2021-2022学年山东省青岛市某校高一（下）月考数学试卷

这是一份2021-2022学年山东省青岛市某校高一（下）月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. tan−5π6=（ ）
A.33B.3C.−3D.−33

2. 函数fx=sinx+π6的定义域为（ ）
A.RB.2kπ,π+2kπk∈Z
C.−π6+2kπ,5π6+2kπk∈ZD.π6+2kπ,7π6+2kπk∈Z

3. 在△ABC中，D为BC的中点，则CD→−DA→=（ ）
A.AC→B.CA→C.BA→D.AB→

4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=30∘,c=10．如果△ABC有两解，则a的取值范围是（ ）
A.10,20B.10,103C.10,103D.10,20

5. 2月5日，在北京冬奥会短道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌．如图，短道速滑的比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m，直道长为28.85m，点O为半圆的圆心，点N为弯道与直道的连接点，运动员沿滑道逆时针滑行．在某次短道速滑比赛最后一圈的冲刺中，运动员小夏在弯道上的P点处成功超过所有对手，并领先到终点Q（终点Q为直道的中点）．若从P点滑行到Q点的距离为31.425m，则∠PON=（ ）

A.π2B.53C.2D.2π3

6. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，csB=223,3sinA=2sinC，则b=（ ）
A.3B.3C.2D.2

7. 已知a→，b→为非零向量， 且3|a→|=2|b→|，|a→+2b→|=|2a→−b→|，则a→与b→夹角的余弦值为( )
A.38B.316C.68D.616

8. 如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔19km，速度为300km/h飞行员先在A处看到山顶的俯角为45∘，经过2min 后，又在B处看到山顶的俯角为75∘，则山顶的海拔约为（结果精确到0.1，参考数据:3≈1.732）（ ）

二、多选题

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=7,b=2,A=π3，则（ ）
A.c=3B.sinB=217
C.sinC=217D.△ABC外接圆的面积为7π3

已知一正弦电流I（单位：A）随时间（单位：s）变化的函数I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2）的部分图象如图所示，则（ ）

A.ω=75π
B.φ=−π3
C.当t=13900时，电流为25A
D.当t∈130,11300时，电流逐渐变大

折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB=120∘,OA=3OC=3，点E在弧CD上（ ）

A.OA→⋅CD→=−2
B.若OE→=uOC→+uOD→，则u=1
C.若∠DOE=30∘，则OE→=33OC→+233OD→
D.EA→⋅EB→的最小值为−132

已知函数fx=|sinx|+cs|x|，则（ ）
A.fx是偶函数B.fx的最小正周期为2π
C.fx在区间0,π2上单调递减D.∀x∈R,fx≥−1
三、填空题

已知fx=csx+φ是奇函数，则φ的值可以为________.

已知a→=2,−1，则与a→方向相同的单位向量的坐标为________.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs2C=sin2A+cs2B−sinAsinC，且b=6，则B=________，△ABC外接圆的面积为________．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3， a=3，且BC→=2BD→，则|AD→|的最大值为________.
四、解答题

已知角α的终边经过点Pm,5，csα=66.
(1)求tanα的值；

(2)求csπ+α−sinπ2−αsin−α的值．

已知向量a→=4,0,b→=1,2,c→=−3,5.
(1)求a→在b→上的投影向量的模长；

(2)若a→+kb→⊥b→−c→，求k的值．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsC+ccsB=2acsA.
(1)求A的大小；

(2)若b=22，且△ABC的面积为2，试判断△ABC的形状．

已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ|≤π2只满足下列三个条件中的两个：①fx图象上的一个最高点坐标为π6,2；②fx的图象可由y=2sin3x−π3的图象平移得到；③fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)求fx的解析式；

(2)将fx的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数gx的图象，若方程gx=m在x∈0,7π12上有两个不相等的实数根x1,x2，求m的取值范围，并求x1+x2 的值．

△ABC的内角为A，B，C，A=π2,AB=1,AC=2，BC边上的高为AD．
(1)用AB→,AC→表示AD→；

(2)若E为AC边上一点，且ED→⋅AD→=25，试确定E点的位置，并说明理由．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA−tanB=tanBcsA.
(1)证明：A=2B；

