2022-2023学年山东省菏泽市高新区八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省菏泽市高新区八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省菏泽市高新区八年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是(    )A.  B.  C. 或 D. 或2.  如图，中边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是(    )
 A.  B.  C.  D. 3.  不等式的解集在数轴上表示为(    )A.  B.
C.  D. 4.  如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  已知，为常数，若的解集为，则的解集是(    )A.  B.  C.  D. 6.  在中，，，边上的高，则另一边等于(    )A.  B.  C. 或 D. 或7.  如图，中，，，的平分线交于点，平分给出下列结论：；；；正确结论是(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）8.  不等式的正整数解是______．9.  等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为______．10.  对于任意实数、，定义一种运算：例如，请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是______．11.  对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“结果是否大于？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则的取值范围是______．
 12.  如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当______时，和全等．
 三、解答题（本大题共9小题，共71.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.  本小题分
解不等式：．14.  本小题分
当取何正整数值时，代数式与的值的差大于．15.  本小题分
如图，在中，，是边上的中线，于点求证：．
16.  本小题分
如图，在中，，平分，于点，点在上，求证：．
 17.  本小题分
如图：已知和两条公路，以及、两个村庄，建立一个车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到，两条公路的距离相等．
18.  本小题分
年月日至日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为元个，“冰墩墩”挂件的进价为元个．
若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为元个，“冰墩墩”挂件售价定为元个，若购进的个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？19.  本小题分
如图，是的角平分线，、分别是和的高．
试说明垂直平分；
若，，，求的长．
20.  本小题分
学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买个奖品和个奖品共需元；购买个奖品和个奖品共需元．
求，两种奖品的单价；
学校准备购买，两种奖品共个，且奖品的数量不少于奖品数量的请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．21.  本小题分
已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．
求边的长；
当为直角三角形时，求的值；
当为等腰三角形时，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系，对腰长和地边长进行分类讨论是解题的关键．
分：当是腰长时，当是腰长时，两种情况进行讨论，再用三角形的三边关系验证即可．
【解答】
解：当是腰长时，，，能组成三角形，此时这个等腰三角形的周长是；
当是腰长时，，，能组成三角形，此时这个等腰三角形的周长是．
则这个等腰三角形的周长是或．
故选：．  2.【答案】 【解析】分析：由中，边的中垂线分别交、于点、，，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长．
解：中，边的中垂线分别交、于点、，，
，，
的周长为，
，
的周长为：．
故选：．
此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 3.【答案】 【解析】解：不等式的解集为，
数轴表示为：
，
故选C．
先求得不等式的解集为，根据等号判定圆圈为实心，选择即可．
本题考查了不等式的解法和数轴表示，熟练掌握解不等式是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：过点作于，

，，
，
和分别平分和，
，，
，
，
，
．
故选：．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：由的解集为，不等号方向改变，
且，
，
．
；
由得，
所以；
故选D．
第一个不等式的方向改变，说明不等式两边除以的小于，由解集是，可以继续判断的符号；就可以得到第二个不等式的解集．
本题考查解一元一次不等式，当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．
 6.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理求出与的长，即可求出的长．
【解答】
解：根据题意画出图形，如图所示，

如图所示，，，，
在和中，
根据勾股定理得：，，
此时；
如图所示，，，，
在和中，
根据勾股定理得：，，
此时，
则的长为或．
故选：．  7.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，故正确；
是的平分线，
，
，
，
，
又对顶角相等，
，故正确；
，
只有时，故错误；
，
，
平分，
，故正确．
综上所述，正确的结论是．
故选：．
根据同角的余角相等求出，再根据等角的余角相等可以求出；根据等腰三角形三线合一的性质求出．
本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
 8.【答案】，， 【解析】【分析】
先解不等式，求出其解集，再根据解集判断其正整数解．
本题考查了一元一次不等式的整数解，会解不等式是解题的关键．
【解答】
解：，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
故其正整数解为，，．
故答案为，，．  9.【答案】或 【解析】解：当高在三角形内部时，顶角是；
当高在三角形外部时，顶角是．
故答案为：或．
等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
为正整数，
．
故答案为：．
根据新定义可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论．
本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：第一次的结果为：，没有输出，则
，
解得：．
故的取值范围是．
故答案为：
表示出第一次的输出结果，再由第三次输出结果可得出不等式，解不等式求出即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，得出不等式．
 12.【答案】或 【解析】解：当或时，和全等，
理由是：，，
，
当时，
在和中

≌，
当时，
在和中

≌，
故答案为：或．
当或时，和全等，根据定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．
 13.【答案】解：去括号得，，
移项合并同类项得，，
解得． 【解析】利用不等式的基本性质，先将不等式去括号，然后移项合并同类项，把系数化为，得到的取值范围．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
 14.【答案】解：依题意得：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：．
，，，． 【解析】根据题意列出关于的一元一次不等式，先去分母，然后通过移项、合并同类项、化系数为进行解答即可．
本题考查了解一元一次不等式．根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为．
 15.【答案】证明：，是边上的中线，，
，，
． 【解析】由，判断出三角形为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据同角的余角相等可得：，再根据等量关系得到．
考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
 16.【答案】证明：平分，，，
，
在和中，

≌，
． 【解析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．因为，，所以，又因为平分，所以，已知，则可根据判定≌，根据全等三角形的性质即可得到结论．
 17.【答案】解：如图，点为所作．
 【解析】作的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为点．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
 18.【答案】解：设购进“冰墩墩”摆件个，“冰墩墩”挂件个，
依题意得：，
解得：．
答：购进“冰墩墩”摆件个，“冰墩墩”挂件个．
设购进“冰墩墩”挂件个，则购进“冰墩墩”摆件个，
依题意得：，
解得：．
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过个． 【解析】设购进“冰墩墩”摆件个，“冰墩墩”挂件个，利用进货总价进货单价进货数量，结合购进“冰墩墩”摆件和挂件共个且共花费了元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进“冰墩墩”挂件个，则购进“冰墩墩”摆件个，利用总利润每个的销售利润销售数量购进数量，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 19.【答案】证明：是的角平分线，，，
，
在和中，
，
≌，
，
而，
垂直平分；
，
，
，，
，
． 【解析】点拨
先利用角平分线的性质得，利用“”证明≌得到，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论；
根据三角形的面积公式即可求得的长．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定方法、线段垂直平分线的判定．
 20.【答案】解：设奖品单价为元，奖品单价为元，
根据题意，得
，
，
奖品单价元，奖品单价元；
设购买奖品个，则购买奖品为个，购买奖品的花费为元，
由题意可知，，
，
，
当时，有最小值为元，
即购买奖品个，购买奖品个，花费最少． 【解析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
设奖品单价为元，奖品单价为元，根据题意列出方程组，即可求解；
设购买奖品个，则购买奖品为个，购买奖品的花费为元，由题意可知，，，根据一次函数的性质，即可求解．
 21.【答案】解：在中，，
；
由题意知，
当为直角时，点与点重合，，即；
当为直角时，，，，
在中，
，
在中，，
即：，
解得：，
故当为直角三角形时，或；

当时，；
当时，，；
当时，，，，
在中，，
所以，
解得：，
综上所述：当为等腰三角形时，或或． 【解析】直接根据勾股定理求出的长度；
当为直角三角形时，分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别求出此时的值即可；
当为等腰三角形时，分三种情况：当时；当时；当时，分别求出的长度，继而可求得值．
本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．