精品解析：2023年江西省吉安市青原区思源实验学校中考数学模拟试卷

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2023年江西省吉安市青原区思源实验学校中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设的半径为，若点在直线上，且，则直线与的位置关系为（　）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交或相切
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与圆位置关系可知，若直线与圆相离，圆心与直线上的点不可能等于半径；反之，当直线与圆相交或相切时，直线上总有点到圆心的距离等于半径，从而得到答案．
【详解】解：由题意可知，当的半径为，点在直线上，且，则直线与的位置关系为相交或相切，
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系的综合运用，熟记直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系是解决问题的关键．
2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间有一个小正方形，
故选A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3. 如图，与是的两个外角，若，则等于（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据外角的定义和性质，以及三角形的内角和定理，计算即可．
【详解】解：与是的两个外角，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查外角的性质．熟练掌握三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和，三角形的内角和是是解题的关键．
4. 已知一次函数的图像与轴交于点，且随自变量的增大而增大，则关于的不等式的解集是（　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数图像与性质得到，再由函数图像解不等式的方法步骤，数形结合求解即可得到答案．
【详解】解：一次函数中，随自变量的增大而增大，
，
一次函数的图像与轴交于点，
关于的不等式的解集表示一次函数图像在轴上方的部分（包含与轴交点）所对应的的范围，
关于的不等式的解集是，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图像与性质、用函数图像解不等式等，熟记一次函数图像与性质，掌握利用函数图像求解不等式的方法步骤是解决问题的关键．
5. 二次函数的图象如图所示，则直线的图象不经过（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数的图象可以判定系数a、b、c的正负号，再判定直线的图象不经过的象限．
【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴x=＞0，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∵b＞0，c＜0，
∴一次函数y=bx+c的图象不经过第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系和二次函数图象与系数的关系．掌握二次函数和一次函数的图象及性质是解题的关键．
6. 已知抛物线，过，且对称轴是直线，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向及抛物线与x轴交点横坐标求解．
【详解】∵ a> 0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线经过点(-1， 0)，抛物线对称轴为直线x=1，
∴抛物线经过点(3， 0)，
∴当y>0时，x<-1或x>3.
故选： D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质.
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
7. 如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝72°，则∠DCE＝______°．

【答案】72
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角和为180°再结合补角的性质即可得到∠DCE=∠A．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°
∵∠BCD+∠DCE=180°
∴∠DCE=∠A=72°，
故答案为：72．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和补角性质，掌握圆这些是本题关键．
8. 已知方程的两根分别为，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】将化为，利用一元二次方程根与系数的关系得到，代入求值即可得到答案．
【详解】解：方程的两根分别为，，
，



，
故答案为：．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积是解决问题的关键．
9. 七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板”．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图①是由边长为8cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形（阴影部分）面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】由图可知，七巧板中小正方形的面积为大正方形面积的，先算出大正方形的面积，再计算小正方形的面积．
【详解】解：由图①可知，小正方形的面积是大正方形面积，
因为大正方形的面积为，
所以小正方形（阴影部分）的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了七巧板，熟知七巧板中图形的构成与面积是解题的关键．
10. 线段的长度为且平行与轴，已知点的坐标为，则点的坐标为______ ．
【答案】或##或
【解析】
【分析】根据平行与y轴的直线上的点横坐标相同进行求解即可．
【详解】解：当点B在点A上方时，
∵线段的长度为且平行与轴，点的坐标为，
∴点B的坐标为，即；
当点B在点A下方时，
∵线段的长度为且平行与轴，点的坐标为，
∴点B的坐标为，即；
综上所述，点B的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
11. 如图中，为直角，于，，，_________，__________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出，得到，再解求出即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，正确计算是解题的关键．
12. 如图，在笔直的海岸线上有两个观测点和，点在点的正西方向，．若从点测得船在北偏东的方向，从点测得船在北偏东的方向，则船离海岸线的距离为______．（结果保留根号）

【答案】##
【解析】
【分析】过作于点，如图所示，由题中方向角，在中，，则，在中，，则，由，数形结合列出方程求解即可得到答案．
【详解】解：过作于点，如图所示：

从点测得船在北偏东的方向，
，
在中，，则，
从点测得船在北偏东方向，
，
在中，，则，
，
，即，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查解三角形的实际应用，涉及特殊角度的直角三角形三边关系，熟记等腰直角三角形性质、含直角三角形性质是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共84分．答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. 如图，在中，点、分别在、上，且，与四边形的面积的比为，求的值．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的性质得到，从而得到，再由相似三角形性质：面积比等于相似比的平方得到，从而得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
与四边形的面积的比为，
，解得．
【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，涉及平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
14. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∴或，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
15. 如图，在每个小正方形的边长都是的正方形网格中，的三个顶点都在小正方形的格点上．将绕点旋转得到（点、分别与点、对应），连接，．