(2)若c=4，且△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围．
参考答案与试题解析
2021-2022学年山东省青岛市某校高一（下）月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：tan−5π6=33.
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由sinx+π6≥0可得2kπ≤x+π6≤π+2kπ,k∈Z,解得−π6+2kπ≤x≤5π6+2kπ,k∈Z.
故fx的定义域为−π6+2kπ,5π6+2kπk∈Z
3.
【答案】
D
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
CD→−DA→=DB→+AD→=AB→
4.
【答案】
D
【考点】
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为△ABC有两解，所以asinC=12a5.
【答案】
C
【考点】
弧长公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
扇形PON的弧长为31.425−12×28.85=17，故∠PON=178.5=2
6.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
三角形的面积公式
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由正弦定理得2c=3a=32，得c=3．由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，得b2=2+9−2×2×3×223=3，即b=3
7.
【答案】
B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
将等式|a→+2b→|=|2a→−b→|两边平方，得8a→⋅b→+3b→2=3a→2，即8|a→||b→|csθ+3|b→|2=3|a→|2．将|a→|=23|b→|代人8|a→||b→|csθ+3|b→|2=3|a|2，得csθ=316.
8.
【答案】
B
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
如图，过C点作直线AB的垂线，垂足为D．
由题意得AB=300×130=10km，∠ACB=30∘，因为ABsin∠ACB=BCsin∠BAC，
所以BC=AB⋅sin∠BACsin∠ACB=102km，又因为sin75∘=sin45∘+30∘=6+24，
所以CD=BC⋅sin∠CBD=102⋅6+24=53+1≈13.66km，
故山顶的海拔约为19−13.66≈5.3km
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
余弦定理
解三角形
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为asinA=bsinB=csinC=2R，所以sinB=217,R=213，则△ABC外接圆的面积为πR2=7π3．因为a2=b2+c2−2bccsA=4+c2−2×2ccsπ3=7，所以c=3,sinC=3217
【答案】
A,C,D
【考点】
y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由图可知A=50，由3T4=6300，得T=275,ω=2πT=75π.因为50sin75π×7300+φ=−50，
所以7π4+φ=3π2+2kπk∈Z，得φ=−π4+2kπk∈Z，即φ=−π4，所以I=50sin75πt−π4．
当t=13900时，I=50sin5π6=25．当t∈130,11300时，75πt−π4∈9π4,5π2，电流逐渐变大．
【答案】
B,C,D
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量数量积
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
OA→⋅CD→=OA→⋅CO→+OD→=OA→⋅CO→+OD→=−92，A错误．
设弧CD的中点为F，则OF→=OC→+OD→，因为点E在弧CD上，所以点E与点F重合，OE→=OC→+OD→，故u=1，B正确．
设OE→=xOC→+yOD→，
则OC→⋅OE→=OC→ xOC→+yOD→=x−12y=0，OD→⋅OE→=OD→⋅xOC→+yOD→=−12x+y=32,
解得 x=33,y=233 故OE→=33OC→+233OD→，C正确．
EA→⋅EB→=(EO→+OA→)⋅(EO→+OB→)=EO→2+EO→⋅OB→+OA→⋅EO→+OA→⋅OB→=1−3cs∠BOE−3cs(120∘−∠BOE)−92=−72−3sin(∠BOE+30∘)≥−132，当且仅当∠BOE=60∘时，等号成立，故EA→⋅EB→的最小值为−132，D正确．
【答案】
A,B,D
【考点】
两角和与差的正弦公式
函数奇偶性的判断
正弦函数的单调性
正弦函数的周期性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为f−x=|sin−x|+cs|−x|=|sinx|+cs|x|=fx，所以fx是偶函数，A正确．当x∈2kπ,π+2kπ,k∈Z时，fx=sinx+csx=2sinx+π4
