新高考数学一轮复习课件 第6章　§6.5　数列求和（含详解）

这是一份新高考数学一轮复习课件 第6章　§6.5　数列求和（含详解），共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，Sn＝，na1q＝1，常见的裂项技巧，常用求和公式，当n为奇数时，所以－3≤λ≤1，选择①等内容，欢迎下载使用。
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法.
数列求和的几种常用方法1.公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝ ＝ .
(2)等比数列的前n项和公式：
________________________.
2.分组求和法与并项求和法(1)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.
3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝ .(　　)(2)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得.(　　)(3)已知等差数列{an}的公差为d，则有＝ (　　)(4)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　)
由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.
例1　(2023·菏泽模拟)已知数列{an}中，a1＝1，它的前n项和Sn满足2Sn＋an＋1＝2n＋1－1.
由2Sn＋an＋1＝2n＋1－1(n≥1)，①得2Sn－1＋an＝2n－1(n≥2)，②由①－②得an＋an＋1＝2n(n≥2)，
(2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n.
延伸探究　在本例(2)中，如何求S1＋S2＋S3＋…＋Sn?
当n为偶数时，S1＋S2＋S3＋…＋Sn
当n为奇数时，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝(S1＋S2＋S3＋…＋Sn＋Sn＋1)－Sn＋1
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝ 其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和.
跟踪训练1　记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－2n＋1.(1)求数列{an}的通项公式；
当n＝1时，由Sn＝2an－2n＋1，可得a1＝S1＝2a1－2＋1，即有a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－2an－1＋2(n－1)－1，即an＝2an－1＋2，可得an＋2＝2(an－1＋2)，显然an－1＋2≠0.所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，则an＋2＝3·2n－1，即有an＝3·2n－1－2.
当n为偶数时，Tn＝－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n
例2　(2021·浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝ ，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；
因为4Sn＋1＝3Sn－9，所以当n≥2时，4Sn＝3Sn－1－9，
(2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn，对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
因为3bn＋(n－4)an＝0，
因为Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，
即－3n≤λ(n－4)恒成立，
当n＝4时，－12≤0恒成立，
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法.(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
跟踪训练2　(2023·重庆模拟)在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，② ＋ ＋…＋ ＝2n＋1－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.问题：在数列{an}中，已知________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求{an}的通项公式；
选择②，因为 ＋ ＋…＋ ＝2n＋1－2，所以当n＝1时， ＝22－2＝2，解得a1＝1，
当n≥2时， ＝2n＋1－2n＝2n，所以an＝n.又a1＝1，所以an＝n.
(2)若bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Sn.
(1)求{an}的通项公式；
裂项相消法的原则及规律(1)裂项原则一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.(2)消项规律消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项.
跟踪训练3　(2022·湛江模拟)已知数列{an}是等比数列，且8a3＝a6，a2＋a5＝36.(1)求数列{an}的通项公式；
∵a2＋a5＝36，∴a1q＋a1q4＝36，即2a1＋16a1＝36，解得a1＝2，∴an＝2·2n－1＝2n，n∈N*.
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
1.(2022·杭州模拟)已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝20，a2，a4，a8成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；
设数列{an}的公差为d(d>0)，
所以an＝2＋(n－1)·2＝2n.
(2)若bn＝2an＋1－3n＋2，求数列{bn}的前n项和Tn.
由(1)得，an＝2n，所以bn＝4(n＋1)－3n＋2，所以Tn＝4×2－33＋4×3－34＋…＋4(n＋1)－3n＋2＝4[2＋3＋…＋(n＋1)]－(33＋34＋…＋3n＋2)
2.(2023·宁波模拟)已知数列{an}满足an＋1an－2n2(an＋1－an)＋1＝0，且a1＝1.(1)求出a2，a3的值，猜想数列{an}的通项公式；
由已知得，当n＝1时，a2a1－2(a2－a1)＋1＝0，又a1＝1，代入上式，解得a2＝3，同理可求得a3＝5.猜想an＝2n－1.
由(1)可知an＝2n－1，经检验符合题意，所以Sn＝n2，
3.(2023·吕梁模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2.(1)求证：数列{an}是等差数列；
在4Sn＝(an＋1)2中，令n＝1，可得a1＝1，因为4Sn＝(an＋1)2，①所以当n≥2时，4Sn－1＝(an－1＋1)2，②①－②得，4an＝(an＋1)2－(an－1＋1)2，整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，因为an>0，所以an－an－1＝2(n≥2)，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.
(2)设bn＝2n，求数列{an·bn}的前n项和Tn.
由(1)得an＝2n－1，所以an·bn＝(2n－1)·2n，所以Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，两式相减得，－Tn＝2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝－6＋(3－2n)·2n＋1，所以Tn＝6＋(2n－3)·2n＋1.
(1)证明：数列{bn＋2}为等比数列，并求出{bn}的通项公式；
由题意知，bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＝2(a2n－1＋1)＝2bn＋2，
所以{bn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，则bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，所以bn＝2n＋1－2.
数列{an}的前2n项和为S2n＝a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a1＋a3＋…＋a2n－1＋n)＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋n＝2(b1＋b2＋…＋bn)＋n＝2×(22＋23＋…＋2n＋1－2n)＋n
(2)求数列{an}的前2n项和.
5.(2023·蚌埠模拟)给出以下条件：①a2，a3，a4＋1成等比数列；②S1＋1，S2，S3成等比数列；③Sn＝ (n∈N*).从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知递增等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，_____.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求数列{an}的通项公式；
设数列{an}的公差为d，则d>0，选择条件①：因为a2，a3，a4＋1成等比数列，
化简得d2－d－2＝0，解得d＝2或d＝－1(舍)，所以数列{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×2＝2n.
选择条件②：因为S1＋1，S2，S3成等比数列，
化简得d2－d－2＝0，解得d＝2或d＝－1(舍)，所以数列{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×2＝2n.选择条件③：
因为an≠0，所以an＋1－an－1＝4，即2d＝4，所以d＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)若 是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列{bn}的前n项的和Tn.
所以Tn＝2·21＋4·22＋6·23＋…＋2n·2n，2Tn＝2·22＋4·23＋6·24＋…＋(2n－2)·2n＋2n·2n＋1，两式相减得，－Tn＝2·21＋2·22＋2·23＋2·24＋…＋2·2n－2n·2n＋1
所以Tn＝(n－1)2n＋2＋4.
6.(2023·哈尔滨模拟)设正项数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝ ＋an.(1)求数列{an}的通项公式；
整理可得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，因为an>0，所以an－an－1－1＝0，即an－an－1＝1(n≥2)，
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.