北京市昌平区2022届高三下学期二模数学试卷（原卷+解析）

北京市昌平区2022届高三下学期二模数学试卷

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．设复数z满足，则z= （ ）

A．-1+i B．-1-i C．1+i D．1-i

3．为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. 若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（    ）

A． B． C． D．

4．记为等差数列的前项和，若，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知双曲线的焦距为，其右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

6．“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．//

B．

C．//平面

D．平面

8．已知直线与圆相交于两点，当变化时，△的面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数，则关于的不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

10．在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为（    ）

A．① B．①② C．②③ D．①②③

二、填空题

11．抛物线的准线方程为__________．

12．展开式中常数项为___________（用数字作答）.

13．若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.

三、解答题

14．如图，在棱长为的正方体中，点是的中点.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的大小；

(3)求点到平面的距离.

15．已知函数，且的最小正周期为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.

(1)求的解析式；

(2)设，若在区间上的最大值为，求的最小值．

条件①：的最小值为；

条件②：的图象经过点；

条件③；直线是函数的图象的一条对称轴.

注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

16．某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.

(1)若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；

(2)从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列和数学期望;

(3)为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，比较的大小.（请直接写出结论）

17．已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线.

18．已知函数，.

(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值；

(2)若函数无零点，求实数的取值范围；

(3)当时，函数在处取得极小值，求实数的取值范围.

19．已知数列，给出两个性质：

①对于任意的，存在，当时，都有成立；

②对于任意的，存在，当时，都有成立．

(1)已知数列满足性质①，且，，试写出的值；

(2)已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①；

(3)若数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在且唯一.证明：数列是等差数列．

四、双空题

20．已知是△的边的中点，，，则______；______

21．刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形，取正三角形各边的三等分点，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则______;图中螺旋形图案的面积为______.

参考答案：

1．A

【分析】根据并集的定义运算即得.

【详解】∵，

∴.

故选：A.

2．A

【分析】

【详解】由得=，故选A.

【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.

3．D

【分析】根据频率分布直方图可知样本频率，由样本频率来估计总体的概率，概率乘以总量即为所求.

【详解】由频率分布直方图可知:数据落在的频率为，故该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为

故选:D

4．B

【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式的基本运算求解.

【详解】解：设等差数列的公差为d，

因为，

所以，

解得，

所以，

故选：B

5．D

【分析】由焦距可得，写出右焦点坐标，结合点线距离公式列方程求a、b关系，即可得渐近线方程.

【详解】由题设则，可知：右焦点为，

又双曲线的渐近线为，由题意，整理得，

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：D

6．A

【分析】利用充分条件，必要条件的定义及三角函数的性质即得.

【详解】当时，满足在区间上单调递减，即由“”可推出“函数在区间上单调递减”，

反之由“函数在区间上单调递减”推不出“”，如时，也满足在区间上单调递减，

∴“”是“函数在区间上单调递减”的充分而不必要条件.

故选：A.

7．B

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.

【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

令，是底面的中心，分别是的中点，

则，，，

对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；

对于B，因，则，即，B正确；

对于C，设平面的法向量为，则，令，得，

，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；

对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.

故选：B

8．C

【分析】将△的面积表示出来即可求出最大值.

【详解】因为直线直线恒过点在圆内，所以直线与圆相交，

圆的圆心，所以△的面积的最大值为：

.

故选：C.

9．C

【分析】由二次函数的性质判断区间单调性，根据解析式知恒过且，进而确定区间值域，再由对数函数性质求的对应区间值域，即可得不等式解集.

【详解】由题设，对称轴为且图象开口向下，则在上递增，上递减，

由，即恒过且，

所以上，上，

而在上递增，且上，上，

所以的解集为.

故选：C

10．B

【分析】根据正弦和余弦定理，以及三角形边与角的性质，直接计算即可判断求解.

【详解】对于①，，所以，，得，所以，此时，△存在且唯一，符合题意；

对于②，，所以，，解得，因为，所以，，所以为锐角，此时，△存在且唯一，符合题意；

对于③，，所以，，得，进而，

可得，明显可见，，与矛盾，故③不符题意.

故可以选择的条件序号为：①②

故选：B

11．

【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.

【详解】抛物线的准线方程是.

【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线的准线方程为，直接利用公式可得到结果.属于基础题.

12．

【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】展开式的通项为，

令得，

故展开式中的常数项.

故答案为：.

13．（答案不唯一）

【分析】由零点的概念求解

【详解】令，当时，由得，即为函数的一个零点，

故当时，有一解，得

故答案为：（答案不唯一）

14．(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直.

（2）根据空间向量，求法向量进一步得二面角.

（3）根据空间向量法求点面距.

