2021-2022学年陕西省榆林市米脂中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年陕西省榆林市米脂中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】函数定义域满足分母不为0即可.

【详解】的定义域满足，即.

故选：B

2．已知函数是定义在R上的偶函数，时，，那么的值是多少（   ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性，，即可求解，

【详解】∵是定义在R上的偶函数，∴，

故选：B.

【点睛】本题考查函数奇偶性，属于基础题.

3．已知，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数单调性可直接确定结果.

【详解】，，在上单调递减，.

故选：B.

4．下列从集合到集合的对应中，不是映射的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】两个非空集合与间存在着对应关系，而且对于中的每一个元素，中总有唯一的一个元素与它对应，这种对应关系称之为从到的映射，据此回答即可.

【详解】对于①，集合中元素对应着集合中和两个元素，故①不是映射；

对于②，集合中元素和在集合中没有对应元素，故②不是映射；

对于③，集合中元素对应着集合中和两个元素，故③不是映射；

对于④，集合与集合间的对应关系满足映射的要示，故④是映射；

综上：不是映射的有①②③，个数为.

故选：D.

5．下列给出的各组函数中，与是同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】分别判断四个选项中与的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即可得到答案.

【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；

对于选项B：，两个函数的对应法则不同，不是同一个函数；

对于选项C：的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，与对应法则相同,是同一个函数；

对于选项D：的定义域为R，的定义域为，故两个函数不是同一个函数.

故选：C.

6．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将区间端点代入函数，只要保证函数值异号，即可得答案；

【详解】易知是上的增函数，且，，

所以的零点所在的区间为．

故选：B.

7．已知函数，且，则　　

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由换元法求出函数的解析式，令函数值为6，解出值即可．

【详解】令，则，

由，

可得，

则，

解得，

故选：．

【点睛】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．

8．已知集合，则集合中元素的个数是（    ）

A．1 B．3 C．6 D．9

【答案】C

【分析】根据，采用列举法表示集合B 即可求解.

【详解】根据题意，

所以集合B中共有6个元素，

故选：C.

9．已知函数，若对任意，且，都有，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由题意，得到函数在给定区间单调递增，再由二次函数的性质，即可求出结果.

【详解】由题意对任意，且，即为，所以函数在单调递增，

当时，显然单调递减，不满足题意，

当时，函数为二次函数，

故其开口向上，且对称轴在区间的左侧，

即，解得.

故选：C.

10．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的递增区间是 B．的递减区间是

C．的递增区间是 D．的递增区间是

【答案】D

【分析】判断函数的奇偶性，然后根据时的单调性得到函数在上的单调性.

【详解】因为函数的定义域为，关于原点对称，

，

所以函数是定义在上的奇函数，

当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

又因为是定义在上的奇函数，

所以的单调增区间为，单调减区间为和

故选：D

11．已知函数的图像如图所示，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据图像分析可知，根据指数函数和对数函数的单调性，即可判断不等式的正误.

【详解】解：函数的图像可由函数的图像向下平移个单位长度得到，由图可知，.

对于A，，，A选项正确；

对于B，，，，B选项正确；

对于C，，，，C选项正确;

对于D，，，D选项错误；

故选：D.

12．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，h为常数，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：，，，.）（    ）

A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟

【答案】C

【分析】根据已知条件求出参数的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果.

【详解】根据题意可知，，，

因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即，，

所以，解得，则，

所以要使得该茶降至，即，则有，得，

故，

所以大约需要等待6分钟.

故选：C.

二、填空题

13．函数的值域为______.

【答案】

【分析】结合指数函数的性质，即可求得函数的值域，得到答案.

【详解】由指数函数的性质，可得，所以，

故函数的值域为，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.

14．已知，则______.

【答案】##0.5

【分析】根据分段函数求函数值解决即可.

【详解】由题知，，

所以，

故答案为：

15．已知函数的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则_________．

【答案】

【分析】根据对数过定点可求得，代入构造方程可求得结果.

【详解】，，，解得：.

故答案为：.

16．下列说法中不正确的有______.（填序号）

①幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快；

②对任意的，都有；

③对任意的，都有

【答案】①②③

【分析】利用指数函数、对数函数和幂函数的图像逐项判断能求出结果．

【详解】对于①，如函数和的图像如图，

由图像知幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快，故①错误；

对于②，当时，，的图像如图，

由图像知对任意的，不一定正确，故②错误；

对于③，当时，，的图像如图，

由图像知对任意的，不一定正确，故③错误．

故答案为：①②③．

三、解答题

17．计算：

(1)；

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据对数运算的知识化简即可得出答案；

（2）根据指数运算的知识化简即可得出答案.

【详解】（1）

.

（2）

.

18．已知集合

(1)求与.

(2)若求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）在数轴上表示出集合A，B，从而解得结果；

（2）由题意，根据子集的包含关系得到关于a的不等式组，从而求实数a的取值范围．

【详解】解：(1)由条件可知

又.

.

(2) ，

分析可知 ，解得

【点睛】本题考查了集合的化简与运算，同时考查了数形结合的思想应用．

19．已知函数.

(1)证明：函数是偶函数；

(2)求函数的零点.

【答案】(1)证明见解析；

(2)和

【分析】（1）先证明函数的定义域关于原点对称，再证明即可；

（2）利用对数运算对函数的解析式进行化简，求解方程即可得到函数的零点.

【详解】（1）证明：由，解得，

∴函数的定义域为，且定义域关于原点对称，

又∵，∴是偶函数.

（2）解：，令，

∴，解得.

∴函数的零点为和.

20．已知函数为奇函数.

(1)求函数的解析式；

(2)用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用可构造方程求得，由此可得；

（2）取，整理得，由此可得结论.

【详解】（1）为奇函数，，即，

，解得：，.

（2）取，

则，

，，，又，，

，在区间上单调递减.

21．已知是指数函数.

(1)求的值；

(2)解不等式

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数为指数函数，得到底数大于0且不等式1，系数为1，求出的值；

（2）在第一问的基础上，由对数函数的单调性及定义域列出不等式，求出不等式的解集.

【详解】（1）因为是指数函数，

所以，

解得：或（舍去）；

（2）不等式，即为，

∵函数为增函数，

∴要使不等式成立，只需满足，

解得：，

即原不等式的解集为.

22．某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：年月份第（，）天的单件销售价格（单位：元,第天的销售量（单位：件）为常数），且第天该商品的销售收入为元（销售收入销售价格销售量）.

（1）求m的值；

（2）该月第几天的销售收入最高？最高为多少？

【答案】（1）；（2）当第10天时，该商品销售收入最高为900元．

【分析】（1）利用分段函数，直接求解．推出的值．（2）利用分段函数分别求解函数的最大值推出结果即可．

【详解】（1）销售价格第天的销售量（单位：件）为常数），

当时，由，

解得．

（2）当时，

，

故当时，，

当时，，

故当时，，

因为，故当第10天时，该商品销售收入最高为900元．

【点睛】本题考查利用函数的方法解决实际问题，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．