新高考数学一轮复习课件 第6章 §6.5 数列求和

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新高考数学一轮复习课件 高考数学一轮复习策略 1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。第六章§6.5　数列求和考试要求1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识数列求和的几种常用方法1.公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝ ＝ .(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝_________________________2.分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.(2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解.3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.4.裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(2)常见的裂项技巧(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得.(　　)判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)√√√×1.数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为A.－200 B.－100C.200 D.100√S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.2.等差数列{an}中，已知公差d＝ ，且a1＋a3＋…＋a99＝50，则a2＋a4＋…＋a100等于A.50 B.75 C.100 D.125√a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋d)＋(a3＋d)＋…＋(a99＋d)＝(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝50＋25＝75.2 022∴n＝2 022.TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1　(2022·衡水质检)已知各项都不相等的等差数列{an}，a6＝6，又a1，a2，a4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；题型一分组求和与并项求和∵{an}为各项都不相等的等差数列，a6＝6，且a1，a2，a4成等比数列.解得a1＝1，d＝1，∴数列{an}的通项公式an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)设bn＝ ＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n.由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.延伸探究　在本例(2)中，如何求数列{bn}的前n项和Tn?由本例(2)知bn＝2n＋(－1)nn.当n为偶数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]当n为奇数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n](2020·新高考全国Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通项公式；教师备选由于数列{an}是公比大于1的等比数列，设首项为a1，公比为q，所以{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*.(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32，26＝64，27＝128，所以b1对应的区间为(0,1]，则b1＝0；b2，b3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，则b2＝b3＝1，即有2个1；b4，b5，b6，b7对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，则b4＝b5＝b6＝b7＝2，即有22个2；b8，b9，…，b15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b8＝b9＝…＝b15＝3，即有23个3；b16，b17，…，b31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]，则b16＝b17＝…＝b31＝4，即有24个4；b32，b33，…，b63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]，则b32＝b33＝…＝b63＝5，即有25个5；b64，b65，…，b100对应的区间分别为(0,64]，(0,65]，…，(0,100]，则b64＝b65＝…＝b100＝6，即有37个6.所以S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.思维升华(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝ 其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.跟踪训练1　(2022·重庆质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝9，S5＝25.(1)求数列{an}的通项公式及Sn；设数列{an}的公差为d，由S5＝5a3＝25得a3＝a1＋2d＝5，又a5＝9＝a1＋4d，所以d＝2，a1＝1，(2)设bn＝(－1)nSn，求数列{bn}的前n项和Tn.结合(1)知bn＝(－1)nn2，当n为偶数时，Tn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋(b5＋b6)＋…＋(bn－1＋bn)＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n－1)2＋n2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n－(n－1)][n＋(n－1)]当n为奇数时，n－1为偶数，例2　(10分)(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝ .已知a1，3a2，9a3成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式； [切入点：设基本量q]题型二错位相减法求和教师备选(2020·全国Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.(1)求{an}的公比；设{an}的公比为q，∵a1为a2，a3的等差中项，∴2a1＝a2＋a3＝a1q＋a1q2，a1≠0，∴q2＋q－2＝0，∵q≠1，∴q＝－2.(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和.设{nan}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝(－2)n－1，Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1， ①－2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n(－2)n， ②①－②得，3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n思维升华(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法.