当x∈π+2kπ,2π+2kπ,k∈Z时，fx=−sinx+csx=−2sinx−π4
画出fx的图象，如图所示，
由图可得B，D正确，C错误．
三、填空题
【答案】
π2
【考点】
余弦函数的奇偶性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为fx=csx+φ是奇函数，所以φ=π2+kπ,k∈Z
【答案】
255,−55
【考点】
单位向量
平行向量的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
设与a→共线的单位向量的坐标为x,y，则x2+y2=1x+2y=0,解得 x=255,y=−55 或 x=−255y=55 故与a→同方向的单位向量的坐标是255,−55
【答案】
π3,12π
【考点】
余弦定理
正弦定理
三角形的面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题意得1−sin2C=sin2A+1−sin2B−sinAsinC，得ac=a2+c2−b2，所以csB=a2+c2−b22ac=12，即B=π3．由正弦定理，得△ABC外接圆的半径R=b2sinB=23，所以△ABC外接圆的面积为πR2=12π
【答案】
332
【考点】
余弦定理
向量的几何表示
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由余弦定理得9=b2+c2−bc①，
因为9=b2+c2−bc≥2b2c2−bc（当且仅当b=c=3时，等号成立），所以bc≤9．
由题意得AD→=12AB→+12AC→，得4|AD→|2=|AB→|2+|AC→|2+2|AB→||AC→|csA，
即4|AD→|2=b2+c2+bc②．
②-①得4|AD→|2−9=2bc≤18，所以|AD→|≤332
四、解答题
【答案】
解：(1)由三角函数的定义可知csα=66=mm2+5，
解得m=1．
所以tanα=5m=5．
(2)原式=−csα−csα−sinα
=2csαsinα=2tanα=255．
【考点】
三角函数线
象限角、轴线角
诱导公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由三角函数的定义可知csα=66=mm2+5，
解得m=1．
所以tanα=5m=5．
(2)原式=−csα−csα−sinα
=2csαsinα=2tanα=255．
【答案】
解：(1)因为|a→|csθ=a→⋅b→|b→|=45=455，
所以a→在b→上的投影向量的模长为455．
(2)由题意得a→+kb→=4,0+k,2k=4+k,2k，
b→−c→=1,2−−3,5=4,−3，
因为a→+kb→⊥b→−c→，所以44+k−6k=0，得k=8
【考点】
向量的投影
向量的模
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为|a→|csθ=a→⋅b→|b→|=45=455，
所以a→在b→上的投影向量的模长为455．
(2)由题意得a→+kb→=4,0+k,2k=4+k,2k，
b→−c→=1,2−−3,5=4,−3，
因为a→+kb→⊥b→−c→，所以44+k−6k=0，得k=8
【答案】
解：(1)由正弦定理得sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsA，
得sinB+C=sinA=2sinAcsA，
因为A∈0,π，所以csA=22，
即A=π4．
(2)因为S△ABC=12bcsinA=2，
所以c=2，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=8+4−2×22×2×22=4，得a=2，
因为a=c，且a2+c2=b2，
所以△ABC为等腰直角三角形．
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦定理
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由正弦定理得sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsA，
得sinB+C=sinA=2sinAcsA，
因为A∈0,π，所以csA=22，
即A=π4．
(2)因为S△ABC=12bcsinA=2，
所以c=2，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=8+4−2×22×2×22=4，得a=2，
因为a=c，且a2+c2=b2，
所以△ABC为等腰直角三角形．
【答案】
解：(1)函数fx满足的条件为①③，
理由如下：若满足条件①，则A=2;
若满足条件②，则A=2,T=2π3，所以①②相互矛盾；
若满足条件③，则T=π，所以ω=2，所以②③也相互矛盾．
所以fx满足的两个条件只能为①③．
此时A=2,ω=2,fx=2sin2x+φ,
因为fx图象上的一个最高点的坐标为π6,2,
所以fπ6=2sin2×π6+φ=2，解得φ=π6+2kπ,k∈Z,
因为|φ|≤π2，所以φ=π6.
故fx=2sin2x+π6．
(2)将fx的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数gx=2sin2x−π4+π6=2sin2x−π3,x∈0,7π12的图象，
