2022-2023学年甘肃省兰州市外国语高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省兰州市外国语高级中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是（    ）

A．45°，1 B．135°，－1

C．90°，不存在 D．180°，不存在

【答案】C

【分析】由倾斜角和斜率的定义即可得到答案.

【详解】由倾斜角和斜率的定义可知，直线AB的倾斜角为90°，而当倾斜角为90°时，斜率不存在．

故选：C.

2．点到直线的距离大于5，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用点到直线的距离公式列不等式即可求得.

【详解】因为点到直线的距离大于5，

所以，解得：或，

所以实数的取值范围为.

故选：B

3．若圆的圆心在直线上，则与的关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，即可得到、的关系．

【详解】解：圆的圆心坐标是，圆的圆心在直线上，所以，即．

故选：C．

4．已知直线的方程是，的方程是（，），则下列各图形中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】有条件知，两直线的斜率均存在且不为0，写出它们的斜截式方程后再进行判断．

【详解】解：，直线与直线的斜率均存在

直线的斜截式方程为；直线的斜截式方程为

对于A选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应小于0，直线的纵截距应小于0，故A图象不符合；

对于B选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应小于0，故B图象不符合；

对于C选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故C图象不符合；

对于D选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故D图象符合．

故选：D．

二、多选题

5．（多选题）下列说法中，正确的有（    ）

A．已知直线：，始终过定点

B．直线在轴上的截距是

C．直线的倾斜角为30°

D．过点并且倾斜角为90°的直线方程

【答案】ABD

【分析】代入验证可判定A;根据纵截距的定义可判定B；根据直线的斜率与倾斜角的关系可以判定C；根据倾斜角为90°的直线斜率不存在，方程为的形式，进而可以判定D.

【详解】∵,可知A正确；

由直线的斜截式方程可知，B正确；

由方程可得直线的斜率为，可知倾斜角为60°，故C错误；

根据倾斜角为90°的直线斜率不存在，方程为的形式，再根据经过点(5,4),∴直线的方程为，故D正确.

故选：ABD.

6．（多选题）下列直线中，一定与直线平行的是（    ）

A． B．

C．（） D．（）

【答案】AD

【分析】利用直线平行的条件进行判定.

【详解】即；

即；

（）即；

（）即.

令，解得,令,得,无解.

当两直线方程中的系数对应相等时，两直线平行的充分必要条件是其常数项不相等，

故AD中的直线与已知直线平行，C中的直线可能与已知直线重合，

B中的直线与已知直线的对应不成比例，故而不平行.

故选：AD.

7．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可.

【详解】当截距为0时，过点和原点，直线方程为，即，

当截距不为0时，设直线方程为，可得，

∴，所以直线方程为,

故选：AC.

三、填空题

8．直线过点P(1，2)，且它的一个方向向量为(2，1)，则直线l的一般式方程为__________．

【答案】

【分析】先由直线的方向向量求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程，然后化为一般式即可.

【详解】因为直线的一个方向向量为(2，1)，

所以直线的斜率为，

因为直线过点P(1，2)，

所以直线为，即，

故答案为：

9．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________.

【答案】

【分析】通过直线平行求出，然后利用平行线之间的距离求出结果即可．

【详解】直线与直线平行，

所以，

直线与直线的距离为

．

故答案为：．

10．已知点M(5+1，)在圆(x-1)2+y2=26的内部，则a的取值范围是_____.

【答案】

【解析】求出圆心坐标和半径，由点与圆的位置关系即可得关于a的不等式，进而可求出a的取值范围.

【详解】由题意知，圆心坐标为，半径为，则，

解得0≤a<1.

故答案为: .

【点睛】本题考查了已知点与圆的位置关系求参数的取值范围，考查了已知圆的标准方程求圆心和半径，属于基础题.本题的易错点是忽略.

11．已知点，，，若经过点的直线与线段（含端点）总有交点，则的倾斜角的取值范围是_______．

【答案】

【分析】根据斜率公式，结合数形结合思想进行求解即可.

【详解】

如上图所示：，，设直线的倾斜角为，

要想点的直线与线段（含端点）总有交点，

只需，

故答案为：

12．若三点，，，（）共线，则的值等于___________.

【答案】##0.5

【分析】由三点共线，利用斜率的公式可得，进而可求目标式的值.

【详解】由题意知，直线的斜率存在，则.

由得：，即，又，

∴.

故答案为：

四、解答题

13．已知直线与直线相交于点，且点在直线上．

(1)求点的坐标和实数的值；

(2)求与直线平行且与点的距离为的直线方程．

【答案】(1)P(-2，-1)；a=2

(2)或

【分析】（1）由题意，联立直线方程，求交点，再将点代入含参直线方程，求得答案；

（2）由（1）明确直线方程，根据平行，设出所求直线方程，利用点到直线距离公式，可得答案.

