初中数学冀教版八年级上册16.2 线段的垂直平分教学课件ppt

教学目标

1.理解并掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理并学会运用；

2.能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理解决实际问题；

3.通过经历线段垂直平分线性质定理的逆定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.

教学重难点

重点：理解并掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理并学会运用；

难点：能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理解决实际问题.

教学过程

旧知回顾

回忆线段垂直平分线的性质定理以及主要注意的问题：

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

注意:(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离相等.

(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有某种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可,应注意理解和掌握这种由特殊到一般的思想方法.

(3)这个定理向我们提供了一个证明两条线段相等的方法.

导入新课

试一试:在练习本上以线段AB为底边作等腰△PAB.

△PAB的形状和大小是确定的吗？

符合条件的△PAB能作几个？

观察：你所画出的所有点P的位置，有什么特征？

带着问题进入我们今天的学习.

教师板书课题.

探究新知                         

一、线段垂直平分线性质定理的逆定理

再来回顾：你所画出的所有点P的位置，有什么特征？

（学生动手操作，小组讨论，展示成果）

学生很快会发现：所有的点P都在同一条直线上.

大胆推测一下这条直线与线段AB的关系：这条直线是线段AB的中垂线.

思考：当PA＝PB时，点P一定在AB的中垂线上吗？

探究：如果PA＝PB,那么点P在线段AB的垂直平分线上.

请同学们画出图形,写出已知,求证.                       

已知：P为线段AB外一点，且PA＝PB.

求证:点P在线段AB的垂直平分线上.

师:为了证明P点在AB的垂直平分线上,可以过P作辅助线,先构造“垂直或平分”中的一个关系,去证明另一个.特别要注意防止“过P作线段AB的垂直平分线”这种错误.你能根据提示写出证明过程吗?

证法1：如图1所示,取AB的中点C,作直线PC.

∵ PA＝PB,PC＝PC,AC＝CB,∴ △APC≌△BPC(SSS).

∴ ∠PCA＝∠PCB.

又∵ ∠PCA+∠PCB＝180°,

∴ ∠PCA＝∠PCB＝90°,即PC⊥AB,

∴ P点在AB的垂直平分线上.

图1                     图2

证法2：如图2所示，作∠APB的平分线PC,则∠1＝∠2.

又∵ AP＝BP,PC＝PC,

∴ △APC≌△BPC(SAS).                                

∴ ∠PCA＝∠PCB，AC＝BC.

又∵ ∠PCA+∠PCB＝180°,

∴ ∠PCA＝∠PCB＝90°,

即PC⊥AB,

∴ P点在AB的垂直平分线上.

线段垂直平分线性质定理的逆定理:到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

几何语言：

∵ PA ＝PB，∴ P 在AB 的垂直平分线上．

用途：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.

二、判断线段中垂线的方法

思考：(1)若PA＝PB,过点P作直线l,则直线l是线段AB的中垂线吗？

答：不一定是.理由：经过一点的直线有无数条.

(2)若PA＝PB,同时MA＝MB,则直线PM是线段AB的中垂线吗？

答：是.理由：两点确定一条直线.

用线段中垂线性质定理的逆定理判定线段垂直平分线的步骤：

∵ AB ＝AC，MB ＝MC，

∴ 点A，M均在线段BC的中垂线上（两点确定一条直线），

∴ AM垂直平分BC.

总结：判定线段中垂线的方法

1.用线段中垂线的定义.

2.用线段中垂线性质定理的逆定理，推出两个点都在线段的中垂线上，则过这两个点的直线就是这条线段的中垂线.

练习：1.已知，MN是线段AB的中垂线，下列说法正确的是（    ）

A.与AB距离相等的点在MN上

B.与点A和点B距离相等的点在MN上

C.与MN距离相等的点在AB上

D.AB垂直平分MN

2.点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD+DA,则点D在线段（   ）的垂直平分线上.

A.AB     B.AC    C.BC     D.不能确定

答案：1.B　2.B

新知应用

例1　已知:如图所示,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线DP与EP相交于点P.

求证：点P在BC的垂直平分线上.

引导学生分析,要让点P在BC的垂直平分线上,就是要证明BP＝CP.

学生证明,写出证明过程,教师巡视指导后全班讲评.

证明：如图所示,连接PA,PB,PC.

∵ DP,EP分别是AB,AC的垂直平分线,∴ PA＝PB＝PC,

∴ 点P在BC的垂直平分线上.

通过此题你发现了什么结论？

【拓展延伸】　三角形三边的中垂线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.

例2　已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB＝BC＝CD＝AD,AC⊥BD,垂足为O.

求证:AO＝OC,BO＝OD.

让学生独立思考后完成.

证明:因为AB＝BC,CD＝AD,所以点B,D均在线段AC的垂直平分线上,直线BD是线段AC的垂直平分线,所以AO＝OC,同理,BO＝DO.

课堂练习

1.已知：点C,D为线段AB外两点，下列说法正确的是（   ）

A.若AC＝BC，则经过点C的直线垂直于AB

B.若AC＝BC,AD＝BD，则直线CD垂直于AB

C.若AD＝BD,则经过点D的直线垂直于AB

D.若CD⊥AB,则AC＝BC,AD＝BD

2.如图1，A,B,C表示三个居民小区，为丰富居民的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（   ）

A.AC，BC两边高线的交点处           B.AC，BC两边中线的交点处

C.AC，BC两边垂直平分线的交点处     D.∠A，∠B两内角平分线的交点处

3.如图2，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接EF交AD于点O,求证：AD垂直平分EF.

图1                图2                 图3

4.如图3，四边形ABCD是一个“风筝”骨架，其中AB＝AD,CB＝CD.

设对角线AC＝a,BD＝b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积.

参考答案

1.B　2.C

3.证明：∵ AD为△ABC的角平分线，

∴ ∠EAD＝∠FAD.

又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，

∴ ∠AED＝∠AFD＝90°.

又AD＝AD，∴ △AED≌△AFD（AAS)，

∴ AE＝AF,DE＝DF，∴　AD垂直平分EF.

课堂小结

布置作业

完成教材117页习题A组、B组.

板书设计

           16.2　线段的垂直平分线

第2课时 线段垂直平分线的性质定理的逆定理

一、线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上. 

二、判定线段中垂线的方法

教学反思

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