人教版初中数学八年级上册培优课件 4 三角形全等证明的解题思路分析

这是一份人教版初中数学八年级上册培优课件 4 三角形全等证明的解题思路分析，共19页。PPT课件主要包含了比一比练一练，类型二添条件判全等等内容，欢迎下载使用。

基础知识回顾：1. 全等三角形的判定方法有哪些？
（1）“边边边”（SSS）；（2）“边角边”（SAS）；（3）“角边角”（ASA）；（4）“角角边”（AAS）；（5）“斜边，直角边”（HL）.
基础知识回顾：2. 全等三角形的基本模型有哪些？
【提示】 一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。
类型一：挖掘“隐含条件”判全等
【提示】：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件
例1．如图（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗？说说理由．
1．如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC．若∠B=20°，CD=5 cm，则∠C=20°，BE=5 cm．说说理由．
2．如图（3），AC与BD相交于O，若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3 cm，则CD=3 cm．说说理由．
【提示】添加条件的题目.首先要找到已具备的条件,这些条件有些是题目已知条件 ,有些是图中隐含条件.
例2．如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，需添加什么条件？
根据“SAS”需要添加条件AB=AC；根据“ASA”需要添加条件∠BDA=∠CDA；根据“AAS”需要添加条件∠B=∠C．
3．已知：∠B=∠DEF，BC=EF，现要证明△ABC≌△DEF，需添加什么条件？
4．如图3，AB，CD相交于点O，AD=CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB．你补充的条件是__________．
解：根据“SAS”需要添加条件AB=DE；根据“ASA”需要添加条件∠ACB=∠DFE；根据“AAS”需要添加条件∠A=∠D．
类型三：熟练转化“间接条件”判全等
例3．如图AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，∠AFD与△CEB全等吗？为什么？
解：∵AE=CF，（已知）∴AE一FE=CF一EF，（等量减等量，差相等）即AF=CE．在△AFD和△CEB中，AF=CE，（已证）∠AFD=∠CEB，（已知）DF=BE，（已知）∴△AFDS≌ACEB（SAS）．
5．如图∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？
6．“三月三，放风筝”．如图是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD，BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC．请用所学的知识给予说明．
类型 四：条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线
4．如图3，AB=AC，∠1=∠2．求证：AO平分∠BAC．
分析：要证AO平分∠BAC，即证∠BAO=∠BCO，要证∠BAO=∠BCO，只需证∠BAO和∠BCO所在的两个三角形全等，而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可．
证明：连接BC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠1=∠2，∴∠ABC–∠1=∠ACB–∠2．即∠3=∠4，∴BO=CO．∵AB=AC，BO=CO，AO=AO，∴△ABO≌ACO．∴∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．
类型五：条件中没有现成的全等三角形时， 通过构造全等三角形来判定
例5．已知：如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．求证：∠ADC=∠BDF．
证明：过B作BG⊥BC交CF延长线于G．∴BG∥AC．∴∠G=∠ACE．∵AC⊥BC，CE⊥AD，∴∠ACE=∠ADC．∴∠G=∠ADC．∵AC=BC，∠ACD=∠CBG=90°，∴△ACD≌△CBG，∴BG=CD=BD．∵∠CBF=∠GBF=45°，BF=BF，∴△GBF≌△DBF，∴∠G=∠BDF，∴∠ADC=∠BDF，∴∠ADC=∠BDF．
类型六：全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型)
例6.如图,已知四边形ABCD中,AB＝CD且AB∥CD,连接BD,在BD上截取BE＝DF,连接AE,CF. 求证:AE＝CF.
7.如图，点B、E、C、F在同一直线上，如果AB=DE，BE=CF，AB∥DE，求证：AC＝DF.
8.如图A、B分别为OM、ON上的点,点P在∠AOB的平分线上,且∠PAM＝∠PBN,求证:PA＝ PB.
根据题中条件由SAS可得△ ABC≌ △ DEF，即∠ACB=∠F，进而可得出结论．
根据题意，过点P做PE⊥OM于E，过点P作PF⊥ON于F.易证△PAE≌△PBF，从而得出PA=PB.
例7.如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP＜CP)，分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F.
求证：EF＝CF－BE.
证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠CAF＝90°.∵BE⊥AE，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∴∠CAF＝∠ABE.∵CF⊥AP，BE⊥AE，∴∠AEB＝∠CFA.
在△ABE和△CAF中，∠ABE＝∠CAF∠AEB＝∠CFA，AB＝AC
∴△ABE≌△CAF，∴CF＝AE，AF＝BE，∴EF＝AE－AF＝CF－BE.
类型七：线段和差问题的证明
例8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A与∠B的平分线交于点E，点E在CD上，求证：AD＋BC＝AB.
证明：在AB上截取线段AF＝AD，∵∠1＝∠2， AE＝AE.∴△ADE≌△AFE(SAS)，∴∠D=∠5.∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°.
而∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠C.又∵∠3＝∠4，BE＝BE.∴△BCE≌△BFE(AAS)，∴BF＝BC，∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB.
截长补短法是两种不同的辅助线方法，在具体问题中根据有利条件合理选择.
9．如图所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线交BC于点D．请你试说明AB+BD=AC．
课堂小结：判定全等三角形的思路：