2023年湖南省长沙市雨花区南雅中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年湖南省长沙市雨花区南雅中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  九章算术中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数如果收入元记作元，那么元表示(    )

A. 支出元 B. 收入元 C. 支出元 D. 收入元

2.  神舟十五号的飞行任务是中国载人航天工程空间站建造阶段的最后一次飞行任务，自此我国将完成空间站建造，神舟十五号距地面高度约为米数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  每年三月最后一个星期六的“地球一小时”活动是世界自然基金会应对全球气候变化所提出的全球性节能活动，以下与环保有关的图标中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是一个正方体的一种展开图，那么在正方体的表面与“力”相对的汉字是(    )

A. 我
B. 要
C. 学
D. 习

6.  如图，在平面内，直角三角板直角顶点落在直线上，已知，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列说法正确的是(    )

A. 了解一批电视机的使用寿命适合采用普查
B. 从一副扑克牌中任意抽取张，抽到“”是随机事件
C. 要反应一周内每天气温的变化情况适宜采用扇形统计图
D. 抛掷一枚硬币，正面朝上是必然事件

8.  如图，，是上的三点，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  一元一次不等式组解集为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点、，作直线分别交、于点、则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若分式的值为，则的值为______ ．

12.  分解因式： ______ ．

13.  关于的一元二次方程没有实数解，则的取值范围是______ ．

14.  如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解集是______ ．

15.  如图，若圆锥的母线长为，底面半径为，则其侧面展开图的圆心角为______ ．

16.  天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历有十天干与十二地支，如下表：
 

算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以的余数查出地支如年，尾数为戊，除以余数为，为子，那么年就是戊子年请问年是______ 年用天干地支纪年法表示

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值，其中．

19.  本小题分
爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操，王老师周末到公园爬山，山的形状如图，爬山路线示意图如图，王老师从山脚出发，沿走米到点，再沿到山顶点，已知山高为米，，，交的延长线于点，，图中所有点均在同一平面内
求的长；
求王老师从山脚点到达山顶点共走了多少米？结果精确到米参考数据：，，

20.  本小题分
某校团委要组织班级歌咏比赛，为了将一首喜欢人数最多的歌曲作为每班必唱歌曲，团委提供了代号为，，，四首备选歌曲让学生选择每个学生只选择一首，经过抽样调查后，将得到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图，图提供的信息，解答下列问题：

在这次抽样调查中，抽取的人数为______ 人，图中的 ______ ；
求出图中所在扇形的圆心角度数，并补全图中的条形统计图；
已知该校共有名学生，据抽样调查结果，估计全校选择歌曲代号为的学生人数．
现从甲，乙，丙，丁四名学生中，任选两人担任“歌咏比赛宣传员”，求甲被选到的概率．

21.  本小题分
如图，在中，，交的延长线于点，交的延长线于点．
求证：≌．
若，，求的长．

22.  本小题分
某商店准备购进、两种商品，商品每件的进价比商品每件的进价多元，已知进货件商品和件商品一共用去用元，商店将种商品每件售价定为元，种商品每件售价定为元．
商品每件的进价和商品每件的进价各是多少元？
商店计划用不超过元的资金购进、两种商品共件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？
在的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？

23.  本小题分
如图，在四边形中，，，的垂直平分线交、分别于点、，连接、．
求证：四边形为菱形；
若，，求四边形的周长．

24.  本小题分
在中，弦平分圆周角，连接，过点作交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，且是的中点，的直径是，求的长．
是弦下方圆上的一个动点，连接和，过点作于点，请探究点在运动的过程中，
的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．

25.  本小题分
我们约定：在平面直角坐标系中，若点满足，我们就说点是该平面直角坐标系内的“”点，图象上存在一个或以上的“”点的函数我们称之为“函数”，根据约定，解答下列问题：
试判断函数为常数，且是否为“函数”？若是，求出该函数图象上的“”点坐标，若不是，请说明理由；
若函数的图象上存在两个“”点为和，且，请求出的值；
若函数的图象上存在唯一的一个“”点，且当时，的最大值与最小值的差是，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：收入和支出表示意义相反的量，
当收入元记作元时，元表示支出元．
故选：．
根据负数的含义判断即可．
本题考查了负数的含义的应用，理解收入和支出是一对意义相反的量是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项B、、中的图形，找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不是轴对称图形，不符合题意；
选项A中的图形能找到一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
则不符合题意；
B.，
则不符合题意；
C.，
则不符合题意；
D.，
则符合题意；
故选：．
根据幂的乘方法则，合并同类项法则，同底数幂除法法则，同底数幂乘法法则将各项进行计算后进行判断即可．
本题考查整式的运算，整式的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图可知，在正方体的表面与“力”相对的汉字是“我”．
故选：．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握正方体的空间图形，从相对面入手是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图可知与互余，
，
．
故选：．
利用余角的定义两角的和为，这两角互为余角计算．
本题考查了余角的定义，解题的关键是掌握余角的定义．
 

