2023年安徽省滁州市定远县青山学校中考数学模拟试卷（含解析）

2023年安徽省滁州市定远县青山学校中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列实数，，，，，，中无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.  一元一次不等式的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若整数既使得关于的分式方程有整数解，又使得关于，的方程组的解为正数，则符合条件的所有的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  二次函数的图象与轴交于，两点，点平分，若在轴上侧的点为抛物线上的动点，且为锐角，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是分，甲的成绩方差是，乙的成绩方差是，下列说法正确的是(    )

A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定
C. 甲、乙两人的成绩一样稳定 D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定

9.  我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”如图，此图揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：






请你猜想的展开式中所有系数的和是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在边长为的正方形中，、是边上的两个动点，且，连接、、，与交于点，连接交于点，连接，下列结论正确的个数是(    )
；
平分；
∽；
；
线段的最小值是；
当、重合时，延长交于，则．
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.         ．

12.  若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是______．

13.  如图，反比例函数的图象经过▱对角线的交点，已知点、、在坐标轴上，，▱的面积为，则______．

14.  若一个四位数的个位数字、十位数字、百位数字之和为，则称这个四位数为“永恒数”将“永恒数”的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数，并规定若一个“永恒数”的百位数字与个位数字之差恰为千位数字，且为整数，则的最大值为        ．

三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）

15.  已知，求的值．

16.  观察下列等式：，，将这三个等式两边分别相加得：
猜想并写出：______．
直接写出下列各式的计算结果：
______．
______．
探究并计算：．

17.  如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数为常数，的图象在第一象限内交于点，点的横坐标为．
求反比例函数的表达式；
设直线与轴交于点，过点作轴于点，连接，求四边形的面积．

18.  如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点．
分别求出点、、的坐标；
若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式；
在的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
 

四、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
利用乘法公式计算：
；
．

20.  本小题分
如图，在长方形中，，，点从出发，沿的路线运动，到停止；点从点出发，沿路线运动，到点停止．若、两点同时出发，速度分别为每秒、，秒时、两点同时改变速度，分别变为每秒、、两点速度改变后一直保持此速度，直到停止，如图是的面积和运动时间秒的图象．
求出值；
设点已行的路程为，点还剩的路程为，请分别求出改变速度后，、和运动时间秒的关系式；
求、两点都在边上，为何值时、两点相距？
 

21.  本小题分
如图所示，轴于点，点的坐标为，将沿轴负方向平移个单位，平移后的图形为．
直接写出点和点的坐标；
在四边形中，点从点出发，沿“”移动，移动到点停止．若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题：
当为何值时，点的横坐标与纵坐标互为相反数；
用含的式子表示点在运动过程中的坐标写出过程；
当秒秒时，四边形的面积为，求点的坐标．
 

22.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，抛物线过点，且顶点为，连接、、、．
填空：______；
点是抛物线上一点，点的横坐标大于，直线交直线于点若，求点的坐标；
点在直线上，点关于直线对称的点为，点关于直线对称的点为，连接当点在轴上时，直接写出的长．
 

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，正方形中心在原点，且顶点的坐标为动点、分别从点、同时出发，绕着正方形的边按顺时针方向运动，当点回到点时两点同时停止运动，运动时间为秒．连接、，线段、与正方形的边围成的面积较小部分的图形记为．
请写出、、点的坐标；
若、的速度均为个单位长度秒，试判断在运动过程中，的面积是否发生变化，如果不变求出该值，如果变化说明理由；
若点速度为个单位长度秒，点为个单位长度秒，当的面积为时，求的
值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的平方根是：
．
故选：．
根据平方根的含义和求法，可得的平方根是：，据此解答即可．
此题主要考查了平方根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
因此所列个数中，无理数有、这个数，
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

3.【答案】 

【解析】解：由得
，
故选：．
根据不等式解集的表示方法，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．不等式组整理后，由有且只有三个整数解确定出的范围即可．
【解答】
解：解不等式组可得：，即，
由不等式组有且只有三个整数解，得到整数解，，，
，
解得：，
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：解方程得，
，
分式方程有整数解，且，
或或或或或，且，
或或或或，
解方程组得，
，
方程组的解为正数，
，
解得，，
综上，或，
故选：．
先解分式方程得关于的代数式，根据分式方程有整数解和不能为增根，求出的取值，再解方程组，根据方程组的解为正数，列出的不等式组求得的取值范围，进而综合求得的取值个数．
本题主要考查了解分式方程，二元一次方程组，解不等式组，整数解的应用，容易忽略分式方程增根的限制条件．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了二次函数与一元二次方程的关系、圆周角定理等知识，能够正确的根据圆周角定理判断出是锐角时点的位置是解答此题的关键．
首先求出点，以及顶点的坐标，若以为直径作圆，根据圆周角定理易得出当点在轴上方时，为锐角，那么的长就应该在和之间设为抛物线顶点坐标，且不等于．
【解答】
解：，
令，，解得：，
点，点，
，
，
顶点的坐标为，
，
即；
故选：．
  

