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专题1.48 《全等三角形》中考常考考点专题（巩固篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）
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这是一份专题1.48 《全等三角形》中考常考考点专题（巩固篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共57页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题1.48 《全等三角形》中考常考考点专题（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
【考点一】全等三角形性质
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（ ）
A．15° B．55° C．65° D．75°
2．如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（ ）
A．115 B．120 C．125 D．130
【考点二】全等三角形的判定和性质★★边边边
3．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
作法：
①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；
②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；
③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．
A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS
【考点三】全等三角形的判定和性质★★边角边
5．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
6．如图，已知．能直接判断的方法是（ ）
A． B． C． D．
【考点四】全等三角形的判定和性质★★（角边角★角角边）
7．如图，在一个宽度为长的小巷内，一个梯子的长为，梯子的底端位于上的点，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点处，点到的距离为，梯子的倾斜角为；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点处，点到的距离为，且此时梯子的倾斜角为，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为M．若∠ABC＝30°，∠C＝38°，则∠CDE的度数为（ ）
A．68° B．70° C．71° D．74°
【考点五】全等三角形的判定和性质★★（斜边+直角边HL）
9．已知，如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AB＝CE，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C
【考点六】全等三角形的判定★★添加条件
11．如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC
【考点七】角平分线性质与判定★★尺规作图
13．用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点八】作辅助线证三角形全等★★倍长中线★★连接两点
15．如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7
【考点九】线段垂直平分线性质与判定★★尺规作图
17．如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，则的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
18．如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【考点一】全等三角形性质
19．如图，在中，、分别是、上的点，若，则的度数是_________.
20．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点的运动速度为______厘米/秒时，能够使与全等．
【考点二】全等三角形的判定和性质★★边边边
21．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是_____．
22．工人师傅常常利用角尺平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线的依据是_________．（选填“SSS”、“SAS”、“AAS”、“HL”、“ASA”）
【考点三】全等三角形的判定和性质★★边角边
23．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为____．
24．△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是____．
【考点四】全等三角形的判定和性质★★（角边角★角角边）
25．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=_____．
26．如图，在中，，F是高AD和BE的交点，cm，则线段BF的长度为______．
【考点五】全等三角形的判定和性质★★（斜边+直角边HL）
27．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝_____°．
28．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，则∠ACF的度数为__________°．
【考点六】全等三角形的判定★★添加条件
29．如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是_____（只填序号）．
30．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF = CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是________．（只需写一个，不添加辅助线）
【考点七】角平分线性质与判定★★尺规作图
【考点八】作辅助线证三角形全等★★倍长中线★★连接两点
31．已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
32．如图，在中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果，，的面积为18，则的面积为________．
【考点九】线段垂直平分线性质与判定★★尺规作图
33．在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是_______．
34．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________．
【考点十】三角形全等几何模型★★一线三等角
35．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．
36．如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为_______．
三、解答题
【考点十一】三角形全等几何模型★★旋转全等
37．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，点D，E分别在AB，BC上，且∠CDE＝90°．当BE＝2AD时，图1中是否存在与CD相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由．
小明通过探究发现，过点E作AB的垂线EF，垂足为F，能得到一对全等三角形（如图2），从而将解决问题．
请回答：
（1）小明发现的与CD相等的线段是 ．
（2）证明小明发现的结论．
38．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．
【考点十二】三角形全等几何模型★★截长补短★★其他模型
39．如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点.
（1）求证： （2）求证：
40． 如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC
（1）试探索线段BC，DC，EC之间满足的等量关系，并证明你的结论．
（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【考点十三】
41．在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD；
（2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；
②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
42．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．
（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．
参考答案
1． D
【分析】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．
解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，
∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，
故选D．
【点拨】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
2． C
分析：根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．
解：∵三角形ACD为正三角形，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，
∵AB=DE，BC=AE，
∴△ABC≌△DEA，
∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，
故选C．
【点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．
3． D
【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可．
解：由题意可知
在中
∴(SSS)
∴
∴就是的平分线
故选：D
【点拨】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．
4． C
解：如图，连接EC、DC．
根据作图的过程知，
在△EOC与△DOC中，
，
△EOC≌△DOC（SSS）．
故选C．
考点：1.全等三角形的判定；2.作图—基本作图．
5． B
【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=×5×5=12.5，即可得出结论．
解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，
∴∠D=∠ABE，
又∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
又∵AD=AB，
∴△ACD≌△AEB，
∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，
∵S△ACE=×5×5=12.5，
∴四边形ABCD的面积为12.5，
故选B．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
6． A
【分析】根据三角形全等的判定定理解答.
