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2021-2022学年山东省实验中学高一（下）期中数学试卷
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2021-2022学年山东省实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）i是虚数单位，若＝a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
2．（5分）已知向量，则与平行的单位向量的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
3．（5分）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
4．（5分）已知向量＝（1，1），＝（2，x），若+与4﹣2平行，则实数x的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
5．（5分）四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据下面四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
（注：一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，它的方差为）
A．平均数为2，方差为2.4 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为3，中位数为2 D．中位数为3，方差为2.8
6．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝30°，c＝10．如果△ABC有两解，则a的取值范围是（ ）
A．[10，20] B． C． D．（10，20）
7．（5分）下列各对事件中，不互为相互独立的事件的是（ ）
A．掷一枚骰子一次，事件M“出现奇数点”；事件N“出现2点或5点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”
8．（5分）已知O为△ABC的外心，，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（ ）
A．如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.2，P（AB）＝0.5
B．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0
C．如果A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0
D．如果A与B相互独立，那么P（）＝0.4，P（A）＝0.4
（多选）10．（5分）某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）
A．样本中女生人数多于男生人数
B．样本中B层人数最多
C．样本中E层次男生人数为6人
D．样本中D层次男生人数多于女生人数
（多选）11．（5分）下列说法中正确的为（ ）
A．已知，且与+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量，，满足，则与的夹角为30°
（多选）12．（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝3OC＝3，点E在弧上．（ ）
A．
B．若，则u＝1
C．若∠DOE＝30°，则
D．的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）计算（1﹣2i）•i102+（）5＝ ．
14．（5分）已知向量||＝3，||＝5，•＝﹣5，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为 ．
15．（5分）已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1…，2xn﹣1的平均数为 ，方差为 ．
16．（5分）已知在△ABC中，，，若，则m+n＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数z＝（m﹣1）+（2m+1）i（m∈R）
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及|z|的最小值．
18．（12分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．
19．（12分）在①bc＝t（b+c），其中t为角A的平分线AD的长（AD与BC交于点D），
②sin2A﹣（sinB﹣sinC）2＝3sinBsinC，
③b＝acosC﹣csinA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
（1）求角A的大小；
（2）求m＝的取值范围．
20．（12分）已知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240，160，80．为助力疫情防控，现采用分层抽样的方法，从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师，参与“抗击疫情•你我同行”下卡口执勤值守专项行动．
（Ⅰ）求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数；
（Ⅱ）设抽出的6名教师志愿者分别记为A，B，C，D，E，F，现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作．
（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设M为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”，求事件M发生的概率．
21．（12分）△ABC的内角分别为A，B，C，A＝，AB＝1，AC＝2，BC边上的高为AD．
（1）用，表示；
（2）若E为AC边上一点，且•＝，试确定E点的位置，并说明理由．
22．（12分）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，米，记∠BHE＝θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度L；
（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
2021-2022学年山东省实验中学高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）i是虚数单位，若＝a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
【分析】先根据两个复数相除的除法法则化简 ，再依据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即得乘积ab的值．
【解答】解：∵＝＝＝﹣1+3i
