精品解析：2023年安徽省滁州市定远县部分学校中考第一次模拟考试数学试题

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2023年九年级中考第一次模拟考试

数学试题
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简，再根据相反数的定义求相反数．
【详解】
的相反数为：
故选：B．
【点睛】本题考查绝对值的化简以及相反数的定义，较为简单，要注意不要弄错符号．
2. 下列运算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式乘以单项式、积的乘方、幂的乘方、负整数指数幂逐项判断即可．
【详解】解：A. ，则该选项错误，不符合题意；
B. ，则该选项错误，不符合题意；
C. ，则该选项错误，不符合题意；
D. ，则该选项正确，符合题意．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式、积的乘方、幂的乘方、负整数指数幂等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
3. 下图中，不是右图所示物体从正面、左面和上面三个方向看到的图形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的三视图解题：分别从正面、左面、上面对该几何体正投影所得的图形即是主视图、左视图、俯视图．
【详解】解： 从正面看： ；从左面看： ；从上面看： ，选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图的识别，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4. 中国华为麒麟处理器是采用纳米制程工艺的手机芯片，在的尺寸上塞进了亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理，亿用科学记数法表示为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：亿．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
5. 如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线于B，C两点，连接，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据同圆半径相等可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】解：由圆的半径得：，
，
，，
，
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握同圆半径相等是解题关键．
6. 青岛第四届海上马拉松比赛将在2020年11月举行，小明和小刚分别从A、B、C三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，根据列表法或树状图法求概率即可．
【详解】依题意，列表如下，
小明\小刚
A
B
C
A
AA
BA
CA
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
CC
根据列表可得，共有9种等可能性结果，其中小明和小刚恰好选择同一组可能有3种，
小明和小刚恰好选择同一组的概率是
故选A．
【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．
7. 在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x人，则根据题意可列方程（ 　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设每轮传染中平均1个人感染人，根据“有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染”列出方程，此题得解．
【详解】解： 设每轮传染中平均1个人感染人，
根据题意可得：，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系．
8. 如图，是的直径，点为圆上一点，是弧的中点，与交于点若是的中点，则的长为（ ）

A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】连接交于，如图，根据垂径定理得到，则，根据圆周角定理得到，所以，接着证明≌，得到，则，然后设，则，然后利用勾股定理列方程求解．
【详解】连接交于，如图，

是弧的中点，
，
，
是直径，
，
∴，
，
是的中点，
，
，
≌，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
∴，
解得
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
9. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（　　）

A. 2 B. 2-1 C. 2.5 D. 2.3
【答案】D
【解析】
【分析】延长AF至BC延长线上交于G点，由已知可证明∠AGB=∠EAG，则EF为△ABG的中位线，得出EF=3，还可证明FG=4，由勾股定理得EG=5，则求得CE的长为2.3．
【详解】延长AF、BC交于点G．
∵AD∥BC
∴∠D=∠FCG，∠DAF=∠G．
又DF=CF，
∴△AFD≌△GFC．
∴AG=2AF=8，CG=AD=2.7．
∵AF⊥AB，AB=6，
∴BG=10．
∴BC=BG，CG=7.3．
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B．
∴∠EAG=∠AGE．
∴AE=GE．
∴BE=BG=5．
∴CE=BC，BE=2.3．
故选：D．

【点睛】此题综合考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理、等边对等角的性质、等角的余角相等以及等角对等边的性质．
10. 如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），点P在抛物线上，且在直线AB上方，则下列结论正确的是（ ）

A. B. 方程有两个相等的实根
C. D. 点P到直线AB的最大距离
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系、坐标系内直线的平移、利用配方法求二次三项式的最值即可一一判断．
【详解】解：由图象可知，，则，故A选项错误；
由图象可知，直线与抛物线只有一个交点，则方程有两个相等的实根，故B选项正确；
当时，抛物线由最大值，则，即，
故C选项正确；
设直线AB的表达式为，且A（1，3），B（4，0）在直线上，
则，解得，
，即，
由抛物线的对称轴为得，
则，即，
又 A（1，3），B（4，0）在抛物线上，
则，解得，
，
将直线向上平移与抛物线有一个交点时至，要求点P到直线AB的最大距离，即点P为直线与抛物线的交点，过点作于，轴，如图所示，

