2021-2022学年陕西省榆林市横山中学高二下学期期中教学检测数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省榆林市横山中学高二下学期期中教学检测数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数（i为虚数单位）的共轭复数为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先得到，从而利用复数乘法法则计算出答案.

【详解】由题意得：，故.

故选：C

2．用反证法证明“是无理数”时，正确的假设是（    ）

A．不是无理数 B．是整数

C．不是有理数 D．是实数

【答案】A

【分析】从“反证法”的定义入手考虑题设.

【详解】“反证法”就是从命题的反面即否定形式推导出否命题时不成立的，“ 是无理数”的否定是“ 不是无理数”；

故选：A.

3．一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（    ）

A．4 B．12 C．15 D．21

【答案】B

【分析】由瞬时变化率的定义，代入公式求解计算.

【详解】由题意，该质点在时的瞬时速度为.

故选：B

4．已知函数在处的导数为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由导数的定义和极限的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】由导数的定义和极限的运算法则，可得：

.

故选：A.

5．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据图像和导数的几何意义即可判断得解.

【详解】从函数的图像可知，函数值的增长越来越快，故函数在该点的斜率也越来越大.

因为，所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查导数的几何意义和函数的变化率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.

6．A，B，C，D四人并排站成一排，如果A与B相邻，那么不同的排法共有（    ）

A．24种 B．12种 C．48种 D．36种

【答案】B

【分析】利用捆绑法进行求解.

【详解】先安排A，B，共有种方法；

再把他们看作一整体，与其他人一起安排，共有种方法；

所以不同的排法共有种.

故选：B.

7．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（    ）

A．在区间上，是增函数 B．在区间上，是减函数

C．为的极小值点 D．2为的极大值点

【答案】D

【分析】利用函数与导函数的关系及其极值的定义即可求解.

【详解】由导函数的图像可知，

在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，则选项不正确；

在区间上，，则是增函数，则选项不正确；

由图像可知，且为单调递增区间，为单调递减区间，则为的极大值点，则选项不正确；

由图像可知，且为单调递增区间，为单调递减区间，则为的极大值点，则选项正确；

故选：D.

8．已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，丙每隔3天去一次.若3月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（    ）

A．3月28日 B．3月27日 C．3月26日 D．3月25日

【答案】C

【分析】三人各自去锻炼的日期实际上是等差数列，利用等差数列知识进行求解.

【详解】由题意，三人各自去锻炼的日期分别是等差数列，公差分别为2,3,4，最小公倍数为12，

所以下一次三人都去锻炼的日期是3月26日.

故选：C.

9．定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.若在上是“弱减函数”，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意只需在上是减函数，利用导数说明的单调性，即可得到，从而求出参数的取值范围.

【详解】解：对于，则在上单调递增，

易知，

在上是“弱减函数”，

在上是减函数，且在上是增函数，

易知在上是增函数显然成立，

故只需在上是减函数，

，

故当时，，当时，，

故在上单调递减，

故，

故，即；

故选：C

10．设，，，…，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件求得的规律，从而确定正确选项.

【详解】，，

，，

，……，以此类推，

，所以.

故选：B

11．若函数在内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求定义域，求导，分和两种情况，结合函数单调性，求出，得到答案.

【详解】定义域为，

，，

当时，恒成立，故函数在上单调递减，不合题意，舍去；

当时，令，解得：，令，解得：，

故在上单调递增，在上单调递减，

因为在内存在单调递增区间，

所以，故实数a的取值范围是.

故选：A

12．设函数是偶函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的形式构造函数，利用导数的性质，结合函数的奇偶性和单调性进行求解即可.

【详解】令，则，

∵，∴，∴在上为减函数，

又∵，

∴函数为定义域上的奇函数，在上为减函数.

又∵，∴，

∴不等式，

∴，或，，

∴，或，

∵成立的x的取值范围是，

故选：D

二、填空题

13．已知函数f（x）的导函数为，且（e是自然对数的底数），则等于___________.

【答案】

【分析】由题意可得，再将代入求解即可.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

所以.

故答案为：.

14．某高校有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机从这4名志愿者中选出3名分别参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则不同的选派方案共有___________种.

【答案】24

【分析】考虑人事安排的过程，再根据计数原理计算.