＝a+bi，∴a＝﹣1，b＝3，∴ab＝﹣1×3＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查两个复数相除的方法，以及两个复数相等的充要条件的应用．
2．（5分）已知向量，则与平行的单位向量的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
【分析】利用向量的模的坐标公式求出向量的模，利用的单位向量公式为±，求出单位向量．
【解答】解：因为||＝＝，
故所求的单位向量为±＝±（1，﹣2）＝±（，﹣），
故选：D．
【点评】本题考查向量的坐标形式的模的公式、考查向量的单位向量公式±．
3．（5分）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
【分析】把该组数据从小到大排列，计算6×80%＝4.8，从而找出对应的第80百分位数．
【解答】解：该组数据从小到大排列为：
5，5，6，7，8，9．
且6×80%＝4.8，
所以这组数据的第80百分位数是8．
故选：C．
【点评】本题考查了一组数据的百分位数问题，是基础题．
4．（5分）已知向量＝（1，1），＝（2，x），若+与4﹣2平行，则实数x的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】写出要用的两个向量的坐标，由+与4﹣2平行，根据向量共线的坐标形式的充要条件可得关于X的方程，解方程可得结果．
【解答】解：∵＝（1，1），＝（2，x），
∴+＝（3，x+1），4﹣2＝（6，4x﹣2），
由于+与4﹣2平行，
得6（x+1）﹣3（4x﹣2）＝0，
解得x＝2．
故选：D．
【点评】本题也可以这样解：因为+与4﹣2平行，则存在常数λ，使+＝λ（4﹣2），即（2λ+1）＝（4λ﹣1），根据向量共线的条件知，向量与共线，故x＝2．
5．（5分）四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据下面四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
（注：一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，它的方差为）
A．平均数为2，方差为2.4 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为3，中位数为2 D．中位数为3，方差为2.8
【分析】举反例，结合排除法，可得结论．
【解答】解：B：当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故选项B错；
C：当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故选项C错；
D：当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：＝（1+2+3+3+6）＝3，
方差为S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故选项D错．
故选：A．
【点评】本题考查统计数据中的中位数、众数、平均数、方差的求法，是基础题．
6．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝30°，c＝10．如果△ABC有两解，则a的取值范围是（ ）
A．[10，20] B． C． D．（10，20）
【分析】利用正弦定理即可判断三角形解的情况．
【解答】解：△ABC中，C＝30°，c＝10，
如果△ABC有两解，则由正弦定理得：＝＝＝20，
a＝20sinA，
由题意知30°＜A＜150°，且A≠90°，所以＜sinA＜1，
所以10＜20sinA＜20，即a的取值范围是（10，20）．
故选：D．
【点评】本题考查了利用正弦定理判断三角形解的情况应用问题，是基础题．
7．（5分）下列各对事件中，不互为相互独立的事件的是（ ）
A．掷一枚骰子一次，事件M“出现奇数点”；事件N“出现2点或5点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”
【分析】利用对立事件和相互独立事件的概念，逐个判断各个选项即可．
【解答】解：对于选项A：事件M＝{1，3，5}，事件N＝{2，5}，事件MN＝{5}，基本事件空间Q＝{1，2，3，4，5，6}，
所以P（M）＝，P（N）＝，P（MN）＝，
所以P（MN）＝P（M）P（N），
因此事件M与事件N为相互独立事件；
对于选项B：袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，P（M）＝，
事件N“第二次摸到白球”，P（N）＝，
所以P（MN）＝P（M）P（N），故事件M与事件N是相互独立事件；
对于选项C：袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”，
则事件M发生与否和事件N有关，故事件M和事件N与不是相互独立事件；
对于选项D：甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；
故选：C．
【点评】本题主要考查了独立事件的定义，属于基础题．
8．（5分）已知O为△ABC的外心，，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，设cos∠ABC＝θ，||＝||＝||＝r，将变形为﹣4＝3+5，由数量积的计算公式可得cos2θ的值，由二倍角公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设∠ABC＝θ，则∠AOC＝2θ，若O为△ABC的外心，则设||＝||＝||＝r，
若，则﹣4＝3+5，
则有162＝92+252+30•，即16r2＝9r2+25r2+30r2cos2θ，
变形可得cos2θ＝﹣，
由图可得：0＜2θ＜π，则0＜θ＜，
则有cos2θ＝2cos2θ﹣1＝﹣，
变形可得cosθ＝，
故选：A．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（ ）
A．如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.2，P（AB）＝0.5
B．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0
C．如果A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0
D．如果A与B相互独立，那么P（）＝0.4，P（A）＝0.4
【分析】利用对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式直接求解．
【解答】解：由事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，知：
对于A，如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.5，P（AB）＝0.2，故A错误；
对于B，如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.7，P（AB）＝0，故B正确；
对于C，如果A与B相互独立，