【详解】（1）所以联立，解得：P(-2，-1)．

将P的坐标(-2，-1)代入直线中，解得a=2．

（2）由（1）知直线，设所求直线为．

因此点P到直线l的距离，解方程可得c=5或-5，

所以直线的方程为或．

14．过点作动直线与圆交于，两点.

（1）求圆的半径和圆心的坐标；

（2）若直线的斜率存在，求直线的斜率的取值范围.

【答案】（1）半径，圆心坐标是；（2）.

【分析】（1）通过配方把圆化成标准方程，可得圆心和半径;

(2)直线与圆相交，利用几何法，转化为圆心到直线的距离小于半径进行求解.

【详解】（1）圆化成标准方程是：，

所以圆的半径是，圆心坐标是；

（2）由题意可设直线的方程是：，即，

因为直线与圆有两个不同交点，

所以有：圆心到直线的距离，即，

解得或，

所以直线的斜率的取值范围是.

15．已知的顶点，，.

(1)求边上的高所在直线的方程；

(2)求的外接圆方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知可求得所在直线的斜率，求出高线的斜率，从而可求直线方程；

（2）设出圆的方程，将三个顶点的坐标代入圆方程，求出参数的值，即得到的外接圆的方程．

【详解】（1）解：由已知可求得所在直线的斜率，

所以边上的高线的斜率为：，

所以边上的高线所在直线方程为：，

整理得：．

（2）解：设的外接圆的方程为

解得，，，

∴的外接圆的方程为

即的外接圆的方程．

16．圆的方程为，圆的圆心.

(1)若圆与外切，求的方程，并求公切线方程；

(2)若圆与圆交于，两点，且，求圆的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）通过圆心距对于半径和，求出圆的半径，即可求出圆的方程，两圆方程相减，即得两圆内公切线的方程．

（2）利用圆心距与写出的故选求出，圆到直线的距离，然后求出所求圆的半径，即可求出圆的方程．

【详解】（1）解：圆的方程为，圆心坐标，半径为：2，

圆的圆心．

圆心距为：，圆与圆外切，

所求圆的半径为：，

圆的方程，

两圆方程相减，即得两圆内公切线的方程为．

（2）解：圆与圆交于、两点，且．

所以圆到的距离为：，

当圆到的距离为：，圆的半径为：．

圆的方程：．

当圆到的距离为：，圆的半径为：．

圆的方程：．

综上：圆的方程：或．

17．已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：

(1)动点的轨迹方程；

(2)过圆的圆心作动点的轨迹的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，则，又，代入即可求解；

（2）当斜率不存在时显然不符合题意，当斜率存在时可设切线，由圆心到直线的距离等于半径求出斜率，即可求解

【详解】（1）设，由中点坐标公式可得，

所以，

又点在圆：上，

所以，

将代入得，

即，

所以动点的轨迹方程为；

（2）因为圆的圆心为，

当斜率不存在时，过点的直线为与圆不相切；

当斜率存在时，设所求切线方程为即，

则题意可知，

解得，

所以所求切线方程为：

综上可知：过圆的圆心作动点的轨迹的切线方程为

18．已知直线.

(1)若直线不能过第三象限，求的取值范围；

(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．

【答案】(1)

(2)的最小值为，此时直线的方程为

【分析】（1）分、两种情况讨论，在时直接验证即可；在时，求出直线与两坐标轴的交点坐标，根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围；

（2）求出点、的坐标，求得，利用基本不等式结合三角形的面积公式可求得的最最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.

【详解】（1）解：由，

当时，直线的方程为，此时直线不过第三象限，合乎题意；

当时，在直线的方程中，令，可得，

令，可得，

若直线不过第三象限，则，解得.

综上所述，.

（2）解：由（1）可知，，

又在轴负半轴，在轴正半轴，所以，，可得.

，当且仅当时等号成立，

所以，的最小值为，此时直线的方程.

19．已知圆C：，圆C1：，以及直线l：．

(1)求圆C1：被直线l截得的弦长；

(2)当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；

(3)是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)；

(3)这样的圆不存在．

【分析】（1）根据直线和圆相交的弦长公式即可求圆C1：被直线l截得的弦长；

（2）求出两圆的公共弦结合直线平行的条件即可求出直线l；

（3）先判断出点P在以AB为直径的圆上，表示出以AB为直径的圆，建立方程组，利用m无解即可得到结论

【详解】（1）因为圆C1：的圆心，半径

所以，圆心O到直线l：的距离d：

由勾股定理可知：

圆C1：被直线l截得的弦长为．

（2）圆C与圆C1的公共弦方程为

因为该公共弦平行于直线，

则

解得：

经检验符合题意，故所求

（3）假设这样实数m存在．

设弦AB中点为M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|

所以点在以弦AB为直径的圆上．

设以弦AB为直径的圆方程为：

圆心坐标为：

则

由可得：

因为

所以方程无实数根

所以，假设不成立，即这样的圆不存在．