解：在△ABC和△DCB中，
,
∴(SAS),
故选：A.
【点拨】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键.
7． D
【分析】过点C作CE⊥AD于点E，证明≌即可解决问题．
解：过点C作CE⊥AD于点E，则CE//AB，
，且PD=PC，
为等边三角形，
， ，
，
，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
在和中，
，
∴≌，
，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的应用，作辅助线CE是解答此题的关键．
8． D
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC=112°，利用全等三角形的性质证明∠BED=∠BAD即可解决问题．
解：∵∠ABC=30°，∠C=38°，
∴∠BAC=112°，
在△BMA和△BME中，
．
∴△BMA≌△BME（ASA），
∴BA=BE，
在△BDA和△BDE中，
，
∴△BDA≌△BDE（SAS），
∴∠BED=∠BAD=112°，
∴∠CED=68°，
∴∠CDE=180°-∠C-∠CED=74°，
故选：D．
【点拨】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9． D
【分析】根据HL证，根据全等三角形的性质即可求出答案.
解：∵∠B＝∠E＝90°，
∴在和中
，
∴（HL），故C正确，
∴∠A＝∠2，∠1＝∠D，
∵∠1+∠A＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠A与∠D互为余角，故A、B正确；D 错误，
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，关键是推出．
10． A
【分析】根据已知和公共边科证明△ADB≌△ACD，则这两个三角形的对应角、对应边相等，据此即可解答．
解：∵AB＝AC，AD＝AD，AD⊥BC，
∴Rt△ADB≌Rt△ACD（HL），
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C（全等三角形的对应角、对应边相等）
故B、C、D一定成立，A不一定成立．
故选A．
【点拨】本题考查直角三角形全等的判定和性质，解决问题时注意利用已知隐含的条件AD是公共边．
11． B
【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．
解：选项A，添加，
在和中，
，
∴≌（ASA），
选项B，添加，
在和中，，，，无法证明≌；
选项C，添加，
在和中，
，
∴≌（SAS）；
选项D，添加，
在和中，
，
∴≌（AAS）；
综上，只有选项B符合题意．
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
12． C
解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选不符合题意；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意．
故选C．
13． D
【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案．
解：A、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
故A选项是在作角平分线，不符合题意；
B、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
故B选项是在作角平分线，不符合题意；
C、如图，
由作图可知：，
∴,，
∴，
∴，
∴平分．
故C选项是在作角平分线，不符合题意；
D、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴
故D选项不是在作角平分线，符合题意；
故选：D
【点拨】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
14． B
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
15． C
【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，从而得到的取值范围．
解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，
∵是边上的中线，
∴，
在△ABD和△CDE中，
，
∴△ABD△CDE（SAS），
∴AB＝CE=5，AD＝DE，
∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，
∴4＜AE＜14，
∴2＜AD＜7．
故选：C．
【点拨】本题主要考查倍长中线法解题，能够做出辅助线证出三角形全等再结合三角形三边关系是解题关键．
16． D
【分析】如图，延长BD至E，使DE=BD，证明△ADE≌△CDB得到AE=BC=9，根据三角形的三边关系求得BE的取值范围即可求解．
解：如图，在△ABC中，AB=5，BC=9，BD是△ABC的中线，则AD=CD，
延长BD至E，使DE=BD=x，
在△ADE和△CDB中，
，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴AE=BC=9，又AB=5，
∵在△BAE中，AE－AB＜BE＜AB+AE，
∴9－5＜BE＜9+5，
∴4＜2x＜14，
∴2＜x＜7，
故选：D．
【点拨】本题考查三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形求解是解答的关键．
17． B
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案．
解：∵是的边的垂直平分线，
∴，
∵，
∴的周长是：．
故选B．
【点拨】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.
