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    2022-2023学年湖南省郴州市高一上学期期末教学质量监测数学试题含解析

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    这是一份2022-2023学年湖南省郴州市高一上学期期末教学质量监测数学试题含解析,共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.已知集合,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】根据交集的定义即可求.
    【详解】
    故选:C.
    2.已知关于的一元二次不等式的解集为,则的值是( )
    A.3B.4C.5D.6
    【答案】A
    【分析】根据三个二次的关系,再结合韦达定理可求.
    【详解】依题意可得,分别是关于的一元二次方程的两根,根据韦达定理可得:.
    故选:A.
    3.下列函数是偶函数的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】利用常见函数的奇偶性直接判断即可得出结论.
    【详解】函数为非奇非偶函数;函数为非奇非偶函数;
    函数为奇函数,函数为偶函数.
    故选:D.
    4.已知则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【分析】利用指数函数与对数函数的单调性,结合中间值0,1进得判断即可.
    【详解】因为,,,所以.
    故选:A.
    5.若,则“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】B
    【分析】求出不等式的等价条件,结合充分条件必要条件的定义即可.
    【详解】由得,
    因为若,则,反之不成立,
    故“”是“”的必要不充分条件,
    即“”是“”的必要不充分条件.
    故选:B
    6.已知角的顶点为坐标原点,始边为轴非负半轴,若角的终边过点,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】根据三角函数的定义得,再运用二倍角公式解决即可.
    【详解】由题得,角的顶点为坐标原点,始边为轴非负半轴,若角的终边过点,
    所以,
    所以,
    所以,
    故选:A
    7.2021年10月16日0时23分,长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空,秒后,神舟十三号载人飞船进入预定轨道,顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空.在不考虑空气阻力的条件下,从发射开始,火箭的最大飞行速度满足公式:,其中为火箭推进剂质量,为去除推进剂后的火箭有效载荷质量,为火箭发动机喷流相对火箭的速度.当时,千米/秒.在保持不变的情况下,若吨,假设要使超过第一宇宙速度达到千米/秒,则至少约为(结果精确到,参考数据:,)( )
    A.吨B.吨C.吨D.吨
    【答案】B
    【分析】根据所给条件先求出,再由千米/秒列方程求解即可.
    【详解】因为当时,,
    所以,
    由,
    得,
    所以,
    解得(吨),
    即至少约为吨.
    故选:B
    8.已知函数,用表示中的较小者,记为,则的最大值为( )
    A.B.1C.D.
    【答案】D
    【分析】先把写成分段函数的形式,再求最大值即可
    【详解】令,即,解得,
    所以,
    当时,由在定义域内单调递减可得,
    当时,由二次函数的性质可得,
    综上,函数的最大值为,
    故选:D
    二、多选题
    9.下列选项中其值等于的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】BD
    【分析】根据诱导公式,两角差的余弦公式,二倍角公式计算各选项即可得答案.
    【详解】,故A错误;
    ,故B正确;
    ,故C错误;
    ,故D正确.
    故选:BD.
    10.下列说法正确的是( )
    A.命题“”的否定是“”
    B.若正数满足,则
    C.函数的最小正周期是
    D.半径为1,圆心角为的扇形的弧长等于
    【答案】BCD
    【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A;利用基本不等式可判断B;利用三角函数的周期公式可判断C;利用扇形的弧长公式可判断D.
    【详解】命题“”的否定是“”,故A错误;
    ,当且仅当时,等号成立,故B正确;
    函数的最小正周期,故C正确;
    半径为1,圆心角为的扇形的弧长为,故D正确.
    故选:BCD.
    11.已知函数,则下列说法正确的是( )
    A.函数的图象关于轴对称
    B.函数在区间上单调递增
    C.
    D.
    【答案】BC
    【分析】由函数的定义可判断A;由函数与都是上的增函数可判断B;计算等式的两边进行验证可判断C、D.
    【详解】由函数的定义可知,函数的图象不关于轴对称,故A错误;
    因为函数与都是上的增函数,则是上的增函数,所以函数在区间上单调递增,故B正确;
    ,故C正确;
    ,,故D错误.
    故选:BC.
    12.已知正实数满足,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】AD
    【分析】令,得出.选项A,根据换底公式计算即可判断;选项B,结合作差法和换底公式即可判断;选项C、D,利用换底公式进行化简,再结合基本不等式即可判断.
    【详解】令,则,可得:,,.
    对于A,,故A正确;
    对于B,因为,故,
    ,即;
    ,即,故B错误.
    对于C,,,,
    因为,(因为所以等号不成立),
    所以,则,即,故C错误;
    对于D,,,,
    因为,(因为所以等号不成立),
    所以,则,即,故D正确.
    故选:AD.
    三、填空题
    13.若幂函数的图象经过点,则的值等于_________.
    【答案】
    【解析】设出幂函数,将点代入解析式,求出解析式即可求解.
    【详解】设,函数图像经过,
    可得,解得,
    所以,
    所以.
    故答案为:
    【点睛】本题考查了幂函数的定义,考查了基本运算求解能力,属于基础题.
    14.__________.
    【答案】
    【分析】根据对数换底公式及分数指数幂运算即可求得答案.
    【详解】解:.
    故答案为:3.
    15.若函数满足:(1)对于任意实数,当时,都有;(2),则__________.(写出满足这些条件的一个函数即可)
    【答案】(答案不唯一)
    【分析】由条件(1)可判断函数在上单调递增;条件(2)符合指数幂的运算性质:,(且),即可得解.
    【详解】由条件(1)对于任意实数,当时,都有,可得函数在上单调递增,
    条件(2)符合指数幂的运算性质:,(且),
    故可选一个单调递增的指数函数:.
    故答案为:(答案不唯一).
    16.已知,函数,若方程恰有2个实数解,则的取值范围是__________.
    【答案】
    【分析】根据分段函数,得函数图象,求得是所有可能的根,结合图象可的方程恰有2个实数解时的取值范围.
    【详解】解:函数,函数图象如下图所示:
    方程,若,即;若,得,;
    结合图象可知:
    当时,方程仅有一个实数解;
    当时,方程恰有两个实数解,;
    当时,方程恰有三个实数解,,;
    当时,方程恰有两个实数解,;
    综上,若方程恰有2个实数解,则的取值范围是.
    故答案为:.
    四、解答题
    17.已知集合.
    (1)当时,求;
    (2)若,求实数的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)由交集的定义求解即可;
    (2)根据题意列出不等式组求解.
    【详解】(1)当时,
    因为
    所以.
    (2),
    恒成立,,
    ,解得:,
    故实数的取值范围为.
    18.已知函数.
    (1)求函数的定义域;
    (2)若函数,求的零点.
    【答案】(1)
    (2)零点为.
    【分析】(1)根据函数有意义,建立不等式组,求解即可;
    (2)令,得,解方程即可.
    【详解】(1)由题意得,解得.
    所以的定义域为.
    (2)令
    ,解得,
    故的零点为.
    19.(1)已知,求的值;
    (2)在①,②这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.
    已知为第四象限的角,__________.求的值.
    【答案】(1)(2)
    【分析】(1)由题意得,所求式子弦化切代入计算即可;
    (2)选择①:由同角的三角函数关系式求得,然后利用两角差的正弦计算即可;选择②:利用结合角的范围求得,然后利用两角差的正弦计算即可.
    【详解】(1)由,得,
    (2)选择①:,即,
    为第四象限的角,,
    又,