由直线AB可得，
为等腰直角三角形，
又直线由直线平移得到，且轴，
,,
是等腰直角三角形，
由平移的性质可设直线的表达式为，当与抛物线有一个交点时，
即，
整理得，由于只有一个交点，
则，
解得，
即直线AB向上平移了：，
则，
则，
点P到直线AB的最大距离，
故D选项正确，
故选BCD．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系、平面直角坐标系内直线的平移，解题的关键学会利用函数图象解决问题，灵活运用相关知识解决问题，本题难点在于要求抛物线上的点到直线的最大距离即求直线平移至与抛物线有一个交点时交点到直线的距离．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 因式分解：＝___.
【答案】
【解析】
【详解】分析：先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．
详解：a2（a-b）-4（a-b）
=（a-b）（a2-4）
=（a-b）（a-2）（a+2），
故答案为（a-b）（a-2）（a+2）．
点睛：本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的关键．
12. 若一次函数的图象不过第一象限，则k的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】若函数的图象不过第一象限，则此函数的，，据此求解．
【详解】函数的图象不过第一象限，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题关键是掌握一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数是大于0或是小于0．
13. 如图，平行四边形OABC的边在x轴上，顶点C在反比例函数y＝的图象上，BC与y轴相交于点D，且D为BC的中点，若平行四边形OABC的面积为6，则k＝_____．

【答案】
【解析】
【分析】由D为BC的中点，平行四边形OABC的面积为6，可得△OCD的面积为平行四边形OABC的面积的，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出答案．
【详解】解：∵D为BC的中点，平行四边形OABC的面积为6，
∴△OCD的面积为6×＝1.5，
∴|k|＝1.5，
∵k＜0，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，求得△OCD的面积是解题的关键．
14. 如图，把一副三角板按如图放置，，点是的中点，连结若，则的面积为___________

【答案】
【解析】
【分析】作交的延长线于，根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后根据，，得出是等边三角形，是等腰直角三角形，即可得出，，进而求得，根据的直角三角形的性质得出，最后根据三角形面积公式求得即可．
【详解】解：作交的延长线于，如图所示：

，点是的中点，
，
，
是等边三角形，是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，含的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线构建含的直角三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）计算：；
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）将各三角函数值分别代入，计算即可；
（2）利用公式法解方程．
【详解】解：原式

；
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了计算能力，特殊角三角函数值的混合运算及解一元二次方程，熟记各角度的三角函数值，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
16. 三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边长均为1．按下列要求画图（画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）

（1）把沿直线翻折，画出翻折后的；
（2）找出格点并画出直线，使直线将分成面积相等的两部分；
（3）在轴上存在点，使的面积等于3，直接写出点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）找到点关于对称点，连接、即可；
（2）过点作的平行线，取，作直线，由全等三角形的性质可知直线经过中点，将分成面积相等的两部分；
（3）设交轴于点，点为轴上一点，则有，根据面积公式计算可得，结合点坐标确定点的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，找到点关于的对称点，连接、即可；
【小问2详解】
如图，过点作的平行线，取，作直线，则直线将分成面积相等的两部分；
【小问3详解】
如图，设交轴于点，由图可知点，
设点到轴的距离为，点到轴的距离为，由图可知，，
则



∵的面积等于3，即，
解得，
∴点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、基本作图、轴对称、三角形面积等知识，熟练掌握基本作图方法及相关知识是解题关键．
17. 【数学阅读】
图1是由若干个小圆圈推成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共推了n层．
将图1倒置后与原图1排成图2的形状，这样图2中每一行的圆圈数都是．
我们可以利用“倒序相加法”算出图1中所有圆圈的个数为：．

【问题解决】
（1）按照图1的规则摆放到第12层时，求共用了多少个圆圈；
（2）按照图1的规则摆放到第19层，每个圆圈都按图3的方式填上一串连续的正整数：1，2，3，4，……，则第19层从左边数第二个圆圈中的数字是______．
【答案】（1）78个圆圈
（2）173
【解析】
【分析】（1）将代入公式求解即可得；
（2）先计算当时的值，然后根据题意，第19层从左边数第二个圆圈中的数字即可得出．
【小问1详解】
解：图1中所有圆圈的个数为：，
当时，
，
答：摆放到第12层时，求共用了78个圆圈；
【小问2详解】
先计算当时，
，
第19层从左边数第二个圆圈中的数字为：，
故答案为：173．
【点睛】题目主要考查有理数的加法及找规律求代数式的值，理解题意，运用代数式求值是解题关键．
18. 如图，为反比例函数(x>0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且.
(1)求的值；
(2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值.