18． C
【分析】依据分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O，即可得到EF垂直平分AB，进而得出结论．
解：由作图可知，EF垂直平分AB，
，故A选项正确；
，故B选项正确；
，故C选项错误；
，故D选项正确，
故选C．
【点拨】本题考查不基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题．
19． ##30度
【分析】根据全等三角形的性质可以得到∠A=∠DEB=∠DEC，∠ABD=∠EBD=∠C，又∠DEB+∠DEC=180°可得∠A=∠DEB=∠DEC=90°，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得出答案．
解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴∠A=∠DEB=∠DEC，∠ABD=∠EBD=∠C，
∵∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴∠A=90°，
∴∠ABD+∠EBD+∠C=90°，
∴3∠C=90°，
∠C=30°．
故答案为30°．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解决此题的关键．
20．3或
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
解：设点P运动的时间为t秒，则BP=3t，CP=8-3t，
∵点为的中点，厘米，
∴AE=BE=5厘米，
∵∠B=∠C，
∴①当BE=CP=5，BP=CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，5=8-3t，
解得t=1，
∴BP=CQ=3，
此时，点Q的运动速度为3÷1=3厘米/秒；
②当BE=CQ=5，BP=CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，3t=8-3t，
解得t=，
∴点Q的运动速度为
5÷=厘米/秒；
故答案为：3厘米/秒或厘米/秒．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．
21． SSS
【分析】利用基本作图得到OM=ON，CM=CN，加上公共边OC，则可根据SSS证明三角形全等．
解：由作法①知，OM=ON，
由作法②知，CM=CN，
∵OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
故答案为SSS．
【点拨】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．
22． SSS
【分析】根据已知条件得到OM=ON，MP=NP，即可得到答案.
解：由题意得：OM=ON，MP=NP，
在△MOP和△NOP中
∴△MOP≌△NOP(SSS)，
∴∠MOP=∠NOP，
即过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，
故答案为：SSS.
【点拨】此题考查三角形全等的判定及性质定理，三角形全等的实际应用.
23．60°.
【分析】可证明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根据∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分线可得∠BAO=40°，从而得出∠DAO=140°，根据AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，则∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60°
解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，
∴∠ACO=∠BCO，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB，
∴∠D=∠CBO，
∵∠BAC=80°，
∴∠BAD=100°，
∴∠BAO=40°，
∴∠DAO=140°，
∵AD=AO，∴∠D=20°，
∴∠CBO=20°，
∴∠ABC=40°，
∴∠BCA=60°.
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是解题关键．
24．1
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△EDC中，∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，
∴△ADB≌△EDC，
∴EC=AB=5，
在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，
∴1＜m＜4，
故答案为1＜m＜4．
25．3
【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．
解：△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD=AE=2，AC=AB=5，
∴CE=BD=AB﹣AD=3，
故答案为3．
26．8 cm
【分析】先求，推导出，再求出，，根据ASA证明，即可得出答案．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在△BFD和△ACD中
，
∴（ASA），
∴cm
故答案为：8cm
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．
27．90
【分析】如图（见分析），先证出，即可证得，进而证得，得到，即，即可证得．
解：如图，在和中，
∴
∴
∵
∴
∴，即
∴
故答案为：90．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，掌握直角三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
28．58
【分析】根据HL证明Rt△CBF≌Rt△ABE，推出∠FCB=∠EAB，求出∠CAB=∠ACB=45°，
求出∠BCF=∠BAE=13°，即可求出答案．
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
在Rt△CBF和Rt△ABE中
∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL），
∴∠FCB=∠EAB，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°．
∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣32°=13°，
∴∠BCF=∠BAE=13°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+13°=58°
故答案为58
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．
29． ②
【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解．
解：∵已知，且
∴若添加①，则可由判定≌；
若添加②，则属于边边角的顺序，不能判定≌；
若添加③，则属于边角边的顺序，可以判定≌．
故答案为②．
【点拨】本题考查全等三角形的几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不难判断．
30． AC=DF（答案不唯一）
解：∵BF = CE，
∴BF＋FC = CE＋FC，即BC=EF；
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
△ABC和△DEF中有一角一边对应相等，
∴根据全等三角形的判定，添加AC=DF，可由SAS得△ABC≌△DEF；
添加∠B=∠E，可由ASA得△ABC≌△DEF；
添加∠A=∠D，可由AAS得△ABC≌△DEF．
故答案为：AC=DF．（答案不唯一）
31．
【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．
解：如图，反向延长中线至，使得，连接，
是的内角平分线，
可设AB＝2k，AC＝3k，
在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，
∴1＜k＜5，
由三角形三边关系可知，
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
32．27
【分析】由作图步骤可知BG为∠ABC的角平分线，过G作GH⊥BC,GM⊥AB，可得GM=GH
,然后再结合已知条件和三角形的面积公式求得GH，最后运用三角形的面积公式解答即可．
解：由作图作法可知：BG为∠ABC的角平分线
过G作GH⊥BC,GM⊥AB
∴GM=GH
∴,
故答案为27．
【点拨】本题考查了角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线定理是解答本题的关键．
33．3＜m＜13
【分析】延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边的关系即可解决问题．
解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△CDE中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
在△ACE中，AE-CE＜AC＜AE+CE，
∵CE=AB=5，AE=8，
∴8-5＜AC＜8+5，
∴3＜AC＜13，
∴3＜m＜13．
故答案为：3＜m＜13．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．
34．
【分析】延长AD至点E，使DE=AD，证明,由全等性质求出相关的线段长度，在中，由，代入数值即可得到答案．
解：延长AD至点E，使DE=AD，如下图：
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在和中：
∴
∴
∵AD=5
∴AE=10
在中，由得：
即：
故答案为：
【点拨】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键．
35．24
【分析】根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.
