数学必修 第二册6.1.5 向量的线性运算测试题

6.1.5 向量的线性运算——2022-2023学年高一数学人教B版（2019）必修第二册同步课时训练

一、概念练习

1.在中，AD为BC边上的中线，M为AD(靠近点A)的三等分点，则(   )

A.  B.

C.  D.

2.等于(   )。

A. B. C. D.

3.已知向量满足，则的最大值为(   )

A.1 B. C. D.2

4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，为BC的中点，则 (   )

A.-3 B.0 C.-1 D.1

5.已知点不在同一条直线上,点为该平面上一点,且,则(   )。

A.点在线段上  B.点在线段的反向延长线上

C.点在线段的延长线上 D.点不在直线上

二、能力提升

6.在中，设为AC边的中点，则(   )

A. B. C. D.

7.在中,为边上的中线,E为的中点，则(   )

A.      B.  C.      D.

8.（多选）下列结论中正确的是(   )

A.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

B.已知A，B，C是平面内任意三点，则

C.若O为所在平面内任一点，且满足，则为等腰三角形

D.若向量a与b同向，且，则

9.（多选）如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD，BC交于点F，H.设，，则(   )

A. B. C. D.

10.（多选）如图，在中，，D，E是BC的三等分点，且，则(   )

A.  B.

C.  D.

11.设D，E分别是的边AB，BC上的点，.若(为实数)，则的值为___________.

12.如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，，AD与CE的交点为O.若，则AB的长为_____________.

13.化简：______________。

14.在中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且，设.求证：.

15.如图所示，已知的边BC，CD上的中点分别为K，L，且，试用表示.

答案以及解析

1.答案：B

解析：根据向量的运算法则，可得.

2.答案：B

解析：原式。

3.答案：D

解析：由，可得，又因为，所以由，得，即，所以，因为，所以，当且仅当时取等号.故选D.

4.答案：C

解析：.

5.答案：B

解析：,

,即,

点在线段的反向延长线上,

所以B选项是正确的.

6.答案：D

解析：因为为AC边的中点，所以.

由向量减法的三角形法则可得，，故选D.

7.答案：A

解析：根据向量的运算法则，可得

，

所以,故选A.

8.答案：ABC

解析：A选项，因为零向量与任意向量共线，若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故正确.B选项，因为，，所以，故正确.C选项，因为，所以，则为等腰三角形，故正确.D选项，向量不能比较大小，故错误.故选ABC.

9.答案：ACD

解析：本题考查平面向量线性运算及平面向量基本定理.连接DG（图略），因为D，G分别是AE，BE的中点，所以，，则，选项A正确；易知F为的重心，所以，选项B错误；，选项C正确；设，又B，H，C三点共线，所以，则，所以，选项D正确.故选ACD.

一题多解：以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系.设，，则，，，，，.又F为的重心，则.直线AG的方程为，直线BC的方程为，联立解得，则，，，.因为，，所以，，，.故选ACD.

10.答案：BCD

解析：对于A，，故选项A不正确；

对于B，由题意得D为BE的中点，所以，故选项B正确；

对于C，取DE的中点G，由，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，且，所以，所以，，故选项C正确；

对于D，由G是BC的中点得，两边平方得，所以，故选项D正确.

故选BCD.

11.答案：

解析：由已知

，

所以，从而.

12.答案：

解析：本题考查平面向量的线性运算及数量积.是BC的中点，，，.，O，C三点共线，可设.，O，D三点共线，，解得，.，，，.

13.答案：

解析：。

14.答案：见解析

解析：，

.

.

15.答案：见解析.

解析：设，

则

解得

即，

.