那么P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.5+0.2﹣0.5×0.2＝0.6，
P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.2＝0.1，故C错误；
对于D，如果A与B相互独立，
那么P（）＝P（）P（）＝（1﹣0.5）×（1﹣0.2）＝0.4，
P（A）＝P（A）P（）＝0.5×（1﹣0.2）＝0.4，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）
A．样本中女生人数多于男生人数
B．样本中B层人数最多
C．样本中E层次男生人数为6人
D．样本中D层次男生人数多于女生人数
【分析】根据频率直方图，扇形图求出选项中的数，进行比较．
【解答】解：由女生频数直方图可知女生人数为：9+24+15+9+3＝60，则男生人数为100﹣60＝40，则A对；
由图可知：女生人数中B层的人最多，男生人数中B层的人最多，则总人数中B层的人最多，B对；
可求出E层为（1﹣0.1﹣0.3﹣0.25﹣0.2）×40＝6人，C对；
样本中D层次男生人数为40×20%＝8，样本中D层次女生人数为9，D错，
故选：ABC．
【点评】本题考查频率直方图，扇形图，考查学生对图表的整合能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）下列说法中正确的为（ ）
A．已知，且与+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量，，满足，则与的夹角为30°
【分析】利用向量的模长和向量的共线，向量的基底，向量的夹角判断即可．
【解答】解：对于A：∵＝（1，2），＝（1，1），∴+＝（1+λ，2+λ），
∵与+的夹角为锐角，∴，∴λ＞﹣且λ≠0，故A错误，
对于B：向量＝（2，﹣3），＝（，﹣），由于＝4，所以，共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确，
对于C：由于向量不能比较大小，故C错误，
对于D：非零向量和满足||＝||＝|﹣|，则以这三边构成的三角形为等边三角形，则与﹣的夹角为30°，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查向量的模长和向量的共线，向量的基底，向量的夹角，属于中档题．
（多选）12．（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝3OC＝3，点E在弧上．（ ）
A．
B．若，则u＝1
C．若∠DOE＝30°，则
D．的最小值为
【分析】A选项先利用 ，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；C选项通过
【解答】解：，A错误；
由知，E为弧CD的中点，又∠AOB＝120°，由平行四边形法则可知则，故u＝1，B正确．
由∠DOE＝30°知，，设，
则
解得故，C正确．
＝
＝，
当且仅当∠BOE＝60°时，等号成立，故的最小值为，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）计算（1﹣2i）•i102+（）5＝ ﹣1+3i ．
【分析】根据复数的运算法则化简即可．
【解答】解：（1﹣2i）•i102+
＝
＝﹣1+2i+i5＝﹣1+3i．
故答案为：﹣1+3i．
【点评】本题考查了复数的运算，属基础题．
14．（5分）已知向量||＝3，||＝5，•＝﹣5，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为 ﹣ ．
【分析】根据•＝﹣5，根据投影的计算公式即可得出投影向量．
【解答】解：∵向量||＝3，||＝5，•＝﹣5，且是与方向相同的单位向量，
∴在上的投影向量为：＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，投影的计算公式，以及投影向量的定义，考查了计算能力，是基础题．
15．（5分）已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1…，2xn﹣1的平均数为 19 ，方差为 8 ．
【分析】根据平均数与方差的公式即可求出数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，…2xn﹣1的平均数与方差．
【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，…xn的平均数是10，方差是2，
∴＝（x1+x2+x3+…+xn）＝10，
s2＝[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+（x3﹣10）2+…+（xn﹣10）2]＝2；
∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，…，2xn﹣1的平均数是＝[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+（2x3﹣1）+…+（2xn﹣1）]＝2×（x1+x2+x3+…+xn）﹣1＝19，
方差是s′2＝{[（2x1﹣1）﹣19]2+…+[（2xn﹣1）﹣19]2}＝22•[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+（x3﹣10）2+（xn﹣10）2]＝4×2＝8．
故答案为：19，8．
【点评】本题考查了计算数据的平均数与方差的问题，解题时应根据公式进行计算，也可以利用平均数与方差的性质直接得出答案．
16．（5分）已知在△ABC中，，，若，则m+n＝ ．
【分析】利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理得到＝+，再与已知对比即可．
【解答】解：∵，，
∴＝，＝＝（﹣）＝（﹣）+×＝﹣+，
∴＝+＝﹣+＝+，
∵，
∴m＝，n＝，
∴m+n＝．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数z＝（m﹣1）+（2m+1）i（m∈R）
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及|z|的最小值．
【分析】（1）利用纯虚数的定义即可得出．
（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．
【解答】解：（1）∵z＝（m﹣1）+（2m+1）i（m∈R）为纯虚数，
∴m﹣1＝0且2m+1≠0∴m＝1…（4分）
（2）z在复平面内的对应点为（m﹣1，2m+1）
由题意：，∴．
即实数m的取值范围是．…（7分）
而|z|＝＝＝，
当时，＝．…（10分）
【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数模的计算公式、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（12分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．
【分析】（1）由频率分布直方图求出[50，60）的频率为0.16，根据得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．能求出n，y，从而能求出x．
