2021-2022学年河南省南阳地区高二下学期期中热身摸底考试数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年河南省南阳地区高二下学期期中热身摸底考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】将整理为的形式，根据，即可确定答案.

【详解】因为，

所以z在复平面内对应的点为，位于第四象限.

故选：D

2．函数从1到2的平均变化率为（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】平均变化率为的变化量与变化量的比值，分别计算变化量，代入求值即可.

【详解】函数从1到2的平均变化率为．

故选：C.

3．在中，三条边的长分别为a，b，c，面积为S，则的内切圆半径．类比这个结论，在四面体PABC中，六条棱的长分别为a，b，c，d，e，f，四个面的面积分别为，，，，体积为V，则四面体PABC的内切球半径为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据类比思想，“边”变为“面”，“内切圆半径”变为“内切球半径”，根据四面体的几何性质，即可得到答案.

【详解】设四面体的内切球球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，

所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和，

即四面体的体积，所以，

故选：D

4．函数的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】先由在处的导数得到切线斜率，进而得到切线方程，再求得切线与坐标轴的交点，即可求解.

【详解】由题意可得，则切线斜率，

因为，

所以所求切线方程为，即，

令，得；令，得，

则所求切线与坐标轴围成的三角形的面积是，

故选：A

5．已知复数z满足，且，则（       ）

A． B． C． D．i

【答案】C

【分析】设，然后由，且，可求出的值，从而可求出结果

【详解】设，因为，所以，所以．

因为，所以，所以，，故．

故选：C

6．已知某商品的生产成本C与产量q的函数关系式为，单价p与产量q的函数关系式为，则当利润最大时，（       ）

A．8 B．12 C．16 D．20

【答案】B

【分析】设利润为y，则，将条件代入，可得为关于的函数，利用导函数判断函数的单调性，进而得到取得最大值时的值.

【详解】设利润为y，则，

所以．

则当时，；当时，，

故当利润最大时，，

故选：B

7．已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先对化简，再可求出，然后计算，从而可求出其虚部

【详解】因为，所以，

所以，

故其虚部为．

故选：D

8．（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】表示圆与直线围成的弓形的面积，根据图形面积公式计算即可．

【详解】因为表示圆与直线围成的弓形的面积，

所以．

故选：A．

9．观察下列式子：       

；

；

；

…

根据规律，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】依题意可得，再用裂项相消法求和即可；

【详解】解：由规律可得，

所以

故选：B

10．已知函数为奇函数，当时，，函数的导函数为．且，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由导数的知识，进而得当时，，并解得，再根据奇函数性质得不等式的解集为.

【详解】解：因为，所以．

因为，所以．

所以，

因为，当时，，

所以，当时，，由，可得．

因为为奇函数，

所以当时，由，可得．

故不等式的解集为．

故选：A

11．甲、乙、丙、丁，戊五位同学一起去向老师询问数学竞赛的成绩．老师说：“你们五人中有两位获得一等奖，三位获得二等奖．”甲看了乙、丙的成绩后说：“我还是不知道我的成绩．”丁看了甲、戊的成绩后说：“你们俩的获奖情况一样．”根据以上信息，则（       ）

A．丁一定获得一等奖 B．丁一定获得二等奖

C．乙、丁的获奖情况一定不一样 D．乙、丁的获奖情况可以相同

【答案】D

【分析】先由题意分类讨论乙、丙两人的成绩，再得出甲、戊的成绩，对选项逐一判断

【详解】因为甲看了乙、丙的成绩后不知道自己的成绩，所以乙、丙的成绩可能是一个一等奖和一个二等奖或者两个都是二等奖．又因为甲、戊的成绩一样，

当乙、丙一个一等奖和一个二等奖时，则甲、戊一定是二等奖，丁的获奖情况是一等奖，此时乙、丁的获奖情况可以相同也可以不同；

当乙、丙两个都是二等奖时，则甲、戊一定都是一等奖，丁为二等奖，此时乙、丁的获奖情况相同．

故选：D

12．已知，是函数的两个极值点，且．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先对求导，由，是函数的两个极值点，即为的两个正解，结合韦达定理可得与的式子，再将不等式整理为，将与的式子代入中，可得到，构造函数，将问题转化为，利用导函数求得的最小值，即可求解.

【详解】由题，因为，

所以，是方程的两个正根，

所以，，，

因为不等式恒成立，即恒成立，

因为

，

所以．

因为，，得，所以，

令，则，

所以在上单调递减，

所以，

故，

故选：B

二、填空题

13．设复数z满足，则______．

【答案】

【分析】由条件解出，再由复数模的概念求解

【详解】因为，所以，

则．

故答案为：

14．已知函数的导函数为，且，则______．

【答案】1

【分析】根据在某点处的导数的定义，可求得答案.

【详解】由题意可得,

故答案为：1

15．若复数z满足，则的最大值为______．

【答案】

【分析】设，根据复数模长的几何意义，将题意转化为圆上的点到的距离，进而可得结果.

【详解】设，则．

因为表示以为圆心，1为半径的圆，

所以可理解为圆上的点到的距离，

故的最大值为．

故答案为：.

