55平方分米
答：制作这样一个简易墙壁书架至少需要木板55平方分米。
【点睛】此题考查了长方体表面积公式的灵活运用，需要结合题意确定要求哪几个面的面积之和。
26．160立方厘米
【分析】“皇冠”放入水中后，水面上升的高度为（20.5－20）厘米，“皇冠”的体积等于水面上升的体积，而这部分体积可看作长为20厘米，宽为16厘米，高为（20.5－20）厘米的长方体的体积，利用长方体的体积公式：V＝abh，代入即可求出“皇冠”的体积。
【详解】20×16×（20.5－20）
＝320×0.5
＝160（立方厘米）
答：这顶“皇冠”的体积是160立方厘米。
【点睛】此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用长方体的体积公式，解决实际的问题。
27．6米
【分析】熔铸成横截面为边长5厘米的正方形的铁条的体积与原来铁块的体积相等，用铁块的体积除以铁条横截面的面积，所得结果即为这根铁条的长度，据此解答。
【详解】15立方分米＝0.015立方米
5厘米＝0.05米
0.015÷（0.05×0.05）
＝0.015÷0.0025
＝6（米）
答：这根铁条最长是6米。
【点睛】解答本题的关键是明确铁块的体积等于熔铸成的铁条的体积，注意单位的统一。
28．600平方厘米
【分析】根据题意，这张商标纸的面积不包括上下两个底面的面积，所以只需要求出长方体的4个侧面的面积，根据长方体的表面积公式：S＝a×h×2＋b×h×2，代入长宽高的数据，即可得解。
【详解】10×15×2＋10×15×2
＝300＋300
＝600（平方厘米）
答：这张商标纸的面积至少是600平方厘米。
【点睛】此题的解题关键是弄清求的是长方体几个面的面积，灵活运用长方体的表面积公式求解。
29．（1）210立方米；（2）106平方米
【分析】（1）求这个教室的空间就是求它的容积（内部的体积）是多少，利用长方体的体积（容积）公式：V＝abh，代入数据求解即可。
（2）要在教室四面墙壁刷涂料，先求出长方体4个侧面的面积，再减去门、窗、黑板面积，即是这间教室刷涂料的面积。
【详解】（1）10×6×3.5＝210（立方米）
答：这间教室的空间有210立方米。
（2）10×3.5×2＋6×3.5×2－6
＝70＋42－6
＝106（平方米）
答：这间教室刷涂料的面积是106平方米。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的体积（容积）公式以及长方体的表面积公式，解决实际的问题。