解：∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
【点拨】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算.
36． m+n.
解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠A=40°，∴AD=BD，∠A=∠ABD=40°.
∵∠DBC=30°，∴∠ABC=40°+30°=70°，∠C=180°﹣40°﹣40°﹣30°=70°.
∴∠ABC=∠C. ∴AC=AB=m.
∴△DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC=m+n.
考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的判定；3.三角形内角和定理．
37． （1）DE；（2）见分析.
【分析】（1）、（2）：如图2，作EF⊥AB，垂足为F．由题意可证得△ACD≌△DFE，由此可得 CD=DE，故小明分析的与CD相等的线段是线段DE.
解：（1）DE；
故答案为DE；
（2）证明：作EF⊥AB，垂足为F．
则∠BFE＝∠DFE＝90°═∠A═∠CDE．
∵∠ADC+∠CDE＝∠ADE＝∠DFE+∠FED，
∴∠ADC＝∠FED．
∵∠BFE＝90°，∠B＝30°，
∴BE＝2FE．
∵BE＝2AD，
∴FE＝AD．
在△FED和△ADC中，
∴△FED≌△ADC（ASA）．
∴DE＝CD
【点拨】本题考查了30°的直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握灵活运用30°的直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质.
38． （1）证明见分析；（2），证明见分析
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
解：（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥，CE⊥，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2），理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
39．（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C=∠BAD；
（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC=EF．
解：（1）如图
∵，
∴是等腰三角形
又∵为的中点，
∴（等腰三角形三线合一）
在和中，
∵为公共角，，
∴.
另解：∵为的中点，
∵，又，，
∴，
∴，又，
∴
∴，
在和中，
∵为公共角，，
∴.
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
40． （1）BD=DC+CE，见分析；（2）BD2+CD2=2AD2，见分析
【分析】（1）通过SAS证明△ABD≌△ACE，得CE=BD，即可得出结论；
（2）连接CE，同理证明△ABD≌△ACE，得CE=BD，∠ACE=∠B，则∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，得CD2+CE2=DE2，进行转化即可．
解：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD，
∴BC=CD+BD=CD+CE；
故答案为：BC=CD+CE．
（2）CD2+BD2=2AD2，理由如下：
连接CE，
∵∠DAE=90°，AD=AE，
∴DE=AD，即DE2=2AD2，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B=90°，
∴CD2+CE2=DE2，
∴CD2+BD2=2AD2．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
41． （1）证明见分析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，证明见分析．
【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，进而得出答案；
（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，进而得出答案；
②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，进而得出答案．
解：（1）∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，
∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，
∴BE=ED=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD；
（2）①AB=AC+CD．
理由：在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠C=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠B+∠BDE=∠AED，
∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD；
②AC+AB=CD．
理由：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，
∵AD为∠EAC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠ACD=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，
∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，
∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，
∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，
∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出△AED≌△ACD是解题关键．
42． （1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论；
（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．
证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝AC＝AD，
∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，
∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，
∵AD＝AC＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，
在△ABF与△ACE中，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
又∠CAE＝∠DAE，
∴，
∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴AF＝FE，
∴BE＝BF+FE＝CE+AE．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．
专题1.48 《全等三角形》中考常考考点专题（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
【考点一】全等三角形性质
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（ ）
A．15° B．55° C．65° D．75°
2．如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（ ）
A．115 B．120 C．125 D．130
【考点二】全等三角形的判定和性质★★边边边
3．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
作法：
①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；
②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；
③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．
A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS
【考点三】全等三角形的判定和性质★★边角边
5．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
6．如图，已知．能直接判断的方法是（ ）
A． B． C． D．
【考点四】全等三角形的判定和性质★★（角边角★角角边）
7．如图，在一个宽度为长的小巷内，一个梯子的长为，梯子的底端位于上的点，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点处，点到的距离为，梯子的倾斜角为；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点处，点到的距离为，且此时梯子的倾斜角为，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为M．若∠ABC＝30°，∠C＝38°，则∠CDE的度数为（ ）
