冀教版八年级上册16.2 线段的垂直平分教学设计

16.2线段的垂直平分线（2）

教学目标

【知识与能力】

1.理解和掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理.

2.探索线段的垂直平分线的判定定理的证明,发展学生的演绎推理能力.

【过程与方法】

通过经历线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.

【情感态度价值观】

1.经历合情推理发现结论,演绎推理证明结论的过程,体会合情推理与演绎推理的不同作用.

2.通过认识上的升华,使学生加深对命题证明的认识.

教学重难点

【教学重点】

线段垂直平分线的性质定理的逆定理.

【教学难点】  

线段垂直平分线性质定理的逆定理的证明与应用.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

【课件1】　浦东新区政府为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A,B,C之间修建一个购物中心,该购物中心应建于何处,才能使得购物中心到三个小区的距离相等?

说明:留有悬念,暂时不解决,学习了今天的内容,同学们就可以进行城市规划啦!

[设计意图]　设下悬念,激发学生的学习兴趣,使学生能带着问题投入到本节课的学习之中.

导入二:

给你已知线段a,以a为底边的等腰三角形有几个?如果用三角板和刻度尺,你能画出至少三个吗?

利用三角板、刻度尺作出线段的垂直平分线,在垂直平分线上取点,连接可得满足条件的等腰三角形.

在这里,我们利用了线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等进行证明.

那么反过来,到线段两个端点距离相等的点是否一定都在线段的垂直平分线上呢?下面我们一起来研究.

[设计意图]　复习上节学过的线段垂直平分线的性质定理,从而引出问题.

二、新知构建：

活动一:一起探究——线段垂直平分线性质定理的逆定理

　　[过渡语]　我们知道,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.反过来,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上吗?

思路一

师:反过来,与一条线段两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢?我们也可以通过“证明”来解决这个问题.

生:画出图形(如图所示),写出已知,求证.

已知:如图所示,P是线段AB外一点,且PA=PB.

求证:点P在线段AB的垂直平分线上.

师:为了证明P点在AB的垂直平分线上,可以过P作辅助线,先构造“垂直或平分”中的一个关系,去证明另一个.特别要注意防止“过P作线段AB的垂直平分线”这种错误.你能根据提示,说出证明过程吗?

证明:设线段AB的中点为O,连接PO并延长.

在ΔPOA和ΔPOB中,

∴ΔPOA≌ΔPOB(SSS),

∴∠POA=∠POB,

∵∠POA+∠POB=180°,

∴2∠POA=180°,∠POA=90°.

∴直线PO是线段AB的垂直平分线,

∴点P在线段AB的垂直平分线上.

师:在证明过程中,我们又得到了线段垂直平分线的判定方法:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.

生:判定方法只能判定点在线段的垂直平分线上,那怎么才能判定这条直线就是线段的垂直平分线呢?

师:这个问题提得很好,大家想一想,几点确定一条直线?

生:两点.

师:所以只要我们能证明一条直线上有两点满足判定方法的条件,那么这条直线就一定是线段的垂直平分线.

[知识拓展]　(1)要证明某条直线是某条线段的垂直平分线,有两种证明方法:一是根据定义去证明;二是根据“两点确定一条直线”,证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上.(2)根据线段垂直平分线的判定定理可以作线段的垂直平分线.

思路二

你能写出线段的垂直平分线的性质定理的逆命题吗?它是真命题吗?这个命题不是“如果……那么……”的形式,要写出它的逆命题,需分析原命题的条件和结论,将原命题写成“如果……那么……”的形式,逆命题就容易写出了.鼓励学生找出原命题的条件和结论.

原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”,结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”.

此时,逆命题就很容易写出来了,“如果有一个点与线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上”.

写出逆命题后,就想到判断它的真假.若真,则需证明它;若假,则需用反例说明.请同学们自行在练习本上完成.

学生给出了如下的两种证法:

已知:线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB.

求证:P点在AB的垂直平分线上,

证法1:如图所示,取AB的中点C,过PC作直线.

∵PA=PB,PC=PC,AC=CB,∴ΔAPC≌ΔBPC(SSS).

∴∠PCA=∠PCB.

又∵∠PCA+∠PCB=180°,∴∠PCA=∠PCB=90°,即PC⊥AB,∴P点在AB的垂直平分线上.

证法2:如图所示,过P作线段AB的垂直平分线PC.

∵AC=CB,∠PCA=∠PCB=90°,∴P在AB的垂直平分线上.

两种证法由学生表述后,有学生提出:“第一个证明是正确的,而第二个证明我有点弄不懂.”

师生共析:如图(1)所示,PD⊥AB,D是垂足,但D不是AB的中点;如图(2)所示,PD平分AB,但PD不垂直于AB.这说明一般情况下,“过P作AB的垂直平分线”是不一定能实现的,所以第二个证法是错误的.

从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题,我们把它称为线段的垂直平分线的判定定理.

[设计意图]　引导学生用多种方法证明线段垂直平分线的性质定理的逆命题,从而发现它的正确性,提高学生分析问题、演绎推理的能力.

活动二:例题讲解

【课件2】

　已知:如图所示,在ΔABC中,AB,AC的垂直平分线DP与EP相交于点P.

求证:点P在BC的垂直平分线上.

引导学生分析,要让点P在BC的垂直平分线上,就是要证明BP=CP.

学生证明,写出证明过程,教师巡视指导后全班讲评.

证明:如图所示,连接PA,PB,PC.

∵DP,EP分别是AB,AC的垂直平分线,

∴PA=PB=PC,

∴点P在BC的垂直平分线上.

【课件3】　(教材第116页做一做)已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,垂足为O.

求证:AO=OC,BO=OD.

让学生独立思考后完成.

证明:因为AB=BC,CD=AD,所以点B,D均在线段AC的垂直平分线上,直线BD是线段AC的垂直平分线,所以AO=OC,同理,BO=DO.

【拓展延伸】　三角形三边的垂直平分线交于一点.

教师讲解:根据线段垂直平分线的性质定理及判定定理,我们很容易证明三角形三边的垂直平分线交于一点.

如图所示,其思路可表示为:

[设计意图]　让学生尝试应用线段垂直平分线的性质定理的逆定理解题,培养学生的应用能力.

三、课堂小结：

到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上.

如果一个点到一条线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上(如图所示).

符号语言:

∵DA=DB,

∴点D在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理).