2021-2022学年山东省菏泽市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省菏泽市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知复数，则复数共轭复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 高一、班有学生人，高一、班有学生人，用分层抽样的方法从这两个班中抽出一部分人组成方队，进行会操比赛，则高一、班和高一、班分别被抽取的人数是(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

3. 甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，下列说法错误的是(    )

A. 两人都做对的概率是 B. 恰好有一人做对的概率是
C. 两人都做错的概率是 D. 至少有一人做对的概率是

4. 已知向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据单位：，那么该壶的最大盛水量为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 甲，乙两个车间生产同一种产品，为保证产品质量，现从两车间抽取件产品进行检验．采取以下方法抽取：从装有除颜色不同外完全相同的个红球和个白球的袋子里抽取两个球，如果抽到两球颜色相同就从甲车间抽取一件产品，如果两球颜色不同就从乙车间抽取一件产品，两车间分别抽取的产品数最接近的是(    )

A. 甲车间件，乙车间件 B. 甲车间件，乙车间件
C. 甲车间件，乙车间件 D. 甲车间件，乙车间件

7. 在中，角、、对边分别为、、，且，当，时，的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了人作为样本，进行满意度调查，得到以下数据表格单位：人次，则下列说法正确的是(    )

A. 满意度为
B. 不满意度为
C. 三种年龄层次的人群中，青年人更倾向于选择自助餐
D. 从点餐不满意的顾客中选取人，则两人都是中年人的概率是

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 某学校有名学生，为更好的了解学生身体健康情况，随机抽取了名学生进行测试，测试成绩单位：分的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的有(    )

A. 频率分布直方图中的值为
B. 估计这名学生成绩的中位数约为
C. 估计这名学生成绩的众数为
D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为

10. 已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的有(    )

A. 面积的最大值为
B.
C. 周长的最大值为
D. 的取值范围为

11. 如图，在中，，，是的三等分点，且，则下列结论正确的有(    )

A.
B.
C.
D.

12. 如图所示，四边形是边长为的正方形，、、分别为、、的中点，分别沿、及所在直线把，和折起，使、、三点重合于点，得到如图所示的三棱锥，则下列结论中正确的有(    )

A. 四面体中与面互相垂直的棱有条
B. 三棱锥的体积为
C. 与平面所成角的正切值为
D. 过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 复数在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，则实数______．
14. 中，，，则此三角形的外接圆半径是______．
15. 已知样本的各个个体的值由小到大依次为，，，，，，，，，，且样本的中位数为，则______；若要使该样本的方差最小，则______．
16. 如图，已知二面角的棱上有，两点，，，，，若，，有以下结论：
    直线与所成角的大小为；
    二面角的大小为；
    三棱锥的体积为；
    直线与平面所成角的正弦值为则正确结论的序号为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于、的任意一点，且求证：
    平面平面；
    当点不与、重合在圆周上运动时，求平面与所在的平面所成二面角大小的范围．

18. 第届北京冬季奥林匹克运动会于年月日至月日由北京和张家口联合举办．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它起了中国历史上第一次举办冬季奥运会、它掀起了中国人民参与冬季运动会的热潮．某比赛场馆为了顺利完成比赛任务．招募了名志愿者，并分成医疗组和服务组．根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图．
    试估计名志愿者的平均年龄及第百分位数；
    已知医疗组人，服务组人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取人．再从这人中选取人组成综合组，求综合组中至少有人来自医疗组的概率．

19. 如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的点出发到达对岸的点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为已知船在静水中的速度的大小为，水流的速度的大小为．
    求：
    ；
    船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值．

20. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，且，，．
    若为的中点，求证平面；
    求证平面．