（2）由频率分布直方图能估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得[50，60）的频率为0.016×10＝0.16，
∵得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．
∴＝50，y＝＝，
∴x＝[1﹣（0.016+0.04+0.01+0.004）×10]÷10＝0.03．
（2）估计本次竞赛学生成绩的众数为：，
∵[50，70）的频率为：（0.016+0.03）×10＝0.46，
[70，80）的频率为：0.04×10＝0.4，
∴中位数为：＝71，
平均数为：55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．
【点评】本题考查样本容量、频率、众数、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（12分）在①bc＝t（b+c），其中t为角A的平分线AD的长（AD与BC交于点D），
②sin2A﹣（sinB﹣sinC）2＝3sinBsinC，
③b＝acosC﹣csinA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
（1）求角A的大小；
（2）求m＝的取值范围．
【分析】（1）：选条件①bc＝t（b+c），结合等面积及三角形面积公式进行转化，然后结合二倍角公式可求；
选条件②sin2A﹣（sinB﹣sinC）2＝3sinBsinC，结合正弦定理及余弦定理进行化简可求cosA，进而可求A；
选条件③，结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tanA，进而可求A；
（2）由已知结合正弦定理表示m，然后结合和差角及辅助角公式进行化简，结合正切函数的性质可求．
【解答】解：（1）方案一：选条件①bc＝t（b+c）．
由题意可得S△BAD+S△CAD＝S△ABC，
∴．
∵AD为∠BAC的平分线，，
∴ctsin∠BAD+btsin∠BAD＝bcsin2∠BAD，即t（c+b）sin∠BAD＝bcsin2∠BAD
又bc＝t（b+c），
∴sin∠BAD＝sin2∠BAD，即sin∠BAD＝2sin∠BADcos∠BAD，
∵，
∴，
∴，
∴．
方案二：选条件②sin2A﹣（sinB﹣sinC）2＝3sinBsinC．
由已知结合正弦定理得a2﹣b2﹣c2＝bc，
由余弦定理得，
∵0＜A＜π，∴．
方案三：选条件③．
由正弦定理得，，
又B＝π﹣（A+C），∴，
∴，
∴，
易知sinC＞0，
∴，∵0＜A＜π，
∴；
（2）＝＝＝＝＝
又C，所以m＞1．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角及辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了数学运算与逻辑推理的核心素养，属于中档题．
20．（12分）已知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240，160，80．为助力疫情防控，现采用分层抽样的方法，从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师，参与“抗击疫情•你我同行”下卡口执勤值守专项行动．
（Ⅰ）求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数；
（Ⅱ）设抽出的6名教师志愿者分别记为A，B，C，D，E，F，现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作．
（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设M为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”，求事件M发生的概率．
【分析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3：2：1，进而计算可得相应的人数；
（Ⅱ）（i）列举随机抽取2名教师志愿者的所有结果共15种；
（ii）随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，共4种，由概率公式可得．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3：2：1
由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师，因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人，2人，1人．
（Ⅱ）（ⅰ）从抽出的 6名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．
（ⅱ）由（Ⅰ），不妨设抽出的6名教师中，来自甲学校的是A，B，C，来自乙学校的是D，E，来自丙学校的是F，则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，共4种．
所以，事件M发生的概率．
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样方法，注意列举事件的可能结果要做到不重不漏．
21．（12分）△ABC的内角分别为A，B，C，A＝，AB＝1，AC＝2，BC边上的高为AD．
（1）用，表示；
（2）若E为AC边上一点，且•＝，试确定E点的位置，并说明理由．
【分析】（1）直接由平面向量的线性运算化简得到；
（2）先用表示出，再按照数量积运算即可．
【解答】解：（1）由题意得，
因为，
又，所以，
所以；
（2）设，
因为，
所以
＝
＝，
解得，
故E为AC的中点．
【点评】本题考查了平面向量数量积的性质和运算，属于中档题．
22．（12分）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，米，记∠BHE＝θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度L；
（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
【分析】（1）由∠BHE＝θ，H是AB的中点，易得，，，由污水净化管道的长度L＝EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．
（2）若，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．
（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．
【解答】解：（1），，
．
由于，，
所以，
所以．
所以，．
（2）当时，
，
（米）．
（3），
设sinθ+cosθ＝t，
则，
所以．
由于，
所以．
由于在上单调递减，
所以当即或时，
L取得最大值米．
答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．
【点评】本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于θ的函数，是解答本题的关键．