(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.跟踪训练2　(2021·浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－ ，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；因为4Sn＋1＝3Sn－9，所以当n≥2时，4Sn＝3Sn－1－9，(2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn，对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.因为Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，当n＝4时，－12≤0恒成立，所以－3≤λ≤1.例3　(2022·咸宁模拟)设{an}是各项都为正数的单调递增数列，已知a1＝4，且an满足关系式：an＋1＋an＝4＋(1)求数列{an}的通项公式；题型三裂项相消法求和教师备选设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1.(1)求{an}的通项公式；因为2Sn＝3an－1，所以2S1＝2a1＝3a1－1，即a1＝1.当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－1，则2Sn－2Sn－1＝2an＝3an－3an－1，则数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，故an＝1×3n－1＝3n－1.思维升华利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，如：若{an}跟踪训练3　(2022·河北衡水中学模拟)已知数列{an}满足a1＝4，且当n≥2时，(n－1)an＝n(an－1＋2n－2).当n≥2时，(n－1)an＝n(an－1＋2n－2)，将上式两边都除以n(n－1)，KESHIJINGLIAN 课时精练1.已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，且a3＝5，S7＝49.(1)求数列{an}的通项公式；12345由等差数列性质知，S7＝7a4＝49，则a4＝7，故公差d＝a4－a3＝7－5＝2，故an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.(2)若bn＝ ＋an，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn≥1 000，求n的取值范围.12345由(1)知bn＝22n－1＋2n－1，Tn＝21＋1＋23＋3＋…＋22n－1＋2n－1＝21＋23＋…＋22n－1＋(1＋3＋…＋2n－1)易知Tn单调递增，且T5＝7071 000，故Tn≥1 000，解得n≥6，n∈N*.2.(2020·全国Ⅲ改编)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n.(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式；12345由题意可得a2＝3a1－4＝9－4＝5，a3＝3a2－8＝15－8＝7，由数列{an}的前三项可猜想数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，即an＝2n＋1.(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.12345由(1)可知，an·2n＝(2n＋1)·2n，Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n， ①2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1， ②由①－②得，－Sn＝6＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1＝(1－2n)·2n＋1－2，即Sn＝(2n－1)·2n＋1＋2.123453.(2022·合肥模拟)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝an＋2n.(1)求{an}的通项公式；由已知得an＋1－an＝2n，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋22＋…＋2n－1又a1＝2，也满足上式，故an＝2n.由(1)可知，bn＝log2an＝n，123454.(2022·济宁模拟)已知数列{an}是正项等比数列，满足a3是2a1,3a2的等差中项，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；1234512345设等比数列{an}的公比为q，因为a3是2a1,3a2的等差中项，所以2a3＝2a1＋3a2，即2a1q2＝2a1＋3a1q，因为a1≠0，所以2q2－3q－2＝0，因为数列{an}是正项等比数列，所以q＝2.所以an＝a4·qn－4＝2n.(2)若bn＝(－1)nlog2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.1234512345方法一　(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a2n＋1＝22n＋1，所以bn＝(－1)n·log2a2n＋1＝(－1)n·log222n＋1＝(－1)n·(2n＋1)，①若n为偶数，Tn＝－3＋5－7＋9－…－(2n－1)＋(2n＋1)12345②若n为奇数，当n≥3时，Tn＝Tn－1＋bn＝n－1－(2n＋1)＝－n－2，当n＝1时，T1＝－3适合上式，方法二　(错位相减法)由(1)可知，a2n＋1＝22n＋1，所以bn＝(－1)n·log2a2n＋1＝(－1)n·log222n＋1＝(－1)n·(2n＋1)，12345Tn＝(－1)1×3＋(－1)2×5＋(－1)3×7＋…＋(－1)n·(2n＋1)，所以－Tn＝(－1)2×3＋(－1)3×5＋(－1)4×7＋…＋(－1)n＋1(2n＋1)，所以2Tn＝－3＋2[(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n]－(－1)n＋1(2n＋1)＝－3＋1－(－1)n－1＋(－1)n(2n＋1)＝－2＋(2n＋2)(－1)n，所以Tn＝(n＋1)(－1)n－1，n∈N*.5.(2022·重庆调研)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36.(1)求数列{an}的通项公式an；12345解得d＝2，a1＝2.∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.(2)若________，求数列{bn}的前n项和Sn，1234512345选条件①.选条件②.∵an＝2n，bn＝(－1)nan＝(－1)n·2n，∴Sn＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n，当n为偶数时，当n为奇数时，n－1为偶数，Sn＝n－1－2n＝－n－1.12345选条件③.∵an＝2n，bn＝∴bn＝22n·2n＝2n·4n，∴Sn＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n·4n， ①4Sn＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n－1)·4n＋2n·4n＋1， ②①－②得－3Sn＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n－2n·4n＋11234512345