（1）请直接在网格中补全图形；
（2）四边形的周长是________________（长度单位）
（3）直接写出四边形是何种特殊的四边形．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）正方形，见解析
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的特点得到点A1、C1，顺次连线即可得到图形；
（2）根据图形分别求出AC、、、的长即可得到答案；
（3）求出AB、AC、BC的长度，根据勾股定理逆定理及中心对称图形得到四边形是正方形，即可求出答案.
【详解】（1）如图，

（2）∵，，， ，
∴四边形的周长=AC+++=,
故答案为：；
（3）由题意得： ，，,
∴AB=BC， ，
∴△ABC是等腰直角三角形，
由（2）得，
∴四边形是菱形，
由中心对称得到，,，
∴等腰直角三角形，
∴,
∴,
∴四边形是正方形.
【点睛】此题考查中心对称图形的作图能力，勾股定理计算网格中线段长度，等腰直角三角形的判定定理及性质定理，勾股定理的逆定理，正方形的判定定理.
16. 反比例函数的图像经过点、．
（1）求这个函数的解析式及的值；
（2）请判断点是否在这个反比例函数的图像上，并说明理由．
【答案】（1），
（2）在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数图像与性质，将点、代入反比例函数列方程求出及的值即可得到答案；
（2）如果点在反比例函数图像上，则将点的坐标代入解析式使等式成立；反之，点不在图像上，则等式不成立，即可得到答案．
【小问1详解】
解：反比例函数的图像经过点、，
，即反比例函数的解析式为，
；
【小问2详解】
解：点在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
由（1）知反比例函数的解析式为，
将代入解析式可知，
点在这个反比例函数的图像上．
【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握待定系数法确定函数关系式、点在图像上等知识是解决问题的关键．
17. 我校的八（1）班教室位于工地处的正西方向，且米，一辆大型货车从处出发，以米/秒的速度沿北偏西度的方向行驶，如果大型货车的噪声污染半径为米：

（1）教室是否在大型货车的噪声污染范围内？请说明理由．
（2）若在，请求出教室受污染的时间是多少？
【答案】（1）是，理由见解析
（2）秒
【解析】
分析】（1）问教室是否在大型货车的噪声污染范围内，其实就是问到的距离是否大于污染半径，如果大于则不受影响，反正则受影响．如果过作于，那么就是所求的线段，在中，的度数容易求得，又已知了的值，那么便可求出，然后进行判断即可；
（2）要求教室受影响的范围，其实就是求的值，在中，的值已经求得，又有的值，那么根据勾股定理的值就能求出了，也就能求出了，然后根据时间路程速度即可得出答案．
【小问1详解】
解：教室在大型货车的噪声污染范围内．
理由如下：
过作于，如图所示：

由题意得，，，
，
教室在大型货车的噪声污染范围内；
【小问2详解】
解：根据题意，在上取，两点，连接，，使，如图所示：

，
为的中点，即，
，
，即影响的时间为．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确的理解题意，把实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键．
18. 从同一副扑克牌中选出张，分为、两组，其中组是三张牌，牌面数字分别为，，；组是四张牌，牌面数字分别为，，，．
（1）将组牌的背面都朝上，洗匀，随机抽出一张，求抽出的这张牌的牌面数字是的概率；
（2）小亮与小涛商定了一个游戏规则：分别将、两组牌的背面都朝上，洗匀，再分别从、两组牌中各随机抽出一张，将这两张牌的牌面数字相加，若和为偶数，则小亮获胜；若和为奇数，则小涛获胜．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
【答案】（1）
（2）公平，过程见解析
【解析】
【分析】（1）根据一步概率问题求解方法，直接利用概率公式求解即可得到答案；
（2）根据两步概率问题求解方法，采用列举法得出可能得结果数，利用概率公式求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：组是三张牌，牌面数字分别为，，，
将组牌的背面都朝上，洗匀，随机抽出一张，求抽出的这张牌的牌面数字是的概率为；
【小问2详解】
解：列表如下：
A B
5
6
7
8
1
6
7
8
9
2
7
8
9
10
3
8
9
10
11
由表可知，共有12种等可能得结果，其中奇数有6种，偶数有6种，
（小亮获胜）；（小涛获胜）；
（小亮获胜）（小涛获胜），
答：这个游戏规则对双方公平．
【点睛】本题考查概率综合，涉及一步概率问题及两步概率问题，熟练掌握概率公式及列举法求概率是解决问题的关键．
19. 如图，是半圆的直径，是半圆上不同于，的一点，作，过点作于点，的延长线与的延长线相交于点．

（1）求证：是半圆所在圆的切线；
（2）若，，求．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】
【分析】（1）连接，根据，得出，由，得到，可得，由，得出，即可得证．
（2）证明，得出，根据，，解方程得出．
【小问1详解】
如图，连接，