21. 如图，在中，已知，，，且求．

22. 如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为，点，分别为棱，的中点．
    过、、三点作该正三棱柱的截面，求截面图形的周长；
    求与平面所成角的正弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
共轭复数的虚部为，
故选：．
先化简复数，再根据共轭复数的概念即可得解．
本题考查复数的运算，共轭复数的概念，属基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：班与班学生人数之比为：：，又抽取的人数为人，
班抽取的人数为，
班抽取的人数为，
故选：．
根据分层抽样的概念即可求解．
本题考查分层抽样的概念，属基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设事件“甲做对”，事件“乙做对”，
则，，又，相互独立，
两人都做对的概率是，选项正确；
恰好有一人做对的概率是
，选项正确；
两人都做错的概率是，选项错误；
至少有一人做对的概率是，选项正确．
故选：．
根据相互独立事件的积事件的概率乘法公式，独立事件的的概率公式即可求解．
本题考查相互独立事件的积事件的概率乘法公式，独立事件的的概率公式，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，又，
，
．
故选：．
根据向量垂直的性质，建立方程即可求解．
本题考查向量垂直的性质，向量数量积的坐标运算，方程思想，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可知该壶对应的圆台的上底面圆半径，下底面圆的半径，高，
圆台的体积为：，
该壶的最大盛水量为．
故选：．
根据圆台的体积公式即可求解．
本题考查圆台的体积公式，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：从装有除颜色不同外完全相同的个红球和个白球的袋子里抽取两个球，
抽到两球颜色相同的概率，
抽到两球颜色不同的概率，
根据题意可得甲车间抽取的产品数为，
乙车间抽取的产品数为，
故选：．
先根据古典概型的概率公式分别计算出在两车间取球的概率，再根据概率求两车间抽取的人数，从而得解．
本题考查古典概型的概率公式，组合数公式，独立事件的概率公式，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，由正弦定理可得：
，
，又为三角形的内角，
，又，，
由余弦定理可得，
，解得，
的面积是，
故选：．
先根据正弦定理可求出，再根据余弦定理求出，最后代入三角形面积公式即可求解．
本题考查正弦定理，余弦定理，方程思想，属基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对选项，满意度为，选项错误；
对选项，不满意度为，选项错误；
对选项，老年人选择自助餐的比例为，
中年人选择自助餐的比例为，
青年人选择自助餐的比例为，又，
中年人更倾向于选择自助餐，C错误；
点餐不满意的顾客中老年人有人，中年人有人，青年人有人，一共有人，
从点餐不满意的顾客中选取人，则两人都是中年人的概率是，
选项正确．
故选：．
根据频率的概念，古典概型的概率公式即可求解．
本题考查频率、概率的概念，考查古典概型的概率公式，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：频率分布直方图中的所有小矩形的面积和为，
，，，选项正确；
前二组的频率和为，前三组的频率和为，
中位数在第三组中，设其为，则，
解得，选项正确；
最高矩形的中点值为，众数约为，选项错误；
样本中成绩落在内的频率为，又学校总的学生数为，
估计总体中成绩落在内的学生人数为，选项错误．
故选：．
根据频率分布直方图的相关知识即可求解．
本题考查频率分布直方图，并通过频率分布直方图估计众数、中位数，考查通过样本估计总体，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对选项，，，，
当且仅当时，取得等号，
，，选项正确；
对选项，

，选项错误；
对选项，由选项的分析知，
，且仅当时，取得等号，
，，又，
周长，选项正确；
对选项，，，
，
又，，
，选项错误．
故选：．
根据余弦定理，重要不等式，均值不等式，三角函数的性质即可求解．
本题考查余弦定理，重要不等式，均值不等式，三角函数的性质，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：中，，是的三等分点，
由平面向量的基本定理可得，，
选项错误，选项正确；
又，，，是的三等分点，




，
选项正确；
又，
，
，
选项正确．
故选：．
根据平面向量的基本定理，向量的线性运算，数量积的定义与性质即可求解．
本题考查平面向量的基本定理，向量的线性运算，数量积的定义与性质，属基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由折叠前后中的不变关系可知：
，，，且，，，
易得平面，平面，平面，
选项正确；
三棱锥的体积，
选项错误；
平面，与平面所成角为，
，选项正确；
平面，平面，平面，
可将三棱锥补全成长，宽，高分别为，，的一个长方体，
则长方体的体对角线即为三棱锥的外接球的直径，
，，
又为的中点，且，在球面上，
过的截面的最小圆为以为直径的圆，其面积为，
过的截面的最大圆为球的大圆，其面积为，
过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为，
选项正确．
故选：．
先根据折叠前后中的不变关系可知：，，，且，，，再由线面垂直判定定理，转化锥体的顶点与底面，线面角的定义，分割补形法即可求解．
本题考查线面垂直判定定理，化归转化思想，线面角的定义，分割补形法，三棱锥外接球问题，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，
，，
故答案为：．
先化简复数，再根据复数的几何意义及易知条件建立的方程即可求解．
本题考查复数的运算，复数的几何意义，方程思想，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：解法一：如图，设的外接圆的半径为，圆心为，
，，
的外接圆的圆心在的垂直平分线上，且满足，
设的垂直平分线交于点，根据题意可得，，
在中由勾股定理可得，
，
解得，
的外接圆半径是．
解法二：如图设，则，，
，
由正弦定理可得，
，
，
的外接圆半径是．
故答案为：．
解法一，直接由三角形外接圆的定义确定圆心的位置，再由勾股定理即可求解；
解法二，先由等腰三角形的三边求出顶角的正弦值，再根据正弦定理即可求解．
本题考查三角形的外接圆问题，正弦定理，属基础题．
 

