2022-2023学年甘肃省兰州市第二十八中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省兰州市第二十八中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.

【详解】由题得双曲线的方程为，所以，

所以渐近线方程为．

故选：D

2．若△ABC的三内角A、B、C成等差数列，则必有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由等差中项得到，结合三角形内角和等于180°，列出方程，求出.

【详解】因为三角形三内角A、B、C成等差数列，

所以，

又因为，

所以，解得：.

故选：C

3．小陈准备将新买的《尚书·礼记》、《左传》、《孟子》、《论语》、《诗经》五本书立起来放在书架上，若要求《论语》、《诗经》两本书相邻，且《尚书·礼记》放在两端，则不同的摆放方法有（    ）

A．18种 B．24种 C．36种 D．48种

【答案】B

【分析】先将《论语》、《诗经》两书捆绑，然后排好《尚书·礼记》，再排好剩余3个位置，最后排《论语》、《诗经》，根据分步乘法，即可求得结果.

【详解】先将《论语》、《诗经》两书捆绑看作一个整体，则可以看作共4个位置.

先排《尚书·礼记》，排法种数为；然后剩余3个位置全排列，排法种数为；最后排好《论语》、《诗经》，两书的排法种类为.

所以，不同的摆放方法有种.

故选：B.

4．若直线与直线平行，则的值为（    ）

A． B．3 C．3或 D．或6

【答案】B

【分析】由两直线平行得到方程，求出或，通过检验舍去不合要求的解.

【详解】直线：与直线：平行，

所以，解得：或，

①当时，：，：，，符合题意；

②当时，：，：，均为，此时，重合，舍去，

故，

故选：B

5．已知的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是（    ）

A．252 B． C．210 D．

【答案】B

【分析】求解先求出n，在利用通项公式求解

【详解】由的展开式中二项式系数的和是1024，故，所以．

由二项式定理得展开通项为，

当时为常数项，

故选：B

6．在平面直角坐标系内，到点和直线的距离相等的点的轨迹是（    ）

A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线

【答案】A

【分析】利用轨迹方程的求解方法直接列方程求解.

【详解】设到点和直线的距离相等的点为，

依题意得，两边平方化简得，

即到点和直线的距离相等的点的轨迹方程为，为一条直线，

故选:A.

7．已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程.

【详解】如图，由题意得：，，其中，

所以，

由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，

则，解得：，

故动圆圆心M的轨迹方程为.

故选：D

8．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.

【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，

直线，整理为，

原点O到直线距离为，

故选：B

二、多选题

9．已知直线l经过点和，则下列说法正确的是（    ）

A．直线l在两坐标轴上的截距相等 B．直线l的斜率为1

C．原点到直线l的距离为 D．直线l的一个方向向量为

【答案】BCD

【分析】由直线l经过的两点坐标，可以求出直线的斜率，直线的方程，利用直线的方程判断选项的正误.

【详解】直线l经过点和，所以直线的斜率，B正确，

易得直线的方程为，即，

令，得，即纵截距为1，令，得，即横截距为-1，A错误，

原点到直线l的距离，C正确，

因为，所以是直线l的一个方向向量.

故选：BCD.

10．关于，的方程表示的曲线可以是（    ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

【答案】ABD

【分析】根据椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义及方程判断.

【详解】根据椭圆的定义，若即，

方程表示焦点在 轴上的椭圆，所以A正确；

若，即，则方程表示焦点在 轴上的双曲线，

所以B选项正确；

因为方程中既有又有，则方程不能表示抛物线，

所以C错误；

当即时方程为表示圆，

所以D正确.

故选:ABD.

11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（    ）

A．若任意选择三门课程，则选法种数为35

B．若物理和化学至少选一门，则选法种数为30

C．若物理和历史不能同时选，则选法种数为30

D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为20

【答案】ACD

【分析】A选项，直接利用组合知识进行求解；

B选项，分物理和化学选一门和物理、化学都选，两种情况下利用组合知识求出选法，求和即可；

C选项，先求出物理和历史同时选的选法，从而求出物理和历史不能同时选的选法；

D选项，只选物理，不选化学，只选化学，不选物理，物理、化学都选，三种情况下的选法求和即可.

【详解】对于A，选法种数为，故A正确．

对于B，若物理和化学选一门，其余两门从剩余的五门中选，有种选法；若物理和化学都选，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法．故共有种选法，故B错误．

对于C，物理和历史同时选，有种选法，故不同时选的选法种数为，故C正确．

对于D，只选物理，不选化学，则历史也不选，有种选法；只选化学，不选物理，有种选法；若物理、化学都选，则历史不选，有种选法．故共有种选法，故D正确．

故选：ACD．

12．为了迎接二十大的召开，我国全体航空人以昂扬的精神面貌、实际行动，践行“航空报国，航空强国”的初心使命.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（    ）

A．椭圆的长轴长为

B．线段长度的最大值为

C．的周长为

D．不算椭圆在轴上的端点，轴上方椭圆上存在2个点，使得

【答案】ABC

【分析】根据给定的条件，求出椭圆的短半轴长，半焦距，求出长轴长判断选项A；求出长度范围判断选项B；利用椭圆的定义求出焦点三角形周长判断选项C；计算判断选项D即可求解.