7.【答案】 

【解析】解：选项，不适合用普查，故A选项错误，不符合题意；
选项，一副扑克牌中抽到“”，是随机事件，故B选项正确，符合题意；
选项，扇形统计图可以看出对象的百分比，气温变化情况复杂，不宜用扇形统计图，故C选项错误，不符合题意；
选项，是随机事件，故D选项错误，不符合题意；
故选：．
根据抽样调查，全面调查普查的概念，随机事件的概念，必然事件的概念，统计图的相关知识即可求解．
本题主要考查数学中重点概念问题，理解定义，概念的含义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据圆周角定理得出，再代入求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
，
故选：．
先解每个不等式的解集，再求两个不等式的解集的公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由作图得：，垂直平分，
，，，
，
，
，
，
即：，
解得：，
故选：．
先根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握三角形相似的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意知：且．
解得．
故答案为：．
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
本题考查分式的值为零，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于要进行二次因式分解．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，
．
故答案为：．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，令，则，
因为当时，在上方，
即，
所以关于的不等式的解集为．
故答案为：．
结合函数图象写出两直线都在轴上方，且在上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

15.【答案】 

【解析】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为，
根据题意得，
解得，
即侧面展开图的圆心角为．
故答案为：．
设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

16.【答案】辛丑 

【解析】解：年尾数为辛，除以余数为，为丑，那么年就是辛丑年，
故答案为：辛丑．
先用的尾数查出天干，再用除以的余数查出地支即可．
本题主要考查用数字表示事件，有理数的除法，掌握天干，地支的算法是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，绝对值性质及特殊角的锐角三角函数值进行计算即可．
本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

18.【答案】解：


；
当时，
原式
． 

【解析】先通分括号内的式子，然后算括号外的除法，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：在中，米，，
米，
的长为米；
由题意得：米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
王老师从山脚点到达山顶点共走了约米． 

【解析】在中，利用含度角的直角三角形的性质可得米，即可解答；
根据题意可得：米，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：由题意可得，本次抽样调查中，总人数为人，
选择曲目代号为的学生占抽样总数的百分比为：，
，
故答案为：，；
由题意可得，选择的人数有：人，
故补全的图如图所示，


，
所在扇形的圆心角度数为；
由题意可得，全校选择此必唱歌曲共有：人，
答：估计全校选择曲目代号为的学生有名；

 

由表格可得，一共有种等可能得情况，其中甲被选到的情况有种，
甲被选到的概率为．
根据的人数及其所占的百分比可以求得总人数，然后根据代号为的学生人数和总人数即可求出占抽样总数的百分比；
根据各项人数之和等于总数可以求得选择的人数，从而可以将图补充完整，根据选D的人数和总人数即可求出所占的百分比，进而可求出所占的扇形的圆心角度数；
根据项目人数占总人数的比例可以估计全校选择曲目代号为的人数；
利用表格列举出所有的情况，再根据概率公式即可得出结果．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，列表法求概率，在解题时要注意灵活应用条形图列出式子得出结论是本题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
又，，
，
在和，
，
≌；
，，
，
．
 

【解析】由“”可证≌；
由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
 

22.【答案】解：设商品每件的进价为元，则商品每件的进价为元，
由题意，得，
解得，
商品每件的进价为元，
答：商品每件的进价为元，商品每件的进价为元；
设种商品的数量件，种商品的数量件，
由题意，得，
解得，
为正整数，
为，，，
种商品的数量为，，，
所以有三种进货方案：第一种：进商品件，商品件；
第二种：进商品件，商品件；
第三种：进商品件，商品件；
令所获利润为元，则，
，
，
随的增大而增大，
时，即购买件，购买件利润最大，
元，
答：购买件，购买件利润最大，最大利润元． 

【解析】根据题意，找等量关系式，设未知数，列方程求解即可；
根据题意，列不等式组，根据解集找整数解即可；
根据一次函数的增减性求最值．
本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用问题，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．
 

23.【答案】证明：垂直平分线，
，，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；

解：设，则，，
在中，，
，
解得，即：，
菱形的周长为． 

【解析】证明≌，得出，再由，则四边形为平行四边形，进而得出结论；
设，在中由勾股定理得出方程，求出，即可求解．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，连接交于点，连接，，，

平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
解：如图，连接，，，过点作于点，

，
，，
，
，
设，，
的直径是，
，
，
，
解得：，
，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
．
如图，延长至使得，连接，，连接，，连接交于点，连接，

，，，四点共圆，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】利用垂径定理即可证得结论；
构建直角三角形，利用勾股定理求出线段长度即可求解；
利用相似三角形，直角三角形，找到角之间的关系，然后转化为线段的关系进行求解．
本题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理等知识点，难度较大，解题的关键是作出辅助线，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：点满足，
点在函数上，
函数中，当，此时两个函数的图象平行，不是“函数”，
当，则两函数的图象必有交点，此时是“函数”，
，
解得，
“”点坐标为．
如图，由函数的图象存在两个“”点为和，
则与有两个交点，
，
整理得，
，，，
，
，
，
整理得：，
解得或舍去，
，
答：的值为．
函数的图象上存在唯一的一个“”点，
与只有个交点，
，
整理得，
，
整理得，
，
当时，的最小值为，
当，即，
当时，
当时取最大值为，
的最大值与最小值的差为，
，
解得，
同理当，即，
当时，
当时取最大值为，
的最大值与最小值的差为，
，即，
解得，此时不符合题意．
综上，． 

【解析】证明点在函数上，函数中，当，此时两个函数的图象平行，不是“函数”，当，则两函数的图象必有交点，此时是“函数”，再解方程组即可；
如图，由函数的图象存在两个“”点为和，则与有两个交点，由整理得，求出的范围，建立方程求解即可．
函数的图象上存在唯一的一个“”点，得与只有个交点，则，当时，的最小值为，分情况当时和当时，两种情况讨论即可求解．
本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数与一次函数交点的问题，二次函数的性质．