A．68° B．70° C．71° D．74°
【考点五】全等三角形的判定和性质★★（斜边+直角边HL）
9．已知，如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AB＝CE，则不正确的结论是（ ）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C
【考点六】全等三角形的判定★★添加条件
11．如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC
【考点七】角平分线性质与判定★★尺规作图
13．用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点八】作辅助线证三角形全等★★倍长中线★★连接两点
15．如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7
【考点九】线段垂直平分线性质与判定★★尺规作图
17．如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，则的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
18．如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
【考点一】全等三角形性质
19．如图，在中，、分别是、上的点，若，则的度数是_________.
20．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点的运动速度为______厘米/秒时，能够使与全等．
【考点二】全等三角形的判定和性质★★边边边
21．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是_____．
22．工人师傅常常利用角尺平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线的依据是_________．（选填“SSS”、“SAS”、“AAS”、“HL”、“ASA”）
【考点三】全等三角形的判定和性质★★边角边
23．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为____．
24．△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是____．
【考点四】全等三角形的判定和性质★★（角边角★角角边）
25．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=_____．
26．如图，在中，，F是高AD和BE的交点，cm，则线段BF的长度为______．
【考点五】全等三角形的判定和性质★★（斜边+直角边HL）
27．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝_____°．
28．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，则∠ACF的度数为__________°．
【考点六】全等三角形的判定★★添加条件
29．如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是_____（只填序号）．
30．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF = CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是________．（只需写一个，不添加辅助线）
【考点七】角平分线性质与判定★★尺规作图
【考点八】作辅助线证三角形全等★★倍长中线★★连接两点
31．已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
32．如图，在中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果，，的面积为18，则的面积为________．
【考点九】线段垂直平分线性质与判定★★尺规作图
33．在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是_______．
34．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________．
【考点十】三角形全等几何模型★★一线三等角
35．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．
36．如图，△ABC中，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=30°，若AB=m，BC=n，则△DBC的周长为_______．
三、解答题
【考点十一】三角形全等几何模型★★旋转全等
37．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，点D，E分别在AB，BC上，且∠CDE＝90°．当BE＝2AD时，图1中是否存在与CD相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，说明理由．
小明通过探究发现，过点E作AB的垂线EF，垂足为F，能得到一对全等三角形（如图2），从而将解决问题．
请回答：
（1）小明发现的与CD相等的线段是 ．
（2）证明小明发现的结论．
38．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．
【考点十二】三角形全等几何模型★★截长补短★★其他模型
39．如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点.
（1）求证： （2）求证：
40． 如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC
（1）试探索线段BC，DC，EC之间满足的等量关系，并证明你的结论．
（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【考点十三】
41．在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．请证明AB=AC+CD；
（2）①如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；
②如图③，当∠C≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
42．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．
（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．
参考答案
1． D
【分析】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．
解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，
∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，
故选D．
【点拨】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
2． C
分析：根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．
解：∵三角形ACD为正三角形，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，
∵AB=DE，BC=AE，
∴△ABC≌△DEA，
∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，
故选C．
【点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．
3． D
【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可．
解：由题意可知
在中
∴(SSS)
∴
∴就是的平分线
故选：D
【点拨】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．
4． C
解：如图，连接EC、DC．
根据作图的过程知，
在△EOC与△DOC中，
，
△EOC≌△DOC（SSS）．
故选C．
考点：1.全等三角形的判定；2.作图—基本作图．
5． B
【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=×5×5=12.5，即可得出结论．
解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，
∴∠D=∠ABE，
又∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
又∵AD=AB，
∴△ACD≌△AEB，
∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，
∵S△ACE=×5×5=12.5，
∴四边形ABCD的面积为12.5，
故选B．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
6． A
【分析】根据三角形全等的判定定理解答.
