2022-2023学年山东省菏泽市牡丹实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）(含解析)

这是一份2022-2023学年山东省菏泽市牡丹实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省菏泽市牡丹实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．已知a＜b，则下列各式成立的是（　　）
A．ac2＜bc2 B．1﹣3a＜1﹣3b C．a﹣2＜b﹣3 D．3+a＜3+b
2．不等式3x+2＜2x+3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°时，应假设（　　）
A．三角形的二个内角小于60°
B．三角形的三个内角都小于60°
C．三角形的二个内角大于60°
D．三角形的三个内角都大于60°
4．如图，A，B，C三个村庄围成了一个三角形，想在△ABC的内部建一个超市，且超市到三个村庄的距离相等，则此超市应建在（　　）

A．△ABC三条高的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条边垂直平分线的交点处
D．△ABC三条中线的交点处
5．已知关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集为x＜﹣1，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜1
6．关于x的一元一次方程x+m﹣2＝0的解是负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞﹣2 D．m＜﹣2
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　）

A． B． C． D．2
8．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；
②BD⊥CE；
③∠ACE+∠DBC＝45°；
④BE2＝2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．命题“对顶角相等”的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
10．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特值”．若等腰△ABC中，若，则顶角为 　 　°．
11．如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，ED⊥BC，则∠EFD＝　 　．

12．关于x的不等式x﹣a≤0恰好有4个正整数解，则a的取值范围是 　 　．
13．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠ACB＝75°，AD，BE为高．点M，N分别为AB，AD上的动点，那么MN+BN的最小值为 　 　．

14．如图1，△AB1C1是边长为2的等边三角形；如图2，取AB1的中点C2，画等边△AB2C2，连接B1B2；如图3，取AB2的中点C3，画等边△AB3C3，连接B2B3；如图4，取AB3的中点C4，画等边△AB4C4，连接B3B4，……按照此规律一直画下去，则BnBn+1的长为 　 　（用含n的式子表示）．

三、解答题（共58分）
15．解下列不等式：
（1）40﹣5（3x﹣7）≤﹣4（x+17）；
（2）．
16．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，求m的取值范围．
17．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，AE＝AF．求证：CB＝CD．

18．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AE＝8，GC＝2BG，求BC长．

19．如图，△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝120°．点D在AB边上运动（D不与A，B重合），作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当AD＝AC时，求证：△ADE≌△BCD；
（2）当△CDE是等腰三角形时，∠DCB的度数为 　 　．

20．如图（1），点E是BC的中点，∠B＝∠C＝90°，AE平分∠BAD．
（1）AD、AB、CD有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）若将“∠B＝∠C＝90°”改为“∠B+∠C＝180°”，如图（2）所示，以上结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，不需要说明理由．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．已知a＜b，则下列各式成立的是（　　）
A．ac2＜bc2 B．1﹣3a＜1﹣3b C．a﹣2＜b﹣3 D．3+a＜3+b
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可解题．
解：A．a＜b，当c≠0时，ac2＜bc2，故A不成立；
B．a＜b，1﹣3a＞1﹣3b，故B不成立；
C．a＜b，a﹣2＜b﹣2，故C不成立；
D．a＜b，3+a＜3+b，故D成立；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
2．不等式3x+2＜2x+3的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据解不等式的方法可以求得不等式3x+2＜2x+3的解集，从而可知哪个选项是正确的．
解：3x+2＜2x+3
移项及合并同类项，得
x＜1，
故选：D．
【点评】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示一元一次不等式的解集，解题的关键是明确解不等式的方法．
3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°时，应假设（　　）
A．三角形的二个内角小于60°
B．三角形的三个内角都小于60°
C．三角形的二个内角大于60°
D．三角形的三个内角都大于60°
【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即可．
解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，
第一步应先假设三角形的三个内角都小于60°，
故选：B．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
4．如图，A，B，C三个村庄围成了一个三角形，想在△ABC的内部建一个超市，且超市到三个村庄的距离相等，则此超市应建在（　　）

A．△ABC三条高的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条边垂直平分线的交点处
D．△ABC三条中线的交点处
【分析】要求超市到三个村庄的距离相等，首先思考到A村庄、B村庄距离相等，根据线段垂直平分线的判定定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B村庄、C村庄的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个村庄的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得．
解：根据线段垂直平分线的判定可知：和一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
可知超市应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的判定：和一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个村庄的距离相等，再满足到另两个村庄的距离相等，交点即可得到．
5．已知关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集为x＜﹣1，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜1
【分析】根据不等式的性质，即可求解．
解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集为x＜﹣1，
∴1﹣a＜0，
解得：a＞1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．关于x的一元一次方程x+m﹣2＝0的解是负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞﹣2 D．m＜﹣2
【分析】根据方程的解为负数得出2﹣m＜0，解之即可得．
解：∵方程x+m﹣2＝0的解是负数，
∴x＝2﹣m＜0，
解得：m＞2，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式的能力，根据题意列出不等式是解题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　）

