高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.5 向量的线性运算复习练习题

二十七　向量的线性运算

基础练习

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.已知a=e1+2e2,b=3e1-2e2,则3a-b= (　　)

A.4e2    B.4e1

C.3e1+6e2   D.8e2

解析:选D.3a-b=3(e1+2e2)-(3e1-2e2)=3e1+6e2-3e1+2e2=8e2.

2.3a+b+c-2a+b-c= (　　)

A.a-b+2c  B.5a-b+2c

C.a+b+2c D.5a+b

解析:选A.3a+b+c-2a+b-c=(3a-2a)+b-b+(c+c)=a-b+2c.

3.如图,已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,那么 (　　)

A.=   B.=2

C.=3  D.2=

解析:选A.因为2++=2+2=0,所以=.

4.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线交DC于点F,若=a,=b,则=              (　　)

A.a+b  B.a+b

C.a+b　 D.a+b

解析:选A.由已知条件可知BE=3DE,所以DF=AB,

所以=+=+=a+b.

5.设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若=λ(λ∈R),=μ(μ∈R),且+=2,则称A3,A4调和分割A1,A2,已知平面上的点C,D调和分割点A,B,则下面说法正确的是              (　　)

A.C可能是线段AB的中点

B.D可能是线段AB的中点

C.C,D可能同时在线段AB上

D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上

解析:选D.由题意得=λ,=μ,

且+=2,若C,D都在AB的延长线上,则λ>1,μ>1,+<2这与+=2矛盾,故选D.

6.(多选题)如图,在正六边形ABCDEF中,O为其中心,下列向量与++2+相等的向量有(　　)

A.

B.-

C.+

D.-

解析:选BCD.++2+=(++)+=+===-,B选项正确,A选项错误;因为+=+=,所以C选项正确;因为-=+=+=,所以D选项正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.若2y-a-(c+b-3y)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量y=　　　　. 

答案:a-b+c

【补偿训练】

　　　(a+9b-2c)+(b+2c)=　　　　. 

答案:a+10b

8.若a,b为相反向量,且|a|=1,|b|=1,则|a+b|=　　　　,|a-b|=　　　　. 

解析:若a,b为相反向量,则a+b=0,所以|a+b|=0,又a=-b,|a|=|-b|=1,所以|a-b|=2.

答案:0　2

三、解答题(共10分)

9.计算:(1)8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c);

(2)(2a+8b)-(4a-2b).

解析:(1)原式=16a-8b+8c-6a+12b-6c-4a-2c=(16-6-4)a+(-8+12)b+ (8-6-2)c=6a+4b.

(2)原式=[(a+4b)-(4a-2b)]=(-3a+6b)=2b-a.

【补偿训练】

已知e,f为两个不共线的向量,若四边形ABCD满足=e+2f,=-4e-f,=-5e-3f.

(1)用e,f表示.

(2)证明:四边形ABCD为梯形.

解析:(1)=++=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f.

(2)因为=-8e-2f=2(-4e-f)=2,所以与方向相同,且的长度为的长度的2倍,即在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD≠BC,所以四边形ABCD是梯形.

提升练习

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为 (　　)

A.1    B.-

C.1或-  D.-1或-

解析:选B.由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k<0),于是λa+b=k[a+(2λ-1)b].整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.由于a,b不共线,所以有整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-.

又因为k<0,故λ=-.

2.如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F满足=2,那么= (　　)

A.- B.+

C.- D.+

解析:选C.在△CEF中,=+.

因为点E为DC的中点,所以=.

因为=2,所以=,所以=+=+=-.

3.已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m使得+=m成立,则m的值为 (　　)

A.2  B.3  C.4  D.5

解析:选B.因为++=0,所以点M是△ABC的重心,所以+=3,所以m=3.

【知识延拓】向量中常见的一些结论

(1)表示a-b,a+b的有向线段恰为同一平行四边形的两条对角线.

(2)设D为△ABC中线段BC的中点,则+=2.

(3)设G为△ABC的重心,则++=0.

4.(多选题)下列各式能化简为的有 (　　)

A.(-)-

B.-(+)

C.-(+)-(+)

D.--+

解析:选ABC.A中,(-)-=++=+=;

B中,-(+)=-0=;

C中,-(+)-(+)=---=+-=;

D中,--+=++=+2.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x=　　　　. 

解析:由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,

所以x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.

答案:4b-3a

6.已知=+.设=λ,那么实数λ的值是　　　　. 

解析:因为=λ,

所以-=λ(-),

即=λ+(1-λ),

又因为=+,所以λ=.

答案:

【补偿训练】

　　　如图所示,在△ABC中,D为BC边上的一点,且BD=2DC,若=m+n(m,n∈R),则m-n=　　　　. 

解析:由向量共线定理,得=3,则=+=+3=+3(-)=+3-3,=-+,则m=-,n=,那么m-n=--=-2.

答案:-2

7.已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x=　　　　,y=　　　　. 

解析:由已知得解得x=y=.

答案:　

【补偿训练】

　　　设a,b是不共线的两个非零向量,记=ma,=nb,=αa+βb,其中m,n,α,β均为实数,m≠0,n≠0,若M,P,N三点共线,则+=　　　　. 

解析:若M,N,P三点共线,则存在实数λ,使得=λ,

所以-=λ(-),

所以(1+λ)=+λ,即==a+b,

因为a,b不共线,所以

所以+=+=1.

答案:1

8.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=　　　,=　　　.(用a,b表示) 

解析:如图,=++=-b-a+=-b-a+(a+b)=(b-a),

=+=-(b+a).

答案:b-a　-(b+a)

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.

(1)求证:A,B,D三点共线.

(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.

解析:(1)由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,

因为=2e1-8e2,所以=2.

又因为与有公共点B,所以A,B,D三点共线.

(2)由(1)可知=e1-4e2,因为=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,所以设=λ(λ∈R),即3e1-ke2=λe1-4λe2,

得解得k=12.

10.已知点O,A,M,B为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠1,λ≠0).

(1)求证:A,B,M三点共线.

(2)若点B在线段AM上,求实数λ的范围.

解析:(1)因为=λ+(1-λ),

所以=λ+-λ,

-=λ-λ,即=λ,

又λ∈R,λ≠1,λ≠0且,有公共点A,

所以A,B,M三点共线.

(2)由(1)知=λ,若点B在线段AM上,

则,同向且||>|| (如图所示).

所以{λ|λ>1}.

【补偿训练】

　　　在△ABC的内部有一点O满足++3=0,求的值.

　　　解析:设AC的中点为D,

则+=2,所以2+3=0,即=-,

所以==×=.