苏教版高中必修一 5.1 函数的概念和图象 教案1

函数的概念和图像

【教学目标】

1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；

2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域。

3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。

【教学重点】

    能熟练求解常见函数的定义域和值域。

【教学难点】

    对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解。

【教学过程】

一、创设情境

下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？

（1）f(x)＝ (x－1) 0；g(x)＝1 ；    （2） f(x)＝x；g(x)＝；

（3）f(x)＝x 2；g(x)＝(x + 1) 2 ；      （4） f(x) ＝|x|；g(x)＝。

二、讲解新课

总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同

三、典例

例1  求下列函数的定义域：

（1）；       （2）； 

分析：  一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围。当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合。

解 ：（1）由得即，故函数的定义域是，。

（2）由得即≤x≤且x≠±，

         故函数的定义域是{x|≤x≤且x≠±}。

点评：  求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集。其准则一般来说有以下几个：

① 分式中，分母不等于零。

② 偶次根式中，被开方数为非负数。

③ 对于中，要求 x≠0。

变式练习1求下列函数的定义域：  （1）；（2）。

解  （2）由得  故函数是{x|x<0，且x≠}。

    （4）由即  ∴≤x＜2，且x≠0，

故函数的定义域是{x|≤x＜2，且x≠0}。

说明：若A是函数的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输出值y与之对应。我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域。

因此我们可以知道：对于函数f：A       B而言，如果如果值域是C，那么，因此不能将集合B当成是函数的值域。

我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素。如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了。

例2．求下列两个函数的定义域与值域：

（1）f (x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；

（2）f (x)=( x-1)2+1．

解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，

f(-1)= 5，f(0)=2，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=5，

所以这个函数的值域为{1，2，5}。

（2）函数的定义域为R，因为(x-1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y∣y≥1}

点评：  通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法。

变式练习2  求下列函数的值域：

（1），，；

（2）；

解：

（1）。

    作出函数，，的图象，由图观察得函数的值域为≤＜。

（2）解法一：，显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为｛y|y≠3｝。

解法二：把看成关于x的方程，变形得(y－3)x＋(y＋1)＝0，该方程在原函数定义域｛x|x≠－1｝内有解的条件解得y≠3，即即所求函数的值域为｛y|y≠3｝。

点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法；

    （2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察。

四、 课堂小结

（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同

（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分。