7.【答案】 

【解析】解：如图，

“帅”位于点，“马”位于点，
原点在这两个棋子的上方两个单位长度的直线上且在马的左边，距离马的距离为个单位的直线上，两者的交点就是原点，
“兵”位于点．
故选：．
根据“帅”位于点，“马”位于点，可知原点在这两个棋子的上方两个单位长度的直线上且在马的左边，距离马的距离为个单位的直线上，两者的交点就是原点．
本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．
 

8.【答案】 

【解析】解：乙的成绩方差甲成绩的方差，
乙的成绩比甲的成绩稳定，
故选：．
根据方差的意义求解可得．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题通过阅读理解寻找规律，观察可得为非负整数展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是，中间各项系数等于相邻两项的系数和．
本题考查了完全平方公式、展开式；关键在于观察、分析已知数据，找出规律是解决问题的关键．
【解答】
解：，展开式共有项，系数和，
，展开式共有项，系数和，

展开式共有项，系数和为．
所以的展开式中所有系数的和是：
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
在和中，

，
，
在和中，

，
，
，
，
，
，
，故正确；
同法可证：，
，
∽，
∽，故正确；
，
又，
：，故正确；
取的中点，连接、，

正方形的边长为，
，
由勾股定理得，，
，
、、三点共线时，最小，
故正确；
如图，当、重合时，则点是的中点，设与的交于点，

，
∽，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
无法证明平分，故错误，
故选：．
首先证明，，，利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数，等高模型、三边关系一一判断即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，勾股定理，等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，难点在于作辅助线并确定出最小时的情况．
 

11.【答案】 

【解析】解：



．
故答案为：．
直接利用积的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

12.【答案】或 

【解析】解：
由得；
由得；
故原不等式组的解集为．
又因为不等式组的所有整数解的和是，
所以当时，整数解一定是、、，由此可以得到；
当时，整数解一定是、、、、、，则．
故的取值范围是或，
故答案为或．
首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围．
本题主要考查了无理数的估算，是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于的不等式组，临界数和的取舍是易错的地方，要借助数轴做出正确的取舍．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，

四边形为平行四边形，
，
又轴，
为矩形，
，
，
为对角线交点，轴，
四边形为矩形面积为，
反比例函数的图象经过▱对角线的交点，
，
故答案为．
由平行四边形面积转化为矩形面积，在得到矩形面积，应用反比例函数比例系数的意义即可．
本题考查了反比例函数的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，则，


，
又，
，，且，
，
要使最大，必使，且为整数，则，
最大为，
故答案为：．
设，则，再利用能被整除得到与的值，即可求解．
本题以新定义为背景，考查了整式的运算、因式分解，解题的关键是熟练应用“永恒数”的定义计算．
 

15.【答案】解：，
，
，
． 

【解析】把方程两边除以可得到，则利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决本题的关键是把方程变形得到．
 

16.【答案】    
 

【解析】

解：猜想并写出：；
直接写出下列各式的计算结果：
；
；
故答案为：；；；
见答案
【分析】
根据已知等式作出猜想，进而确定出拆项法，利用拆项法求出所求即可．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．  

17.【答案】解：当时，，则，
把代入得，
反比例函数解析式为；
当时，，则，
轴于点，
，
四边形的面积． 

【解析】先利用一次函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
先利用一次函数解析式确定点坐标，根据三角形面积公式，利用四边形的面积进行计算．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
 

18.【答案】解：直线，
当时，，
当时，，
，，
解方程组：得：，
，
答：，，．

解：设，
的面积为，
，
解得：，
，
设直线的函数表达式是，把，代入得：
，
解得：，
，
答：直线的函数表达式是．

答：存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标是或或． 

【解析】把，分别代入直线，即可求出和的值，即得到、的坐标，解由直线和直线的方程组即可求出的坐标；
设，代入面积公式即可求出，即得到的坐标，设直线的函数表达式是，把，代入即可求出直线的函数表达式；
存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，根据菱形的性质能写出的坐标．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，菱形的性质，三角形的面积等知识点，解此题的关键是熟练地运用知识进行计算．此题是一个综合性很强的题目．
 