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2021-2022学年山东省实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）i是虚数单位，若＝a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
2．（5分）已知向量，则与平行的单位向量的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
3．（5分）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
4．（5分）已知向量＝（1，1），＝（2，x），若+与4﹣2平行，则实数x的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
5．（5分）四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据下面四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
（注：一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，它的方差为）
A．平均数为2，方差为2.4 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为3，中位数为2 D．中位数为3，方差为2.8
6．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝30°，c＝10．如果△ABC有两解，则a的取值范围是（ ）
A．[10，20] B． C． D．（10，20）
7．（5分）下列各对事件中，不互为相互独立的事件的是（ ）
A．掷一枚骰子一次，事件M“出现奇数点”；事件N“出现2点或5点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”
8．（5分）已知O为△ABC的外心，，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（ ）
A．如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.2，P（AB）＝0.5
B．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0
C．如果A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0
D．如果A与B相互独立，那么P（）＝0.4，P（A）＝0.4
（多选）10．（5分）某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）
A．样本中女生人数多于男生人数
B．样本中B层人数最多
C．样本中E层次男生人数为6人
D．样本中D层次男生人数多于女生人数
（多选）11．（5分）下列说法中正确的为（ ）
A．已知，且与+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量，，满足，则与的夹角为30°
（多选）12．（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝3OC＝3，点E在弧上．（ ）
A．
B．若，则u＝1
C．若∠DOE＝30°，则
D．的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）计算（1﹣2i）•i102+（）5＝ ．
14．（5分）已知向量||＝3，||＝5，•＝﹣5，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为 ．
15．（5分）已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1…，2xn﹣1的平均数为 ，方差为 ．
16．（5分）已知在△ABC中，，，若，则m+n＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数z＝（m﹣1）+（2m+1）i（m∈R）
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及|z|的最小值．
18．（12分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．
19．（12分）在①bc＝t（b+c），其中t为角A的平分线AD的长（AD与BC交于点D），
②sin2A﹣（sinB﹣sinC）2＝3sinBsinC，
③b＝acosC﹣csinA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
（1）求角A的大小；
（2）求m＝的取值范围．
20．（12分）已知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240，160，80．为助力疫情防控，现采用分层抽样的方法，从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师，参与“抗击疫情•你我同行”下卡口执勤值守专项行动．
（Ⅰ）求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数；
（Ⅱ）设抽出的6名教师志愿者分别记为A，B，C，D，E，F，现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作．
（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设M为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”，求事件M发生的概率．
21．（12分）△ABC的内角分别为A，B，C，A＝，AB＝1，AC＝2，BC边上的高为AD．
（1）用，表示；
（2）若E为AC边上一点，且•＝，试确定E点的位置，并说明理由．
22．（12分）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，米，记∠BHE＝θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度L；
（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
2021-2022学年山东省实验中学高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）i是虚数单位，若＝a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
【分析】先根据两个复数相除的除法法则化简 ，再依据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即得乘积ab的值．
【解答】解：∵＝＝＝﹣1+3i
＝a+bi，∴a＝﹣1，b＝3，∴ab＝﹣1×3＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查两个复数相除的方法，以及两个复数相等的充要条件的应用．