【答案】(1)k=12；(2).
【解析】
【分析】(1)过点作交轴于点，交于点，易知OH长度，在直角三角形OHA中得到AH长度，从而得到A点坐标，进而算出k值；（2）先求出D点坐标，得到BC长度，从而得到AM长度，由平行线得到，所以
【详解】解：
(1)过点作交轴于点，交于点.





(2)









【点睛】本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合问题，难度不大，解题关键在于求出k
19. 如图，在中，点是直径延长线上的一点，点是直径上方圆上的一点，连接，使得．

（1）求证：是的切线；
（2）若平分，且分别交于点，当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角等于，得出，证明，得出，即可证明结论；
（2）根据角平分线的定义，证明，得出，根据勾股定理求出结果即可．
【小问1详解】
证明：连接，

为的直径，
，
，
，
，
，
，
，

是圆的半径，
是切线；
【小问2详解】
解：平分，
，
又，
，
即，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角等于，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是辅助线，熟练掌握切线的判定方法．
20. 如图，某幢大楼顶部有广告牌，小字目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数）

（1）求这幢大楼的高；
（2）求这块广告牌的高度．
【答案】（1）楼高为米；
（2）广告牌的高度为米．
【解析】
【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解；
（2）根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解．
【小问1详解】
解：在中，米；
由 ，
得米；
又因为米，
因而大楼米，
答：楼高为米；
【小问2详解】
解：∵在中，米，
，
∴米；
因而广告牌米；
答：广告牌的高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解题的关键．
21. 某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．

（1）请根据统计图将下面的信息补充完整：
①参加问卷调查的学生共有________人；
②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为________；
（2）若该校共有学生1500名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？
（3）现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．
【答案】（1）①240；②36°
（2）估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有450人；
（3）画图见解析；
【解析】
【分析】（1）①由最喜欢B课程人数及其所占百分比可得总人数；
②用360°乘以最喜欢D课程人数所占比例即可得出其对应圆心角度数；
（2）求出最喜欢C课程人数所占百分比后，再乘以总人数1500即可；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：①参加问卷调查的学生人数是84÷35%=240（人），
②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为360°×=36°，
故答案为：①240，②36°；
【小问2详解】
解：最喜欢D课程人数所占百分比为×100%=10%，
∴最喜欢C课程的人数所占百分比为1-（25%+35%+10%）=30%，
∴估计全体2100名学生中最喜欢C课程的人数约为：1500×30%=450（人），
答：估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有450人；
【小问3详解】
解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数为2，
∴恰好甲和丁同学被选到的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率，也考查了统计图．
22. 如图，Rt△OAB中,∠OAB=90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA=AB=2个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移2个单位长度后得△．
(1)求以A为顶点，且经过点的抛物线的解析式；
(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、 C的坐标．

【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）根据三角形的边长求出点A和点的坐标，设抛物线解析式为，代入点坐标求出解析式；
（2）令，求出y的值，得到点D的坐标，再求出直线OB的解析式和抛物线联立求出点C的坐标．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，解得，
∴；
（2）令，得，
∴，
设直线OB解析式为，把点代入，得到，解得，
∴直线OB解析式为，
联立直线和抛物线的解析式，得，解得，
根据点C的位置，取，
∴．
【点睛】本题考查二次函数，解题关键是掌握求二次函数的解析式的方法，求抛物线和直线交点的方法．
23. 如图，中，，D为边中点，，

（1）如图1，当E，F分别在的边和上时，
①求证：
②在绕点D旋转的过程中，四边形的面积是否发生改变？若没有变化，求出四边形的面积；若有变化，请说明理由．
（2）如图2，当E，F分别在的边、的延长线上时，
①探索和之间的数量关系；
②设长为x，四边形的面积为S，请探究S与x的关系式．
【答案】（1）①见解析；②在绕着点D旋转的过程中，四边形的面积不发生改变，此时四边形的面积为100
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）①连接，根据等腰三角形的性质可得，，再由，可得到，从而可证得，即可；②根据，可得，从而得到，再求出，即可求解；
（2）①由（1）得，可得到，再由，可得到，即可；②过点D作于点H，根据，可得，从而得到，再根据，即可求解．
【小问1详解】
解：①如图，连接，
∵，D为中点，
∴是的平分线，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；

②在绕着点D旋转的过程中，四边形的面积不发生改变，此时四边形的面积为25，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
在绕着点D旋转的过程中，四边形的面积不发生改变，此时四边形的面积为100；
【小问2详解】
解：①由（1）得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
②如图，过点D作于点H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．