15.【答案】   

【解析】解：样本的中位数为，，
样本的平均数
，
要使该样本的方差最小，则只需最小即可，
根据不等式：，当且仅当时，取得等号，
，
当且仅当，即时，取得等号，
样本的方差最小时，．
故答案为：；．
根据中位数的定义，重要不等式即可求解．
本题考查中位数的定义，重要不等式，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过作，且，再过作，且，
连接，，，，上有，两点，，，，，
易得三棱柱为直三棱柱，
又，，，，为等腰直角三角形，
又，，为等边三角形，
三棱柱为棱长都为的正三棱柱，
对，，直线与所成角即为，正确；
对，二面角即为二面角，又平面，
即为二面角的平面角，又，正确；
对，，错误；
对，过作，垂足点为，连接，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，又平面即为平面，
与平面所成角为，
又为边长为的等边三角形的高线，，又，
，正确．
故答案为：．
如图，先将三棱锥补全成三棱柱，接着证明三棱柱为棱长都为的正三棱柱，再根据异面直线所成角的定义，二面角的定义，转化锥体的顶点与底面及锥体的体积公式，线面角的定义即可判断．
本题考查分割补形法，异面直线所成角的定义，二面角的定义，化归转化思想，三棱柱的体积公式，线面角的定义，属中档题．
 

17.【答案】解：证明：是的直径，是圆周上不同于、的任意一点，
，又垂直于所在的平面，底面，
，又，
平面，又平面，
平面平面；
点不与、重合在圆周上运动，又由知平面，
平面与所在的平面所成二面角的平面角为，
又，，
在中，，

故平面与所在的平面所成二面角大小的范围为 

【解析】先证明，，从而由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明平面平面；
由平面可得平面与所在的平面所成二面角的平面角为，再利用函数思想即可求解．
本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，线面角的定义，函数思想，属中档题．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图可得，，
即，
所以估计这名志愿者的平均年龄为岁，
因为前三组的频率之和为，
第四组的频率为，
，
所以第百分位数一定在第四组，
设第百分位数为，则，
解得，
所以第百分位数为；
因为医疗组人，服务组人，所以按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取人，其中医疗组人，
服务组人，再从这人中选取人组成综合组有种选法，
至少有人来自医疗组的选法有种选法，
所以综合组中至少有人来自医疗组的概率为． 

【解析】根据频率分布直方图各个小长方形面积之和为，求出，再由平均数和第百分位数定义求解即可；
由题意这人中选取人组成综合组有种选法，至少有人来自医疗组的选法有种选法，再利用古典概型求解即可．
本题考查相互独立事件的概率，频率分布直方图，考查对数据的分析与处理能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：如图，河的宽度，，
，，
设合速，，船在静水中的速度，
则，
由题意可得，且，
又，在中由余弦定理可得：
；
由，，，
由余弦定理可得，
又，
． 

【解析】由题意可得，结合已知条件利用余弦定理得；
由结合余弦定理即可求出．
本题考查向量的三角形加法法则，余弦定理，属基础题．
 

20.【答案】解：证明：取的中点，连接，，又为的中点，
，且，又，且，
，且，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面；
证明：设为的中点，为的中点，则由可知，
又，为的中点，，又，
，又，且，，平面，
平面． 

【解析】取的中点，连接，又为的中点，，且，则可证得四边形为平行四边形，从而得，最后再由线面平行的判定定理即可得证；
由可知，又易证，从而得，又，再结合线面垂直判定定理即可得证．
本题考查线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，属基础题．
 

21.【答案】解：如图，以所在直线为轴，以过且垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，
，，，，，，
又为的重心，为，
，，
． 

【解析】建系，利用三角形的重心重心坐标公式，向量数量积及夹角公式的坐标运算即可求解．
本题考查三角形的重心重心坐标公式，向量数量积及夹角公式的坐标运算，属中档题．
 

22.【答案】解：如图，分别延长，，交于点，再连接交于点，
再连接，则过、、三点的平面截该正三棱柱的截面为平面四边形，
≌，易得为的中点，
又∽，，
，，又，且，
在中由余弦定理可得，
又，，，
截面图形的周长为；
设点到平面的距离为，连接，
则易证平面，且，又，，
，又，
等腰三角形的底边上的高为，
的面积为，
又的面积为，
到平面的距离等于到平面的距离，即为，
由等体积算法可得
，
，
，又，设与平面所成角为，
则，
故A与平面所成角的正弦值为． 

【解析】分别延长，，交于点，再连接交于点，则平面四边形的周长即为所求，再分别解三角形即可求解；
设点到平面的距离为，利用等体积法求出，又易得，从而得与平面所成角的正弦值．
本题考查空间中的线性关系，利用相交直线拓展平面，解三角形，等体积法点面距，线面角的定义，属中档题．