【详解】（1）在正方体中，

因为平面，平面，

所以，即.

因为四边形是正方形，

所以 .

因为平面，

所以平面.

（2）如图，建立空间直角坐标系，则，

所以.

由（1）知，平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为，

则所以.  

令，则，所以 .

所以.

由图可知，二面角为钝角，

所以二面角的大小为.

（3）设点到平面的距离，，

则.

所以点到平面的距离为.

15．(1)；

(2).

【分析】（1）由最小正周期可得，再根据所选条件，结合正弦函数的性质求，即可得解析式；

（2）由（1）及和差角正弦公式可得，根据区间最值及正弦函数性质求参数m的范围，即可得结果.

【详解】（1）由题意，可得，

选①②：由的最小值为，则，故.

又，即且，所以.

所以.

选①③：由的最小值为，则，故.

因为是的一条对称轴，则，，

所以，且，则.

所以.

选②③：因为是的一条对称轴，则，，

所以，且，则.

所以.

又，则.

所以.

（2），

上，的最大值为，则，可得，

所以的最小值为.

16．(1)

(2)分布列见解析，

(3)

【分析】（1）由数据计算频率后估计概率

（2）由二项分布概念公式求解

（3）由方差计算公式判断

【详解】（1）抽取的200件产品中优等品有30件，抽取优等品的频率是，

用样本估计总体，从流水线上随机抽取一件产品，估计是优等品的概率为.        .

（2）从流水线上随机抽取一件产品，估计利润大于20元的概率为.

的可能取值为0，1，2，3.

，，

，

分布列为

的数学期望.        ...

（3）

设件样本利润分别为，平均数为，

则降价后件样本利润分别为，平均数为，

由方差计算公式可得

17．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的离心率为和，由求解；

 （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由直线的方程为，令，得到，再结合韦达定理，判断即可.

【详解】（1）解：根据题意，

 解得.

所以椭圆C的方程为：.                                   ...

（2）

（2）由（1）知，.

根据题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为.

由，得.

根据题意，恒成立，设

则.

直线的方程为，

令，得，所以.

因为，

则直线的斜率分别为，

.

又，

                     ，

                     ，

.

所以，

所以三点共线.

18．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）求出两个函数的导数，由题可知，求出即可；

（2）设，求出导数，讨论的范围根据单调性可得出；

（3）求出的导数，讨论的范围，根据单调性即可得出.

(1)

因为函数，，

所以，.

因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，

所以.

则，解得.

(2)

由题意，，

设.

①当时，，在上单调递增，且，

所以，所以在上无零点.

②当时，令，得．

当，即时，，在上单调递增，且，

所以，所以在上无零点.

当时，，

 符号变化如下，

所以.

当，即时，，

所以，所以在上无零点.

当，即时，由，，所以至少存在一个零点，所以至少存在一个零点.

综上，若无零点，实数的取值范围为.

(3)

当时，，定义域为．

则．

由（2）可知，当时，，

当时， ，

所以当时，在上恒成立.

此时，当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以在处取得极小值．

当时，，

当时，，，

所以，单调递减.

此时不是极小值点．即时，不合题意．

综上，满足条件的的取值范围为．

19．(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）由性质①，可求出且，所以，同理可求得的值；

（2）由，验证性质①，即可证明；

（3）数列满足性质①②，带入验证，即可得：当时，，即可证明满足条件的数列是等差数列.

（1）

因为数列满足性质①，且，所以，所以，又因为，即，所以，同理可得：.

（2）

因为数列的通项公式为，

所以，对于任意的，令，则，

.

又，则，即.

又，所以，

即对于任意的.

所以，对于任意的，令，则当时，都有成立，

所以，数列满足性质①.

（3）

由题意，数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在,

即对于任意的，存在，当时，都有成立，

所以，当时，，

即.

对于任意的,有，

对于任意的,有,

，

又当时，同时满足性质①②的存在且唯一,

所以，当时，,

所以，满足条件的数列是等差数列.

【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：

1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；

2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.

20．     3     ##-0.75

【分析】利用数量积的定义可得，利用向量的线性表示及数量积的运算即得.

【详解】∵，，

∴，

又是△的边的中点，

∴，

∴.

故答案为：3；.

21．         

【分析】根据余弦定理得到等边三角形边长成等比数列，即可得的长度，再根据三角形的面积公式，求得各个阴影三角形面积成等比数列，即可求解.

【详解】解：设正三角形的边长为，后续各正三角形的边长依次为，，，设第一个阴影三角形面积为,后续阴影三角形面积为

由题意知，，，所以为以为首项，为公比的等比数列，

所以，

所以，

所以；

所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，故图中阴影部分面积为，

故答案为：；.