2．（5分）已知向量，则与平行的单位向量的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
【分析】利用向量的模的坐标公式求出向量的模，利用的单位向量公式为±，求出单位向量．
【解答】解：因为||＝＝，
故所求的单位向量为±＝±（1，﹣2）＝±（，﹣），
故选：D．
【点评】本题考查向量的坐标形式的模的公式、考查向量的单位向量公式±．
3．（5分）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
【分析】把该组数据从小到大排列，计算6×80%＝4.8，从而找出对应的第80百分位数．
【解答】解：该组数据从小到大排列为：
5，5，6，7，8，9．
且6×80%＝4.8，
所以这组数据的第80百分位数是8．
故选：C．
【点评】本题考查了一组数据的百分位数问题，是基础题．
4．（5分）已知向量＝（1，1），＝（2，x），若+与4﹣2平行，则实数x的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】写出要用的两个向量的坐标，由+与4﹣2平行，根据向量共线的坐标形式的充要条件可得关于X的方程，解方程可得结果．
【解答】解：∵＝（1，1），＝（2，x），
∴+＝（3，x+1），4﹣2＝（6，4x﹣2），
由于+与4﹣2平行，
得6（x+1）﹣3（4x﹣2）＝0，
解得x＝2．
故选：D．
【点评】本题也可以这样解：因为+与4﹣2平行，则存在常数λ，使+＝λ（4﹣2），即（2λ+1）＝（4λ﹣1），根据向量共线的条件知，向量与共线，故x＝2．
5．（5分）四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据下面四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
（注：一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，它的方差为）
A．平均数为2，方差为2.4 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为3，中位数为2 D．中位数为3，方差为2.8
【分析】举反例，结合排除法，可得结论．
【解答】解：B：当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故选项B错；
C：当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故选项C错；
D：当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：＝（1+2+3+3+6）＝3，
方差为S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故选项D错．
故选：A．
【点评】本题考查统计数据中的中位数、众数、平均数、方差的求法，是基础题．
6．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝30°，c＝10．如果△ABC有两解，则a的取值范围是（ ）
A．[10，20] B． C． D．（10，20）
【分析】利用正弦定理即可判断三角形解的情况．
【解答】解：△ABC中，C＝30°，c＝10，
如果△ABC有两解，则由正弦定理得：＝＝＝20，
a＝20sinA，
由题意知30°＜A＜150°，且A≠90°，所以＜sinA＜1，
所以10＜20sinA＜20，即a的取值范围是（10，20）．
故选：D．
【点评】本题考查了利用正弦定理判断三角形解的情况应用问题，是基础题．
7．（5分）下列各对事件中，不互为相互独立的事件的是（ ）
A．掷一枚骰子一次，事件M“出现奇数点”；事件N“出现2点或5点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”
【分析】利用对立事件和相互独立事件的概念，逐个判断各个选项即可．
【解答】解：对于选项A：事件M＝{1，3，5}，事件N＝{2，5}，事件MN＝{5}，基本事件空间Q＝{1，2，3，4，5，6}，
所以P（M）＝，P（N）＝，P（MN）＝，
所以P（MN）＝P（M）P（N），
因此事件M与事件N为相互独立事件；
对于选项B：袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，P（M）＝，
事件N“第二次摸到白球”，P（N）＝，
所以P（MN）＝P（M）P（N），故事件M与事件N是相互独立事件；
对于选项C：袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”，
则事件M发生与否和事件N有关，故事件M和事件N与不是相互独立事件；
对于选项D：甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；
故选：C．
【点评】本题主要考查了独立事件的定义，属于基础题．
8．（5分）已知O为△ABC的外心，，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，设cos∠ABC＝θ，||＝||＝||＝r，将变形为﹣4＝3+5，由数量积的计算公式可得cos2θ的值，由二倍角公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设∠ABC＝θ，则∠AOC＝2θ，若O为△ABC的外心，则设||＝||＝||＝r，
若，则﹣4＝3+5，
则有162＝92+252+30•，即16r2＝9r2+25r2+30r2cos2θ，
变形可得cos2θ＝﹣，
由图可得：0＜2θ＜π，则0＜θ＜，
则有cos2θ＝2cos2θ﹣1＝﹣，
变形可得cosθ＝，
故选：A．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（ ）
A．如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.2，P（AB）＝0.5
B．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0
C．如果A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0
D．如果A与B相互独立，那么P（）＝0.4，P（A）＝0.4
【分析】利用对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式直接求解．
【解答】解：由事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，知：
对于A，如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.5，P（AB）＝0.2，故A错误；
对于B，如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.7，P（AB）＝0，故B正确；
对于C，如果A与B相互独立，
那么P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.5+0.2﹣0.5×0.2＝0.6，
P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.2＝0.1，故C错误；