【详解】人事安排的过程为：先从4人中选3人，在将这3人安排到冰壶，短道速滑，花样溜冰中，

则安排的方法有： ；

故答案为：24.

15．若函数没有极值，则实数a的取值范围是___________.

【答案】[0，2]

【分析】求导，运用判别式计算.

【详解】 ，因为没有极值， ， ，

解得 ；

故答案为： .

16．已知当时，曲线与直线有且仅有两个交点，则实数k的取值范围是___________.

【答案】

【分析】利用分离参数法进行求解.

【详解】令，得，令，，

当时，，为增函数；

当时，，为减函数；

所以有极大值；

又因为，所以，所以曲线与直线有且仅有两个交点时，实数k的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题

17．求下列函数的导数.

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将导数的乘法法则与复合函数求导相结合可得结果；

（2）将导数的除法法则与复合函数求导相结合可得结果；

【详解】（1）

（2）

18．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．

（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？

（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？

（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？

【答案】（1）15；（2）120；（3）74

【分析】（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，利用分类计数原理求得结果．

（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，利用分步计数原理求得结果．

（3）首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年级”，再各类分步选择．

【详解】（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可，分三类：N=5+6+4=15种；

（2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，N=5×6×4=120种；

（3）要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，首先按年级分三类“1，2年级”，“1，3年级”，“2，3年级”，

再各类分步选择：N=5×6+6×4+4×5=74种．；

【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.

19．已知复数，i是虚数单位），是实数.

(1)求b的值；

(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用复数的除法可求，再结合其为实数可求；

（2）利用复数的乘方可求，再由它对应的点所处的象限可求的取值范围.

【详解】（1）∵，∴

∵是实数，∴，解得.

（2）由（1）知,

∴，

∵复数在复平面内对应的点在第二象限，

∴，解得，

故实数m的取值范围是.

20．已知函数，.

(1)当时，求函数的极值；

(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)极大值为，无极小值

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；

（2）利用导数求出函数的最大值，依题意可得，解得即可.

【详解】（1）解：当时，，则，

令，得，令，得

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

∴函数的极大值为，无极小值；

（2）解：

当，，则是增函数.

当时，则是减函数，

∴的最大值为，

∵恒成立，

∴，解得，

∴的取值范围为.

21．已知函数，其中.

（1）若，求曲线在处的切线方程;

（2）设函数若至少存在一个,使得成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）（2）

【分析】(1)求导后代入求得在处的切线斜率,再利用点斜式求得切线方程即可.

(2)求导后分与时,分析单调性再根据函数性质的最值满足的条件列式求不等式即可.

【详解】(1)当时,,

∴,即切线斜率为2,故由点斜式方程可得切线方程为,即

(2)原问题等价于至少存在一个,使得成立,

令,则,

①当时,,则函数h(x)在[1,e]上单调递减,故h(x)min＝h(e)＝﹣2＜0,符合题意；

②当时,令,,解得,则函数h(x)在上单调递减,令,解得,则函数h(x)在单调递增,

且,,

1.当,即时,在上,单调递增,

此时不符合题意

2.当,即时, 在上,单调递减,

此时满足题意

3.当,即时,,不满足题意

综上,实数a的取值范围为．

【点睛】本题主要考查了利用导函数求切线方程的一般方法,同时也考查了分情况讨论思想与导数与单调性和最值的运用等,属于中等题型.

22．已知函数，其中.

（1）若，求的单调区间；

（2）若在内只有一个零点，求的取值范围.

【答案】（1）在上单调递减，在，上单调递增；（2）.

【分析】（1）将代入，求出函数的解析式，进而利用导数法，可求出函数的单调区间；

（2）求出函数的导函数，结合的讨论，分别判断函数零点的个数，综合讨论结果，可得答案．

【详解】解：（1）若，，

，

令，得，；

令，得；

令，得或.

故在上单调递减，

在，上单调递增.

（2），

当时，对恒成立，

则在上单调递增，

从而则.

当时，在上单调递减，在上单调递增，

∵，∴，∴解得.

当时，对恒成立，则在上单调递减，

∵，∴在内没有零点.

综上，的取值范围为.

【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，导数法确定函数的单调性，难度中档 ．