所以−π3≤2x−π3≤5π6
当2x−π3∈−π3,π2时，gx单调递增；当2x−π3∈(π2,5π6]时，gx单调递减．
g0=−3,g7π12=1,gxmax=2.
因为方程gx=m在0,7π12上有两个不相等的实数根x1,x2
所以m的取值范围是[1,2），
此时2x1−π3+2x2−π3=π，所以x1+x2=5π6.
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)函数fx满足的条件为①③，
理由如下：若满足条件①，则A=2;
若满足条件②，则A=2,T=2π3，所以①②相互矛盾；
若满足条件③，则T=π，所以ω=2，所以②③也相互矛盾．
所以fx满足的两个条件只能为①③．
此时A=2,ω=2,fx=2sin2x+φ,
因为fx图象上的一个最高点的坐标为π6,2,
所以fπ6=2sin2×π6+φ=2，解得φ=π6+2kπ,k∈Z,
因为|φ|≤π2，所以φ=π6.
故fx=2sin2x+π6．
(2)将fx的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数gx=2sin2x−π4+π6=2sin2x−π3,x∈0,7π12的图象，
所以−π3≤2x−π3≤5π6
当2x−π3∈−π3,π2时，gx单调递增；当2x−π3∈(π2,5π6]时，gx单调递减．
g0=−3,g7π12=1,gxmax=2.
因为方程gx=m在0,7π12上有两个不相等的实数根x1,x2
所以m的取值范围是[1,2），
此时2x1−π3+2x2−π3=π，所以x1+x2=5π6.
【答案】
解：(1)由题意得BC=AB2+AC2=5．
因为csB=BDAB=ABBC，
所以BD=AB2BC=55．
又BC=5，所以BD→=15BC→，
所以AD→=AB→+BD→=AB→+15BC→=AB→+15AC→−AB→=45AB→+15AC→.
(2)设AE→=λAC→,
因为ED→=EA→+AD→=−λAC→+45AB→+15AC→=45AB→+15−λAC→,
所以ED→⋅AD→=45AB→+15−λAC→⋅45AB→+15AC→
=1625AB→2+425AB→⋅AC→+4515−λAB→⋅AC→+1515−λAC→2
=1625+4515−λ=25，
解得λ=12．
故E为AC的中点．
【考点】
平面向量数量积的运算
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得BC=AB2+AC2=5．
因为csB=BDAB=ABBC，
所以BD=AB2BC=55．
又BC=5，所以BD→=15BC→，
所以AD→=AB→+BD→=AB→+15BC→=AB→+15AC→−AB→=45AB→+15AC→.
(2)设AE→=λAC→,
因为ED→=EA→+AD→=−λAC→+45AB→+15AC→=45AB→+15−λAC→,
所以ED→⋅AD→=45AB→+15−λAC→⋅45AB→+15AC→
=1625AB→2+425AB→⋅AC→+4515−λAB→⋅AC→+1515−λAC→2
=1625+4515−λ=25，
解得λ=12．
故E为AC的中点．
【答案】
(1)证明：由题意得sinAcsA−sinBcsB=sinBcsAcsB，
等式两边同时乘以csAcsB，得sinAcsB−sinBcsA=sinB，
得sinA−B=sinB，
因为A+B+C=π，所以A−B=B，即A=2B．
(2)解：因为asinA=bsinB=csinC，所以a=4sinAsinC,b=4sinBsinC，
所以S△ABC=12absinC=8sinAsinBsinC=8sin2BsinBsinA+B=16sin2BcsBsin2B+B
=16sin2BcsB2sinBcs2B+cs2BsinB=16sinBcsB2cs2B+cs2B=16sinBcsB3cs2B−sin2B=16tanB3−tan2B=163tanB−tanB ，
因为△ABC为锐角三角形，所以0令t=tanB，因为函数ft=163t−t在33,1上单调递增，
所以f33=23故△ABC面积的取值范围为23,8．
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
同角三角函数间的基本关系
三角形的面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：由题意得sinAcsA−sinBcsB=sinBcsAcsB，
等式两边同时乘以csAcsB，得sinAcsB−sinBcsA=sinB，
得sinA−B=sinB，
因为A+B+C=π，所以A−B=B，即A=2B．
(2)解：因为asinA=bsinB=csinC，所以a=4sinAsinC,b=4sinBsinC，
所以S△ABC=12absinC=8sinAsinBsinC=8sin2BsinBsinA+B=16sin2BcsBsin2B+B
=16sin2BcsB2sinBcs2B+cs2BsinB=16sinBcsB2cs2B+cs2B=16sinBcsB3cs2B−sin2B=16tanB3−tan2B=163tanB−tanB ，
因为△ABC为锐角三角形，所以0令t=tanB，因为函数ft=163t−t在33,1上单调递增，
所以f33=23故△ABC面积的取值范围为23,8．