解：在△ABC和△DCB中，
,
∴(SAS),
故选：A.
【点拨】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键.
7． D
【分析】过点C作CE⊥AD于点E，证明≌即可解决问题．
解：过点C作CE⊥AD于点E，则CE//AB，
，且PD=PC，
为等边三角形，
， ，
，
，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
在和中，
，
∴≌，
，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的应用，作辅助线CE是解答此题的关键．
8． D
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC=112°，利用全等三角形的性质证明∠BED=∠BAD即可解决问题．
解：∵∠ABC=30°，∠C=38°，
∴∠BAC=112°，
在△BMA和△BME中，
．
∴△BMA≌△BME（ASA），
∴BA=BE，
在△BDA和△BDE中，
，
∴△BDA≌△BDE（SAS），
∴∠BED=∠BAD=112°，
∴∠CED=68°，
∴∠CDE=180°-∠C-∠CED=74°，
故选：D．
【点拨】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9． D
【分析】根据HL证，根据全等三角形的性质即可求出答案.
解：∵∠B＝∠E＝90°，
∴在和中
，
∴（HL），故C正确，
∴∠A＝∠2，∠1＝∠D，
∵∠1+∠A＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠A与∠D互为余角，故A、B正确；D 错误，
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，关键是推出．
10． A
【分析】根据已知和公共边科证明△ADB≌△ACD，则这两个三角形的对应角、对应边相等，据此即可解答．
解：∵AB＝AC，AD＝AD，AD⊥BC，
∴Rt△ADB≌Rt△ACD（HL），
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C（全等三角形的对应角、对应边相等）
故B、C、D一定成立，A不一定成立．
故选A．
【点拨】本题考查直角三角形全等的判定和性质，解决问题时注意利用已知隐含的条件AD是公共边．
11． B
【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．
解：选项A，添加，
在和中，
，
∴≌（ASA），
选项B，添加，
在和中，，，，无法证明≌；
选项C，添加，
在和中，
，
∴≌（SAS）；
选项D，添加，
在和中，
，
∴≌（AAS）；
综上，只有选项B符合题意．
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
12． C
解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选不符合题意；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意．
故选C．
13． D
【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案．
解：A、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
故A选项是在作角平分线，不符合题意；
B、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
故B选项是在作角平分线，不符合题意；
C、如图，
由作图可知：，
∴,，
∴，
∴，
∴平分．
故C选项是在作角平分线，不符合题意；
D、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴
故D选项不是在作角平分线，符合题意；
故选：D
【点拨】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
14． B
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
15． C
【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，从而得到的取值范围．
解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，
∵是边上的中线，
∴，
在△ABD和△CDE中，
，
∴△ABD△CDE（SAS），
∴AB＝CE=5，AD＝DE，
∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，
∴4＜AE＜14，
∴2＜AD＜7．
故选：C．
【点拨】本题主要考查倍长中线法解题，能够做出辅助线证出三角形全等再结合三角形三边关系是解题关键．
16． D
【分析】如图，延长BD至E，使DE=BD，证明△ADE≌△CDB得到AE=BC=9，根据三角形的三边关系求得BE的取值范围即可求解．
解：如图，在△ABC中，AB=5，BC=9，BD是△ABC的中线，则AD=CD，
延长BD至E，使DE=BD=x，
在△ADE和△CDB中，
，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴AE=BC=9，又AB=5，
∵在△BAE中，AE－AB＜BE＜AB+AE，
∴9－5＜BE＜9+5，
∴4＜2x＜14，
∴2＜x＜7，
故选：D．
【点拨】本题考查三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形求解是解答的关键．
17． B
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案．
解：∵是的边的垂直平分线，
∴，
∵，
∴的周长是：．
故选B．
【点拨】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.