对于D，如果A与B相互独立，
那么P（）＝P（）P（）＝（1﹣0.5）×（1﹣0.2）＝0.4，
P（A）＝P（A）P（）＝0.5×（1﹣0.2）＝0.4，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）
A．样本中女生人数多于男生人数
B．样本中B层人数最多
C．样本中E层次男生人数为6人
D．样本中D层次男生人数多于女生人数
【分析】根据频率直方图，扇形图求出选项中的数，进行比较．
【解答】解：由女生频数直方图可知女生人数为：9+24+15+9+3＝60，则男生人数为100﹣60＝40，则A对；
由图可知：女生人数中B层的人最多，男生人数中B层的人最多，则总人数中B层的人最多，B对；
可求出E层为（1﹣0.1﹣0.3﹣0.25﹣0.2）×40＝6人，C对；
样本中D层次男生人数为40×20%＝8，样本中D层次女生人数为9，D错，
故选：ABC．
【点评】本题考查频率直方图，扇形图，考查学生对图表的整合能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）下列说法中正确的为（ ）
A．已知，且与+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量，，满足，则与的夹角为30°
【分析】利用向量的模长和向量的共线，向量的基底，向量的夹角判断即可．
【解答】解：对于A：∵＝（1，2），＝（1，1），∴+＝（1+λ，2+λ），
∵与+的夹角为锐角，∴，∴λ＞﹣且λ≠0，故A错误，
对于B：向量＝（2，﹣3），＝（，﹣），由于＝4，所以，共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确，
对于C：由于向量不能比较大小，故C错误，
对于D：非零向量和满足||＝||＝|﹣|，则以这三边构成的三角形为等边三角形，则与﹣的夹角为30°，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查向量的模长和向量的共线，向量的基底，向量的夹角，属于中档题．
（多选）12．（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝3OC＝3，点E在弧上．（ ）
A．
B．若，则u＝1
C．若∠DOE＝30°，则
D．的最小值为
【分析】A选项先利用 ，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；C选项通过
【解答】解：，A错误；
由知，E为弧CD的中点，又∠AOB＝120°，由平行四边形法则可知则，故u＝1，B正确．
由∠DOE＝30°知，，设，
则
解得故，C正确．
＝
＝，
当且仅当∠BOE＝60°时，等号成立，故的最小值为，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）计算（1﹣2i）•i102+（）5＝ ﹣1+3i ．
【分析】根据复数的运算法则化简即可．
【解答】解：（1﹣2i）•i102+
＝
＝﹣1+2i+i5＝﹣1+3i．
故答案为：﹣1+3i．
【点评】本题考查了复数的运算，属基础题．
14．（5分）已知向量||＝3，||＝5，•＝﹣5，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为 ﹣ ．
【分析】根据•＝﹣5，根据投影的计算公式即可得出投影向量．
【解答】解：∵向量||＝3，||＝5，•＝﹣5，且是与方向相同的单位向量，
∴在上的投影向量为：＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，投影的计算公式，以及投影向量的定义，考查了计算能力，是基础题．
15．（5分）已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为2，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1…，2xn﹣1的平均数为 19 ，方差为 8 ．
【分析】根据平均数与方差的公式即可求出数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，…2xn﹣1的平均数与方差．
【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，…xn的平均数是10，方差是2，
∴＝（x1+x2+x3+…+xn）＝10，
s2＝[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+（x3﹣10）2+…+（xn﹣10）2]＝2；
∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，2x3﹣1，…，2xn﹣1的平均数是＝[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+（2x3﹣1）+…+（2xn﹣1）]＝2×（x1+x2+x3+…+xn）﹣1＝19，
方差是s′2＝{[（2x1﹣1）﹣19]2+…+[（2xn﹣1）﹣19]2}＝22•[（x1﹣10）2+（x2﹣10）2+（x3﹣10）2+（xn﹣10）2]＝4×2＝8．
故答案为：19，8．
【点评】本题考查了计算数据的平均数与方差的问题，解题时应根据公式进行计算，也可以利用平均数与方差的性质直接得出答案．
16．（5分）已知在△ABC中，，，若，则m+n＝ ．
【分析】利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理得到＝+，再与已知对比即可．
【解答】解：∵，，
∴＝，＝＝（﹣）＝（﹣）+×＝﹣+，
∴＝+＝﹣+＝+，
∵，
∴m＝，n＝，
∴m+n＝．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数z＝（m﹣1）+（2m+1）i（m∈R）
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及|z|的最小值．
【分析】（1）利用纯虚数的定义即可得出．
（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．
【解答】解：（1）∵z＝（m﹣1）+（2m+1）i（m∈R）为纯虚数，
∴m﹣1＝0且2m+1≠0∴m＝1…（4分）
（2）z在复平面内的对应点为（m﹣1，2m+1）
由题意：，∴．
即实数m的取值范围是．…（7分）
而|z|＝＝＝，
当时，＝．…（10分）
【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数模的计算公式、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（12分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．
【分析】（1）由频率分布直方图求出[50，60）的频率为0.16，根据得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．能求出n，y，从而能求出x．
（2）由频率分布直方图能估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得[50，60）的频率为0.016×10＝0.16，