    .
    选择②:,,

    为第四象限的角,,

    .
    20.为全面落实“三高四新”战略定位和使命任务,推动“一极六区”建设走深走实,郴州市委市政府实施“人才兴郴”战略,加大科技创新力度,以科技创新催生高质量发展.某公司研发部决定将某项最新科研技术应用到生产中,计划该技术全年需投入固定成本600万元,每生产百件该产品,需另投入成本万元,且,假设该产品销售单价为万元/件,且每年生产的产品当年能全部销完.
    (1)求全年的利润万元关于年产量百件的函数关系式;
    (2)试求该企业全年产量为多少百件时,所获利润最大,并求出最大利润.
    【答案】(1)
    (2)当年产量为8000件时,所获利润最大,最大利润为1240万元.
    【分析】(1)根据题意分为,两种情况,求得函数解析式;
    (2)结合二次函数的性质和基本不等式,分段讨论得出最大值.
    【详解】(1)(1)当时,
    当时,

    (2)(2)若,,
    则当时,(万元)
    若(万元),
    当且仅当时“=”成立.
    则当时,(万元)
    万元万元,
    故当年产量为8000件时,所获利润最大,最大利润为1240万元.
    21.已知函数的部分图象如图所示.
    (1)求函数的解析式;
    (2)将图象上所有的点向左平移个单位长度,得到函数的图象,若对于任意的,当时,恒成立,求实数的最大值.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)根据图像得出周期,即可根据三角函数周期计算得出,将点代入新解析式,得,根据已知得出范围,结合三角函数的零点得出,将点代入新解析式,即可得出,即可得出答案;
    (2)设,根据已知结合诱导公式与辅助角公式化简,结合已知与函数单调性的定义得出在区间上单调递减,由三角函数的单调区间解出的单调递减区间,即可根据范围结合集合包含关系列出不等式组,即可解出答案.
    【详解】(1)由图像可知,周期,

    因为点在函数图像上,
    所以,即,
    又,

    则,即,
    因为点在函数图像上,所以,即,
    故函数的解析式为.
    (2)由题意可得,

    ,当时,恒成立,
    即恒成立,
    即恒成立,
    在区间上单调递减,
    令,解得,
    因为,所以,则,
    故,解得,
    所以最大值为.
    22.已知函数为奇函数.
    (1)利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增;
    (2)若正数满足,求的最小值;
    (3)解不等式.
    【答案】(1)证明见解析;
    (2);
    (3).
    【分析】(1)利用函数的奇偶性得出,然后利用函数单调性的定义证明即可;
    (2)由已知条件求得,即,利用“1”的妙用和基本不等式求解即可;
    (3)令,易知是奇函数,且在上单调递增,又,不等式,从而,求解即可.
    【详解】(1)函数的定义域是,由题意得,解得:,则,
    ,为奇函数,故,
    任取,且,
    则,
    因为,且,所以,
    所以,故,
    所以函数在上单调递增;
    (2)因为为奇函数,
    所以,又函数在上单调递增,
    所以正实数满足,所以,
    所以,
    当且仅当,即时取等号,
    所以的最小值为.
    (3)令,
    因为和都是奇函数,且在上单调递增,所以是奇函数,且在上单调递增.
    又,不等式.
    从而,解得或.
    故不等式的解集为.
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