18． C
【分析】依据分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O，即可得到EF垂直平分AB，进而得出结论．
解：由作图可知，EF垂直平分AB，
，故A选项正确；
，故B选项正确；
，故C选项错误；
，故D选项正确，
故选C．
【点拨】本题考查不基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题．
19． ##30度
【分析】根据全等三角形的性质可以得到∠A=∠DEB=∠DEC，∠ABD=∠EBD=∠C，又∠DEB+∠DEC=180°可得∠A=∠DEB=∠DEC=90°，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得出答案．
解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴∠A=∠DEB=∠DEC，∠ABD=∠EBD=∠C，
∵∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴∠A=90°，
∴∠ABD+∠EBD+∠C=90°，
∴3∠C=90°，
∠C=30°．
故答案为30°．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解决此题的关键．
20．3或
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
解：设点P运动的时间为t秒，则BP=3t，CP=8-3t，
∵点为的中点，厘米，
∴AE=BE=5厘米，
∵∠B=∠C，
∴①当BE=CP=5，BP=CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，5=8-3t，
解得t=1，
∴BP=CQ=3，
此时，点Q的运动速度为3÷1=3厘米/秒；
②当BE=CQ=5，BP=CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，3t=8-3t，
解得t=，
∴点Q的运动速度为
5÷=厘米/秒；
故答案为：3厘米/秒或厘米/秒．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．
21． SSS
【分析】利用基本作图得到OM=ON，CM=CN，加上公共边OC，则可根据SSS证明三角形全等．
解：由作法①知，OM=ON，
由作法②知，CM=CN，
∵OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
故答案为SSS．
【点拨】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．
22． SSS
【分析】根据已知条件得到OM=ON，MP=NP，即可得到答案.
解：由题意得：OM=ON，MP=NP，
在△MOP和△NOP中
∴△MOP≌△NOP(SSS)，
∴∠MOP=∠NOP，
即过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，
故答案为：SSS.
【点拨】此题考查三角形全等的判定及性质定理，三角形全等的实际应用.
23．60°.
【分析】可证明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根据∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分线可得∠BAO=40°，从而得出∠DAO=140°，根据AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，则∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60°
解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，
∴∠ACO=∠BCO，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB，
∴∠D=∠CBO，
∵∠BAC=80°，
∴∠BAD=100°，
∴∠BAO=40°，
∴∠DAO=140°，
∵AD=AO，∴∠D=20°，
∴∠CBO=20°，
∴∠ABC=40°，
∴∠BCA=60°.
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是解题关键．
24．1
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△EDC中，∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，
∴△ADB≌△EDC，
∴EC=AB=5，
在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3，
∴1＜m＜4，
故答案为1＜m＜4．
25．3
【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．
解：△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD=AE=2，AC=AB=5，
∴CE=BD=AB﹣AD=3，
故答案为3．
26．8 cm
【分析】先求，推导出，再求出，，根据ASA证明，即可得出答案．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在△BFD和△ACD中
，
∴（ASA），
∴cm
故答案为：8cm
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．
27．90
【分析】如图（见分析），先证出，即可证得，进而证得，得到，即，即可证得．
解：如图，在和中，
∴
∴
∵
∴
∴，即
∴
故答案为：90．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，掌握直角三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
28．58
【分析】根据HL证明Rt△CBF≌Rt△ABE，推出∠FCB=∠EAB，求出∠CAB=∠ACB=45°，
求出∠BCF=∠BAE=13°，即可求出答案．
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF=90°，
在Rt△CBF和Rt△ABE中
∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL），
∴∠FCB=∠EAB，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°．
∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣32°=13°，
∴∠BCF=∠BAE=13°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+13°=58°
故答案为58
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．
29． ②
【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解．
解：∵已知，且
∴若添加①，则可由判定≌；
若添加②，则属于边边角的顺序，不能判定≌；
若添加③，则属于边角边的顺序，可以判定≌．
故答案为②．
【点拨】本题考查全等三角形的几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不难判断．
30． AC=DF（答案不唯一）
解：∵BF = CE，
∴BF＋FC = CE＋FC，即BC=EF；
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
△ABC和△DEF中有一角一边对应相等，
∴根据全等三角形的判定，添加AC=DF，可由SAS得△ABC≌△DEF；
添加∠B=∠E，可由ASA得△ABC≌△DEF；
添加∠A=∠D，可由AAS得△ABC≌△DEF．
故答案为：AC=DF．（答案不唯一）
31．
【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．
解：如图，反向延长中线至，使得，连接，
是的内角平分线，
可设AB＝2k，AC＝3k，
在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，
∴1＜k＜5，
由三角形三边关系可知，
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
32．27
【分析】由作图步骤可知BG为∠ABC的角平分线，过G作GH⊥BC,GM⊥AB，可得GM=GH
,然后再结合已知条件和三角形的面积公式求得GH，最后运用三角形的面积公式解答即可．
解：由作图作法可知：BG为∠ABC的角平分线
过G作GH⊥BC,GM⊥AB
∴GM=GH
∴,
故答案为27．
【点拨】本题考查了角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线定理是解答本题的关键．
33．3＜m＜13
【分析】延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边的关系即可解决问题．
解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△CDE中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
在△ACE中，AE-CE＜AC＜AE+CE，
∵CE=AB=5，AE=8，
∴8-5＜AC＜8+5，
∴3＜AC＜13，
∴3＜m＜13．
故答案为：3＜m＜13．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．
34．
【分析】延长AD至点E，使DE=AD，证明,由全等性质求出相关的线段长度，在中，由，代入数值即可得到答案．
解：延长AD至点E，使DE=AD，如下图：
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在和中：
∴
∴
∵AD=5
∴AE=10
在中，由得：
即：
故答案为：
【点拨】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键．
35．24
【分析】根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.