∵得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．
∴＝50，y＝＝，
∴x＝[1﹣（0.016+0.04+0.01+0.004）×10]÷10＝0.03．
（2）估计本次竞赛学生成绩的众数为：，
∵[50，70）的频率为：（0.016+0.03）×10＝0.46，
[70，80）的频率为：0.04×10＝0.4，
∴中位数为：＝71，
平均数为：55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．
【点评】本题考查样本容量、频率、众数、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（12分）在①bc＝t（b+c），其中t为角A的平分线AD的长（AD与BC交于点D），
②sin2A﹣（sinB﹣sinC）2＝3sinBsinC，
③b＝acosC﹣csinA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
（1）求角A的大小；
（2）求m＝的取值范围．
【分析】（1）：选条件①bc＝t（b+c），结合等面积及三角形面积公式进行转化，然后结合二倍角公式可求；
选条件②sin2A﹣（sinB﹣sinC）2＝3sinBsinC，结合正弦定理及余弦定理进行化简可求cosA，进而可求A；
选条件③，结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tanA，进而可求A；
（2）由已知结合正弦定理表示m，然后结合和差角及辅助角公式进行化简，结合正切函数的性质可求．
【解答】解：（1）方案一：选条件①bc＝t（b+c）．
由题意可得S△BAD+S△CAD＝S△ABC，
∴．
∵AD为∠BAC的平分线，，
∴ctsin∠BAD+btsin∠BAD＝bcsin2∠BAD，即t（c+b）sin∠BAD＝bcsin2∠BAD
又bc＝t（b+c），
∴sin∠BAD＝sin2∠BAD，即sin∠BAD＝2sin∠BADcos∠BAD，
∵，
∴，
∴，
∴．
方案二：选条件②sin2A﹣（sinB﹣sinC）2＝3sinBsinC．
由已知结合正弦定理得a2﹣b2﹣c2＝bc，
由余弦定理得，
∵0＜A＜π，∴．
方案三：选条件③．
由正弦定理得，，
又B＝π﹣（A+C），∴，
∴，
∴，
易知sinC＞0，
∴，∵0＜A＜π，
∴；
（2）＝＝＝＝＝
又C，所以m＞1．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角及辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了数学运算与逻辑推理的核心素养，属于中档题．
20．（12分）已知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240，160，80．为助力疫情防控，现采用分层抽样的方法，从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师，参与“抗击疫情•你我同行”下卡口执勤值守专项行动．
（Ⅰ）求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数；
（Ⅱ）设抽出的6名教师志愿者分别记为A，B，C，D，E，F，现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作．
（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设M为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”，求事件M发生的概率．
【分析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3：2：1，进而计算可得相应的人数；
（Ⅱ）（i）列举随机抽取2名教师志愿者的所有结果共15种；
（ii）随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，共4种，由概率公式可得．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3：2：1
由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师，因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人，2人，1人．
（Ⅱ）（ⅰ）从抽出的 6名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．
（ⅱ）由（Ⅰ），不妨设抽出的6名教师中，来自甲学校的是A，B，C，来自乙学校的是D，E，来自丙学校的是F，则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，共4种．
所以，事件M发生的概率．
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样方法，注意列举事件的可能结果要做到不重不漏．
21．（12分）△ABC的内角分别为A，B，C，A＝，AB＝1，AC＝2，BC边上的高为AD．
（1）用，表示；
（2）若E为AC边上一点，且•＝，试确定E点的位置，并说明理由．
【分析】（1）直接由平面向量的线性运算化简得到；
（2）先用表示出，再按照数量积运算即可．
【解答】解：（1）由题意得，
因为，
又，所以，
所以；
（2）设，
因为，
所以
＝
＝，
解得，
故E为AC的中点．
【点评】本题考查了平面向量数量积的性质和运算，属于中档题．
22．（12分）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，米，记∠BHE＝θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度L；
（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
【分析】（1）由∠BHE＝θ，H是AB的中点，易得，，，由污水净化管道的长度L＝EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为θ的函数．
（2）若，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值．
（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论．
【解答】解：（1），，
．
由于，，
所以，
所以．
所以，．
（2）当时，
，
（米）．
（3），
设sinθ+cosθ＝t，
则，
所以．
由于，
所以．
由于在上单调递减，
所以当即或时，
L取得最大值米．
答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．
【点评】本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于θ的函数，是解答本题的关键．
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