A． B． C． D．2
【分析】利用线段的垂直平分线的性质和三角形相似进行计算．
解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
根据勾股定理得：AB＝5，
而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，
∴∠BDE＝90°，∠B＝∠B，
∴△ACB∽△EDB，
∴BC：BD＝AB：（BC+CE），
又∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，
∴3：2.5＝5：（3+CE），
从而得到CE＝．
解法二：连接AE．
∵DE垂直平分线段AB，
∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则EC＝x﹣3，
在Rt△ACE中，∵AE2＝AC2+EC2，
∴x2＝42+（x﹣3）2，
解得x＝，
∴EC＝﹣3＝．
故选：B．

【点评】本题主要考查直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及相似三角形性质的应用及方程的数学思想．
8．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；
②BD⊥CE；
③∠ACE+∠DBC＝45°；
④BE2＝2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE；
②由三角形ABD与三角形ACE全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°；
④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．
解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，故①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，故②正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵∠ABD＝∠ACE
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正确；
④∵BD⊥CE，
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：
BE2＝BD2+DE2，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴DE＝AD，
即DE2＝2AD2，
∴BE2＝BD2+DE2＝BD2+2AD2，
而BD2≠2AB2，故④错误，
综上，正确的个数为3个．
故选：C．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．命题“对顶角相等”的逆命题是　假　命题（填“真”或“假”）．
【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．
解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．
故答案为假．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
10．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特值”．若等腰△ABC中，若，则顶角为 　36　°．
【分析】设顶角为α°，则底角为2α°，根据三角形的内角和定理列方程解题即可．
解：设顶角为α°，则底角为2α°，
根据题意得，α+2α+2α＝180，
解得α＝36，
∴顶角为36°
故答案为：36．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．
11．如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，ED⊥BC，则∠EFD＝　45°　．

【分析】根据等边三角形的性质与折叠的性质可得∠FDE＝∠A＝60°，∠AFE＝∠DFE由DE⊥BC，可得∠DEC＝30°，进而根据△FED与△FEA的内角和为360°，即可求得∠AFE+∠FDE＝90°，即可求得∠EFD的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°﹣∠C＝30°，
∴∠AED＝150°，
∵沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，
∴∠FDE＝∠A＝60°，
∴∠AFE+∠DFE＝360°﹣∠FDE﹣∠A﹣∠AED＝90°，
∴∠AFE+∠DFE＝90°，
∴∠AFE＝∠DFE＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
12．关于x的不等式x﹣a≤0恰好有4个正整数解，则a的取值范围是 　4≤a＜5　．
【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定a的值．
解：∵x﹣a≤0，
∴x≤a，
∵不等式x﹣a≤0有4个正整数解，
∴关于x的一元一次不等式x≤a的4个正整数解是1、2、3、4，
∴4≤a＜5．
故答案为：4≤a＜5．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．
13．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠ACB＝75°，AD，BE为高．点M，N分别为AB，AD上的动点，那么MN+BN的最小值为 　1　．

【分析】设BE与AD的交点为N'，作N'M'⊥AB，垂足为M'，则BN'+M'N'为所求的最小值，根据含30°的直角三角形的性质求出BE即可．
解：如下图，设BE与AD的交点为N'，作N'M'⊥AB，垂足为M'，则BN'+M'N'为所求的最小值，

∵AB＝AC＝2，AD为高，∴AD是∠BAC的平分线，∴M'N'＝N'E，∴BN'+M'N'＝BN'+N'E＝BE，∵BE为高，∴BE是点B到直线AC的最短距离，∵AB＝AC＝2，∠ACB＝75°，∴∠ACB＝∠ABC＝75°，∴∠BAC＝180°﹣75°×2＝30°∴，∴MN+BN的最小值是1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的判定和性质，垂线段最短，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是从已知条件并结合图形思考，通过三线合一的性质和垂线段最短，确定线段和的最小值．
14．如图1，△AB1C1是边长为2的等边三角形；如图2，取AB1的中点C2，画等边△AB2C2，连接B1B2；如图3，取AB2的中点C3，画等边△AB3C3，连接B2B3；如图4，取AB3的中点C4，画等边△AB4C4，连接B3B4，……按照此规律一直画下去，则BnBn+1的长为 　　（用含n的式子表示）．

【分析】过点C2作C2D⊥B1B2于点D，根据含30度角的直角三角形得出B1D的长，进而得出B1B2的长，同理可得出B2B3和B3B4的长，进而找到规律．
解：如图（2），过点C2作C2D⊥B1B2于点D，