【详解】由题意可知：半圆所在椭圆的半焦距，短半轴长，得出长半轴长，则椭圆的长轴长为，故选项A正确；

因，，因此，故选项B正确；

因点是椭圆的两个焦点，则的周长为：，故选项C正确；

由题意，显然，在中，

，所以不可能为直角，不算椭圆在轴上的端点外，轴上方椭圆上不存在点，使得，故选项错误，

故选：ABC.

三、填空题

13．直线，，若，则______.

【答案】2或

【分析】根据两条直线相互垂直列方程，从而求得的值.

【详解】由得，得或.

故答案为：2或

14．设等差数列的前项和为，已知，则__________．

【答案】80

【分析】由等差数列的性质与前n项和公式求解，

【详解】由可得，则．

故答案为：80

15．已知二项式，在其展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．

【答案】

【分析】根据二项式系数的性质，可知第4项二项式系数最大，写出展开式的第4项即可得到.

【详解】由题意知，.根据二项式系数的性质可得，第4项二项式系数最大.

，所以展开式中二项式系数最大的项的系数为-160.

故答案为：-160.

16．已知抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合，与的公共点为M，N，且，则的离心率是_____________．

【答案】##

【分析】根据抛物线和双曲线的对称性可得，，且，利用双曲线的定义可得的值，进而求解.

【详解】因为与交于点M，N，所以M，N关于x轴对称，所以，所以．

因为，所以轴.记椭圆的另一焦点为，

所以，所以，

所以．

故答案为：.

四、解答题

17．求解下列问题：

(1)求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

(2)求焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程．

【答案】(1)长轴长，短轴长，离心率，焦点，顶点.

(2)

【分析】（1）先将椭圆方程转化为标准方程，从而求得正确答案.

（2）根据已知条件求得，由此求得正确答案.

【详解】（1）椭圆可化为，

所以，

所以长轴长，短轴长，离心率，

焦点，顶点.

（2）依题意，

，，

由于双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为.

18．有5名同学站成一排拍照．

(1)若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？

(2)若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？

【答案】(1)48

(2)42

【分析】（1）捆绑法进行求解；（2）分甲排左端和乙排左端两种情况进行求解，再求和即可.

【详解】（1）将甲乙捆绑在一起，故方法数有种．

（2）如果甲排左端，则方法数有种；

如果乙排左端，则方法数有种．

故总的方法数有种．

19．已知直线，圆.

(1)证明:直线与圆相交；

(2)设与的两个交点分别为A、，弦的中点为，求点的轨迹方程.

【答案】(1)证明过程见解析

(2)

【分析】（1）求出直线恒过点，而在圆内，故证明出结论；

（2）联立直线与圆的方程，设出，得到两根之和，两根之积，进而表达出点的坐标为，消去参数，求出点的轨迹方程，注意去掉原点.

【详解】（1）恒过点，

又，所以点在圆内，

所以直线与圆相交；

（2）联立与得：，

设，

则，，

，

故，，

所以点的坐标为，

令，，两式相除可得：，

代入中，消去可得，，

由于，故，即去除原点，

则点的轨迹方程为：.

20．已知等差数列前项和为，再从条件①､条件②､条件③选择一个作为已知，求：

(1)数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

条件①；条件②；条件③.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)选①，②，③可以直接利用等差数列的性质转化为首项和公差的方程组，

求出首项和公差即可求出通项公式.

(2)将第一问结论代入通项公式，再利用裂项相消即可求出.

【详解】（1）设等差数列首项，公差，

选条件①：由已知，得

，解得，故，

选条件②：由已知，得，解得，

，

选条件③：由已知，则，所以，

解得，即，

综上所述，数列的通项公式为

（2）由(1)问的结论代入，

则，

所以数列的前项和.

21．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点．

(1)若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；

(2)设，，若的斜率存在，且，求的斜率．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由离心率公式和的关系式，即可求出结果；

(2)求出右焦点的坐标，设出直线方程，与双曲线方程联立，消元，运用韦达定理结合已知条件，即可求出直线的斜率.

【详解】（1）由题意可知：，，解得：，

所以双曲线的方程为，故双曲线的焦点坐标为：.

（2）因为，，所以双曲线方程为，可得，

设的方程为：，，则直线的斜率为：，

联立直线与双曲线的方程，消去可得：，

因为直线与双曲线有两个交点，则且，即，

可得：，则，

，，由可得，

，

即，将代入可得：

，即，解得：，

解得：，即直线的斜率为.

22．已知点与，动点满足直线，的斜率之积为，则点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)若点在直线上，直线，分别与曲线交于点，，求与面积之比的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意列出方程，整理后得到曲线的方程，去掉不合要求的点；

（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，得到点横坐标，同理设出直线的方程，联立椭圆方程，得到点横坐标，利用三角形面积公式及边的比例关系得到，利用基本不等式求出结果.

【详解】（1），

，

化简得，

当位于轴上时，此时直线，的斜率均不存在，不合题意，舍去

故曲线的方程为；

（2）设，则直线的方程为，

联立得：，

，

直线的方程为，

联立，得，

.

故

，

当且仅当时等号成立.

最大值为.

【点睛】直线与圆锥曲线结合，求解面积相关的取值范围问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，得到相关三角形的面积，再利用配方法，分离常数或基本不等式等方法求解最值或取值范围，本题要将三角形面积之比转化为线段之比，再转化为相应横坐标或纵坐标的差之比，结合基本不等式进行求解.