解：∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
【点拨】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算.
36． m+n.
解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠A=40°，∴AD=BD，∠A=∠ABD=40°.
∵∠DBC=30°，∴∠ABC=40°+30°=70°，∠C=180°﹣40°﹣40°﹣30°=70°.
∴∠ABC=∠C. ∴AC=AB=m.
∴△DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC=m+n.
考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的判定；3.三角形内角和定理．
37． （1）DE；（2）见分析.
【分析】（1）、（2）：如图2，作EF⊥AB，垂足为F．由题意可证得△ACD≌△DFE，由此可得 CD=DE，故小明分析的与CD相等的线段是线段DE.
解：（1）DE；
故答案为DE；
（2）证明：作EF⊥AB，垂足为F．
则∠BFE＝∠DFE＝90°═∠A═∠CDE．
∵∠ADC+∠CDE＝∠ADE＝∠DFE+∠FED，
∴∠ADC＝∠FED．
∵∠BFE＝90°，∠B＝30°，
∴BE＝2FE．
∵BE＝2AD，
∴FE＝AD．
在△FED和△ADC中，
∴△FED≌△ADC（ASA）．
∴DE＝CD
【点拨】本题考查了30°的直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握灵活运用30°的直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质.
38． （1）证明见分析；（2），证明见分析
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
解：（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥，CE⊥，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2），理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
39．（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C=∠BAD；
（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC=EF．
解：（1）如图
∵，
∴是等腰三角形
又∵为的中点，
∴（等腰三角形三线合一）
在和中，
∵为公共角，，
∴.
另解：∵为的中点，
∵，又，，
∴，
∴，又，
∴
∴，
在和中，
∵为公共角，，
∴.
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
40． （1）BD=DC+CE，见分析；（2）BD2+CD2=2AD2，见分析
【分析】（1）通过SAS证明△ABD≌△ACE，得CE=BD，即可得出结论；
（2）连接CE，同理证明△ABD≌△ACE，得CE=BD，∠ACE=∠B，则∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，得CD2+CE2=DE2，进行转化即可．
解：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD，
∴BC=CD+BD=CD+CE；
故答案为：BC=CD+CE．
（2）CD2+BD2=2AD2，理由如下：
连接CE，
∵∠DAE=90°，AD=AE，
∴DE=AD，即DE2=2AD2，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B=90°，
∴CD2+CE2=DE2，
∴CD2+BD2=2AD2．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
41． （1）证明见分析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，证明见分析．
【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，进而得出答案；
（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，进而得出答案；
②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，进而得出答案．
解：（1）∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，
∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，
∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，
∴BE=ED=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD；
（2）①AB=AC+CD．
理由：在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠C=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠B+∠BDE=∠AED，
∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD；
②AC+AB=CD．
理由：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，
∵AD为∠EAC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠ACD=∠AED，
∵∠ACB=2∠B，
∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，
∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，
∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，
∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出△AED≌△ACD是解题关键．
42． （1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论；
（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．
证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝AC＝AD，
∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，
∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，
∵AD＝AC＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，
在△ABF与△ACE中，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
又∠CAE＝∠DAE，
∴，
∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴AF＝FE，
∴BE＝BF+FE＝CE+AE．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．
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