∵△AB1C1是边长为2的等边三角形，C2是AB1的中点，
∴B1C2＝B2C2＝1，
∵△AB2C2是等边三角形，
∴∠B1C2B2＝120°，B1C2＝B2C2，
∴∠DB1C1＝∠DB2C2＝30°，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，⋯．
故答案为：．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，求出B1B2的长，找出规律是解答此题的关键．
三、解答题（共58分）
15．解下列不等式：
（1）40﹣5（3x﹣7）≤﹣4（x+17）；
（2）．
【分析】（1）利用去括号，移项，合并同类项，系数化为1解不等式即可；
（2）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解不等式即可．
解：（1）40﹣5（3x﹣7）≤﹣4（x+17），
40﹣15x+35≤﹣4x﹣68，
﹣15x+4x≤﹣68﹣40﹣35，
﹣11x≤﹣143，
x≥13；
（2），
4x﹣3（2x﹣1）≥6，
4x﹣6x+3≥6，
﹣2x≥6﹣3，
﹣2x≥3，
．
【点评】本题考查不等式的解法，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键，解题时需注意除以一个负数，不等号的方向改变．
16．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，求m的取值范围．
【分析】两方程相加可得x+y＝2m+4，根据题意得出关于m的不等式，解之可得．
解：将两个方程相加即可得2x+2y＝4m+8，
则x+y＝2m+4，
根据题意，得：2m+4≤0，
解得m≤﹣2．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式，求得x+y＝2m+4是解答此题的关键．
17．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，AE＝AF．求证：CB＝CD．

【分析】先根据HL证明Rt△AEC≌Rt△AFC，得CE＝CF，再根据AAS证明△BEC≌△DFC，即可得答案．
【解答】证明：如下图，连接AC，

∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°，
在Rt△AEC和Rt△AFC中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），
∴CE＝CF，
在△BEC和△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（ASA），
∴CB＝CD．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，全等的判定方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL（直角三角形），解题的关键是根据题意选择合适的方法．
18．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若AE＝8，GC＝2BG，求BC长．

【分析】（1）先根据平行线的性质证明∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，然后根据角平分线的定义得出∠B＝∠C，则可证明△ABC为等腰三角形；
（2）证明△AFE≌△CFG，从而得到CG的长，则可求得BC的长．
【解答】（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵F是AC的中点，
∴AF＝CF，
在△AFE和△CFG中，
，
∴△AFE≌△CFG）（ASA），
∴GC＝AE＝8，
∵GC＝2BG，
∴BG＝4，
∴BC＝BG+GC＝12．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质和三角形全等的判定定理．
19．如图，△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝120°．点D在AB边上运动（D不与A，B重合），作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当AD＝AC时，求证：△ADE≌△BCD；
（2）当△CDE是等腰三角形时，∠DCB的度数为 　45°或90°　．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据三角形的外角可得∠CDB＝∠AED，然后利用等量代换可证AD＝BC，然后得到三角形的全等解题；
（2）分两种情况分别计算解题即可．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC＝6，∠ACB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
在△ADE中，∠EDB是外角，
∴∠EDB＝∠EDC+∠CDB＝∠A+∠AED，
又∵∠EDC＝∠A＝30°，
∴∠CDB＝∠AED，
又∵AC＝BC，AD＝AC，
∴AD＝BC，
∴△ADE≌△BCD（AAS）；
（2）解：∵∠CED＞∠A，
∴CD≠CE，
①当CD＝DE时，
则，
∵∠ACB＝120°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠DCE＝120°﹣75°＝45°；
②当CE＝DE时，
则∠DCE＝∠EDC＝30°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠DCE＝120°﹣30°＝90°；
综上所述：∠DCB的度数为45°或90°，
故答案为：45°或90°．
【点评】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
20．如图（1），点E是BC的中点，∠B＝∠C＝90°，AE平分∠BAD．
（1）AD、AB、CD有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）若将“∠B＝∠C＝90°”改为“∠B+∠C＝180°”，如图（2）所示，以上结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，不需要说明理由．

【分析】（1）延长AE交DC的延长线于点F，证明△ABE≌△FCE，得到AB＝CF，再根据等角对等边得到DA＝DF解题即可；
（2）延长AE交DC的延长线于点F，证明△ABE≌△FCE，得到AB＝CF，再根据等角对等边得到DA＝DF解题即可．
解：（1）结论：AD＝AB+CD，
理由：如图，延长AE交DC的延长线于点F，

∵∠B＝∠BCD＝90°，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥DC，
∴∠BAE＝∠F，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵∠BAE＝∠F，
∴∠DAE＝∠F，
∴DA＝DF＝DC+CF＝DC+AB；
（2）成立，理由为：
如图，延长AE交DC的延长线于点F，

∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥DC，
∴∠BAE＝∠F，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵∠BAE＝∠F，
∴∠DAE＝∠F，
∴DA＝DF＝DC+CF＝DC+AB．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．