19.【答案】解：原式




；
原式


． 

【解析】把所求算式乘以，再连续用平方差公式可算出答案；
逆用平方差公式，再求和即可．
本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握平方差公式．
 

20.【答案】解：由图象可知，当点在上运动时，的面积保持不变，
则秒时，点在上．
，
得，
则．
由知秒后点变速，则点已行的路程为；
点路程总长为，第秒时已经走，点还剩的路程为．
当、两点相遇前相距时，
，
解得，
当、两点相遇后相距时，
，
解得，
当或时，、两点相距． 

【解析】本题是双动点问题，解答时应注意分析图象的变化与动点运动位置之间的关系．列关系式时，要考虑到时间的连续性才能直接列出关系式．
根据图象变化确定秒时，点位置，利用面积求；
、两点的关系式都是在运动秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去秒．
以为基础可知，两个点相距分为相遇前相距或相遇后相距，因此分情况列方程求解即可．
 

21.【答案】解：由题意知：，；

当点在上时，有，
点的横纵坐标互为相反数，
．
当点在上时，设，
点的横纵坐标互为相反数，
，即，
解得：，
综上所述：当为秒或秒时，点的横坐标与纵坐标互为相反数．

当点在上时，有；
当点在上时，有点纵坐标为，
横坐标为：
此时，；
当点在上时，有点的横坐标为，
纵坐标为：，
此时，．

如图，，
，
解得：，
，
，
 

【解析】根据平移直接得出结论；
分两种情况：利用点的横纵坐标互为相反数，即可求出的值；
分三种情况：利用点的横坐标或纵坐标已知，再由运动即可得出结论；
先表示出点的坐标，再利用梯形的面积公式建立方程求解即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了平移的性质，梯形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
 

22.【答案】解：：；
，
抛物线解析式为，
抛物线的图象与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，
点，，舍去，，
点，
，
顶点坐标，
如图，当点在点上方时，过点作于，设与轴交于点，

点，点，点，，
点，，，
，，
，
点，点，点，
，，，
，
，
，
，
，
，
又，
点与点重合，
点是直线与抛物线的交点，
，
，，
点；
如图，当点在点下方上，过点作于，在线段的延长线上截取，连接交抛物线于点，

，，
，
，
，
，点，点，
直线解析式为：，
点，
设点的坐标为，
，，，，，
，
，解得，
点坐标为，
，
点，
直线解析式为：，
联立方程组，
解得：或，
点，
综上所述：点的坐标为或；
． 

【解析】

【分析】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合性强，求出是本题的关键．
将点坐标代入解析式可求解；
分两种情况讨论，当点在点上方时，过点作于，设与轴交于点，可得点，，，可得，，，由勾股定理逆定理可得，可求，可得，可得点与点重合，即可求点坐标；
当点在点下方上，过点作于，在线段的延长线上截取，连接交抛物线于点，先求直线解析式，点坐标，由中点坐标公式可求点坐标，求出解析式，联立方程组，可求点坐标；
设直线与的交点为，作于，过点作轴，过点作，连接，，先求出，由轴对称的性质可得，，由“”可证≌，可得，，可求，由轴对称的性质可得点坐标，即可求解．
【解答】
解：抛物线的图象过点，
，
，
故答案为：；
见答案；
如图，设直线与的交点为，作于，过点作轴，过点作，连接，，

点，点，
直线解析式为：，
，，
点坐标为，
点坐标为，
，
由得，
，
，
点关于直线对称的点为，
，，
，
，
又，
，
≌
，，
点的横坐标为，
点，
，
，
点关于直线对称的点为，
，，
，
点，
．
故答案为：．  

23.【答案】解：由题意，，；

的面积不发生变化．
理由：如图，连接、．

四边形是正方形，是正方形的中心，
，，
，
≌，
，
．
的面积是定值，定值为．

当点在线段上，点在线段上时，

由题意：，
解得．

当点、在上时，

由题意：，
解得，
综上所述，或时，的面积为． 

【解析】利用正方形的性质，骨科、、的位置写出坐标即可；
只要证明≌，可得，推出；
分两种情形：当点在线段上，点在线段上时，当点、在上时，分别构建方程即可解决问题；
本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．