16．下面四个推理得出的结论正确的所有序号是______．

①函数，因为，所以是的极值点.②在平面中，三角形的内角和是，四边形的内角和是，五边形的内角和是，由此得到凸多边形的内角和是.③在中，D为BC的中点，则，类比到四面体ABCD中，G为的重心，则.④在圆中，AB为直径，C为圆上异于A，B的任意一点．若AC，BC的斜率都存在，则，类比到椭圆中，AB为过中心的一条弦，P为椭圆上异于A，B的任意一点．若PA，PB的斜率都存在，则.

【答案】②③

【分析】对于①，由恒成立，即可判断；对于②，根据凸多边形的性质判断即可；对于③，重心为中线交点，由向量结合重心的性质即可判断；对于④，由AB为过中心的一条弦，可设，，再设，结合斜率公式即可判断.

【详解】对于①，因为恒成立，所以在上单调递增，没有极值，故①不正确；

对于②，因为凸多边形边数增加1，内角和增加，所以凸多边形的内角和是，故②正确；

对于③，在四面体ABCD中，

所以，故③正确；

对于④，设，，，

则，故④不正确.

故答案为：②③

三、解答题

17．已知函数．

(1)若函数在R上单调递增，求实数m的取值范围；

(2)若函数，求在上的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先对函数求导，再由题意可得恒成立，则，从而可求出实数m的取值范围，

（2）对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的值域

【详解】(1)因为，所以．

因为函数在R上单调递增，所以恒成立，

则，解得，

即实数m的取值范围是．

(2)因为，所以．

由，得或；由，得．

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

因为，，，

所以在上的值域为．

18．在数列中，，．

(1)求，，的值，并猜想的通项公式；

(2)请用数学归纳法证明（1）中的猜想．

【答案】(1)，，．猜想．

(2)证明见解析

【分析】（1）分别令，由已知递推式可求出，，的值，从而可猜想的通项公式；

（2）根据数学归纳法的步骤结合已知递推式证明即可

【详解】(1)解：∵，，

∴，，

．

猜想．

(2)证明：①当时，，猜想显然成立；

②假设当时，猜想成立，即，

则当时，，

即当时，猜想也成立．

由①②可知，猜想成立，即．

19．已知函数，函数．

(1)求的单调区间；

(2)当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2)

【分析】（1）求解导函数，然后分类讨论求单调区间；（2）利用参变分离法，将题目条件转化为在上有两个不同的实根，构造函数，求导判断单调性并求解最值，从而得k的取值范围.

【详解】(1)由题意可得的定义域为，且．

①当时，由，得；由，得．

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

②当时，由，得；由，得．

故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．

(2)当时，令，得，即，

则与的图象在上有两个不同的交点，等价于在上有两个不同的实根．

设，则．

由，得；由，得．

函数在上单调递增，在上单调递减，故．

因为，，且，

所以要使在上有两个不同的实根，则，

即k的取值范围为．

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．

20．在中，角A，B，C为的三个内角．

(1)若，证明：为等腰三角形．

(2)若，用反证法证明：为直角三角形．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据降幂公式，结合两角和差的余弦公式、余弦函数的性质进行化简证明即可；

（2）根据两角和的正弦公式，利用反证法进行证明即可.

【详解】(1)，

所以，

所以．所以．

因为，所以B=C，故△ABC为等腰三角形．

(2)假设△ABC不是直角三角形，则A，B，C都不等于．

因为，所以，

所以，

所以．

因为，

所以．

所以，

所以．

因为A，B，C都不等于，所以，，

所以，

所以．

因为，

所以，这与矛盾，

所以假设不成立，故△ABC为直角三角形．

21．已知函数．

(1)证明：函数的图象与直线只有一个公共点．

(2)证明：对任意的，．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）将问题转化为证明只有一个根，令，利用导数可求得，当且仅当时，，由此可证得结论；

（2）由（1）可得，即，得到，由此可得，根据对数运算法则整理即可得到结果.

【详解】(1)要证函数的图象与直线只有一个交点，只需证方程只有一个根，

即证只有一个根，即只有一个根．

令，，则．

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，．

恒成立，当且仅当时，，方程只有一个根，

即函数的图象与直线只有一个公共点．

(2)由（1）知：恒成立，

即恒成立（在时等号成立）．

，，即，

，，，…，

，，

，即．

22．已知函数．

(1)判断函数的单调性．

(2)证明：．

【答案】(1)上单调递增，在上单调递减

(2)证明见解析

【分析】（1）先求导，再根据导函数分析导函数的正负，从而得到单调区间；

（2）通过二次求导得到的单调性，从而得到其最大值的表达式，再证明最大值小于可求证.

【详解】(1)因为，所以．

令，则，可得在上单调递减，所以．

因为当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．

(2)证明：令，

则．

令，则，所以在上单调递增．

因为，，所以存在，使得，

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，所以．

因为，且，所以，所以．

令，，则，所以在上单调递减，

所以，所以，所以．

【点睛】用导数判断函数的单调性的关键是对导函数能够解不等式或者是能够分析出正负，导数中的不等式的证明关键是求最值，而求最值的关键是对单调性的把握.