2022-2023学年甘肃省兰州市第六十一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

兰州市第六十一中学2022-2023学年第一学期期末考试

高一年级数学

一、单选题（每题5分，共60分）

1. 的值等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】把所求式子中的角变为，然后利用诱导公式变形，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．

【详解】解：．

故选：．

2. 设函数，则（    ）

A. 10 B. 9 C. 7 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】依据分段函数的解析式，将9代入计算函数值.

【详解】．

故选：C.

3. 一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为(　　)

A. y＝50x(x>0) B. y＝100x(x>0)

C. y＝(x>0) D. y＝(x>0)

【答案】C

【解析】

【分析】利用梯形的面积公式列方程，化简可求得高关于上底长的函数式.

【详解】由梯形的面积公式得，化简得.故选C.

【点睛】本小题主要考查函数的表示方法，考查梯形的面积公式，解题过程中要注意上底长是正数.属于基础题.

4. 已知，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将分式化为整式后可得的值.

【详解】因为，故即，

若，则，与平方和为1矛盾，

故即，

故选：D.

5. 已知为第三象限角，则下列判断正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据为第三象限角，由三角函数在象限的正负，判断选项.

【详解】是第三象限角，，，，故AB不正确；

，故C不正确；

，故D正确.

故选：D

6. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】比较大小，可先与常见的常数进行比较，然后根据函数的单调性进行比较大小

【详解】

则有：

故有：

故选：D

7. 下列命题是真命题的是（    ）

A 若.则 B. 若，则

C 若，则 D. 若，，则

【答案】D

【解析】

【分析】根据不等式的性质可判断选项A，D；通过举反例可判断选项B，C.

【详解】当时，若，则，故选项A错误；

当时，满足，但，故选项B错误；

当时，满足，但，故选项C错误；

若，，则由不等式的可加性得，即，选项D正确.

故选：D.

8. 若函数的部分图象如图所示，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由图象中点的坐标，可确定斜率求出；由图象结合三角函数的周期性，求出，再由最小值点可求出.

【详解】由题意可得，；

由图象可得，函数的周期为，则；

所以当时，，又，所以，

则，所以，

又，所以.

故选：D.

9. 若函数的定义域为，则函数 的定义域为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.

【详解】解：因为函数的定义域为，

对于函数，则，解得，

即函数的定义域为.

故选：C

10. 如果方程的解为，则实数的值分别是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将两根代入二次方程，待定系数求解即可

【详解】由题意，方程的解为，

故，

解得.

故选：A

11. 已知定义在上的奇函数满足：当时，，则=（　　）

A. 2 B. 1 C. -2 D. -1

【答案】C

【解析】

【分析】

由为奇函数，结合已知区间的解析式即可求时的解析式，进而求即可.

【详解】∵在上是奇函数，

∴令，则，

由题意，有，

∴，故，

故选：C

【点睛】关键点点睛：利用函数奇偶性，求对称区间上的函数解析式，然后代入求值.

12. 已知，则函数的最小值为（    ）．

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

【答案】B

【解析】

【分析】由题意得，则，然后利用基本不等式可求得结果

【详解】由于，则，

故

当且仅当，即时取到等号，

因此的最小值为6．

故选：B

二、填空题（每题5分，共20分）

13. 函数的最大值是___．

【答案】.

【解析】

【分析】根据正弦函数的图象与性质，得到，即可求解.

【详解】由正弦函数的图象与性质，可得，

所以函数的最大值为.

故答案为：.

14. 的值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由诱导公式和指数运算和对数运算法则计算出答案.

【详解】

.

故答案为：

15. 不等式的解集为，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得恒成立，分别对，，讨论，

结合二次不等式、二次函数图像与性质即可求出答案.

【详解】由不等式的解集为等价于恒成立，

当时，成立，符合条件；

当时，根据二次函数图像开口向上，肯定会有函数值大于0，故不符合；

当时，只需让，解得，

综上所述，a的取值范围为，

故答案为：

16. 已知函数是定义在上的偶函数，且对区间上的任意，，当时，都有．若实数满，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系建立不等式，解之可得答案.

【详解】因为对区间上的任意，，当时，都有，所以函数在上单调递减，

又函数是定义在上的偶函数，所以函数在上单调递增，实数满，所以，

两边平方得，解得，

故答案为：.

三、解答题

17. 已知角的终边上一点，求正弦，余弦、正切三个函数值.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

分和两种情况讨论，利用三角函数的定义可求出、和的值.

【详解】当时，，

，；

当时，，

，.

综上所述，当时，，，；

当时，，，.

【点睛】本题考查利用三角函数的定义求三角函数值，解题时要注意对实数的符号进行分类讨论，考查计算能力，属于基础题.

18. 已知函数.

（1）求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据定义域选择对应分段函数求值；

（2）分别讨论、即可

【小问1详解】

，

.

【小问2详解】

当时，，解得或（舍）；

当时，，无解.

.

19. 对下列式子化简求值

（1）求值：;

（2）已知（且）,求的值.

【答案】（1）28    （2）

【解析】

【分析】(1)根据指数运算进行化简求值;

(2)对原式进行平方化简得到之后,再平方可得到,化简即可.

【小问1详解】

解:原式

.

【小问2详解】

解:,

,

,

20. 已知函数的定义域为A，集合.

（1）求集合A；

（2）设，若，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）令真数，再解一元二次不等式即可.

（2）先求出，再利用即可求出.

【详解】（1）令，∴，∴，

∴集合.

（2）集合，∴，

∵，∴，

∴实数a的取值范围.

21. 已知函数.

（1）求该函数的定义域；

（2）求该函数单调区间及值域.

【答案】（1）   

（2）单调递增区间为；单调递减区间为；值域为

【解析】

【分析】（1）令，解不等式即可求得定义域；

（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得，结合对数函数单调性可求得值域.

【小问1详解】

由得：，的定义域为.

【小问2详解】

令，在上单调递增；在上单调递减；

又在上单调递减，

的单调递增区间为；单调递减区间为，

，，

的值域为.

22. 如图，直角坐标系建立在湖泊的某一恰当位置，现准备在湖泊的一侧修建一条观光大道，它的前一段是以为圆心，为半径的圆弧，后一段是函数，时的图像，图像的最高点为.

（1）求函数的解析式；

（2）若在湖泊内修建如图的矩形水上乐园，其中折线为水上赛艇线路，问点落在圆弧上何处时赛艇线路最长？

【答案】（1），；（2）当点坐标为时赛艇线路最长.

【解析】

【分析】（1）由图可知，，即可求出，将代入可求；

（2）求出的坐标，连接，设，将赛艇线路长表示为关于的三角函数形式，即可根据三角函数性质求解.

【详解】（1）由图象知，，即，则，

将代入，则，

则，又，，

所以，；

（2）在中令，得，∴.

连接，设，，则.

设赛艇线路长为，则，

当时，有最大值，此时.

所以当点坐标为时赛艇线路最长.