∵，
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴是半圆所在圆切线；
【小问2详解】
解：连接，

∵
∴，
∵是的直径
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即
解得：（负值舍去）
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的性质与判定，掌添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
20. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为，过点作交边于点，以为一边作正方形，使点落在射线上，连、，设运动时间为（单位：）

（1）用含的代数式表示与长；
（2）若与的面积之比为，求出的值；
（3）在运动过程中，是否存在的值，使得与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）1 （3）或
【解析】
【分析】（1）先由矩形的性质得到，利用勾股定理求出，进而得到，再由正方形的性质得到，然后解即可得到答案；
（2）如图所示，过点M作于H，先求出，再由正方形的性质得到，则，证明，解直角三角形求出，进而求出，再由与的面积之比为，得到，解方程即可得到答案；
（3）分如图2所示，当时，只存在，如图3所示，当时，只存在，两种情况求出的比值，然后代值计算即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
小问2详解】
解：如图所示，过点M作于H，
由（1）得，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵与的面积之比为，
∴，
解得；
【小问3详解】
解：由（2）得，，
∵，
∴，
∴当与相似时，只存在或这两种情况；
如图2所示，当时，只存在，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；

如图3所示，当时，只存在，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
综上所述，t的值为或．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
21. 某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目．
（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率．
（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：
考生
自选项目
长跑
掷实心球
小红
95
90
95
小强
90
95
95

①补全条形统计图．
②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．
【答案】（1）；（2）①条形统计图见解析；②小红和小强的成绩分别为93.5和92.5．
【解析】
【分析】（1）用列表法求概率即可；
（2）①根据统计表补全条形统计图；②用加权平均数分别计算出小红和小强的成绩即可．
【详解】解：（1）根据题意小红和小强自选项目情况如下表所示：

乒乓球
篮球
羽毛球
乒乓球
乒乓球，乒乓球
篮球，乒乓球
羽毛球，乒乓球
篮球
乒乓球，篮球
篮球，篮球
羽毛球，篮球
羽毛球
乒乓球，羽毛球
篮球，羽毛球
羽毛球，羽毛球
由上表可知，小红和小强自选项目选择方式有9种情况，小红和小强自选项目相同的情况有
3种，故小红和小强自选项目相同的概率为；
（2）①补全条形统计图如图所示：

②小红的体育中考成绩为：95×50%+90×30%+95×20%=93.5；
小强的体育中考成绩为：90×50%+95×30%+95×20%=92.5；
答：小红和小强的成绩分别为93.5和92.5．
【点睛】本题主要考查了用列表法求概率、画条形统计图以及加权平均数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
22. 数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价（元/件）
100
110
120
130
…
月销量（件）
200
180
160
140
…

已知该运动服的进价为每件60元．
（1）销售该运动服每件的利润是多少元；（用含的式子表示）
（2）求月销量与售价的关系式；
（3）设销售该运动服的月利润为元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）（x - 60）元；（2）y=-2x + 400；（3）售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元
【解析】
【分析】（1）根据利润＝售价﹣进价求出利润；
（2）运用待定系数法求出月销量y与售价x的一次函数关系式即可；
（3）根据月利润＝每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．
【详解】解：（1）每件的利润是（x - 60）元；
（2）设y=kx + b，则有，解得，
∴y=-2x + 400；
（3）依题意可得：
s= （x - 60）×（-2x + 400）= -2x2 + 520x – 24000 = -2（x-130）2 + 9800 ，
当x=130时，s有最大值9800，
所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，一次函数的运用以及解一元二次方程，掌握待定系数法求函数解析式和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关键．
23. 某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，喷出的水柱轨迹呈现抛物线型．据此建立平面直角坐标系，如图．若喷出的水柱轨迹上某一点与支柱的水平距离为x（单位：m），与广场地面的垂直高度为y（单位：m）．下面的表中记录了y与x的五组数据：

0
2
6
10

3




根据上述信息，解决以下问题：
（1）求出与之间的函数关系；
（2）求水柱落地点与雕塑的水平距离；
（3）为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的形状不变的前提下，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在到之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度和b的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
（3）水柱的最大高度，的取值范围为．
【解析】
【分析】（1）设与之间的函数关系为，代入，，，利用待定系数法求解即可；
（2）令，则，求解方程取满足实际要求得值即可；
（3）．由题意可知：不变，即，且的位置不变，即，设，把代入解得，易知，当最小时，即时，代入水柱有最大高度为的值即可．
【小问1详解】
解：设与之间的函数关系为，
代入，，，得：
，解得：，
∴设与之间的函数关系为；
【小问2详解】
令，则，即：；
∴，
∴（舍）或，
∴水柱落地点与雕塑的水平距离为；
【小问3详解】
由在喷出水柱轨迹的形状不变的前提下，可知：
不变，即，且的位置不变，即，
设，
把代入得，，解得，把代入得，，解得,
∵把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在到之间，
∴，
当最小时，即时，即水柱有最大高度为，
∴水柱的最大高度，的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理清题中的数量关系并用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键．