数学人教版2.1 整式课后复习题

第5讲  整式的概念

知识点1：字母表示数

字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．

1.用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“·”(点）表示．

2.字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前．

3.出现除式时，用分数表示．

4.结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．

5.系数是带分数时，带分数要化成假分数．

【典例】

1.2015年双十一期间，某网店对一品牌服装进行优惠促销，将原价a元的服装以（a﹣20）元售出，则以下四种说法中可以准确表达该商店促销方法的是（　　）

A. 将原价降低20元之后，再打8折

B. 将原价打8折之后，再降低20元

C. 将原价降低20元之后，再打2折

D. 将原价打2折之后，再降低20元

【解析】解：代数式a﹣20的意义是比a的80%少20元．

故选B

【方法总结】

根据四则运算法则，代数式（a﹣20）是先进行乘法运算后进行减法运算，对应到实际问题中即先对原价打八折再降低20元。

【随堂练习】

1．（2018•永州）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（　　）

A．商贩A的单价大于商贩B的单价

B．商贩A的单价等于商贩B的单价

C．商版A的单价小于商贩B的单价

D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关

【解答】解：利润=总售价﹣总成本=×5﹣（3a+2b）=0.5b﹣0.5a，赔钱了说明利润＜0

∴0.5b﹣0.5a＜0，

∴a＞b．

故选：A．

2．（2017秋•罗山县期中）每家乐超市出售一种商品，其原价a元，现有三种调价方案：（1）先提价20%，再降价20%；（2）先降价20%，再提价20%；（3）先提价15%，再降价15%．问这三种方案调价结果是否一样？最后是不是都恢复了原价？

【解答】解：由题意可得，

（1）中调价结果是：a（1+20%）（1﹣20%）=0.96a，

（2）中的调价结果是：a（1﹣20%）（1+20%）=0.96a，

（3）中的调价结果是：a（1+15%）（1﹣15%）=0.9775a，

由上可得，三种方案调价结果不一样，最后是不是都没恢复原价．

知识点2 整式

1.数与字母的乘积是单项式，单独的一个数字或一个字母也是单项式．

2. 几个单项式的和叫多项式．多项式中，每个单项式叫多项式的项；多项式含有几项，就把这个多项式叫做几项式；次数最高项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．

3.单项式和多形式统称为整式

【典例】

【题干】同时都含有字母a、b、c，且系数为1的7次单项式共有_____个

【解析】解：a，b，c的指数分别为：

1、1、5；1、2、4；1、3、3；1、4、2；1、5、1；

2、1、4；2、2、3；2、3、2；2、4、1；

3、1、3；3、2、2；3、3、1；

4、1、2；4、2、1；

5、1、1；

共15种情况，

故选C

【方法总结】

单项式的次数是单项式各字母的指数之和，含有若干个字母并且每个字母的指数不确定时，确定单项式就需要通过分类讨论的思想逐个列举最终得出结果．

2.下列说法正确的是（　　）

A． ﹣a是单项式，它的系数为1

B． +3xy﹣3y2+5是一个多项式

C． 多项式x2﹣2xy+y2是单项式x2、2xy、y2的和

D． 如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3

【解析】解：A、﹣a是单项式，它的系数为﹣1，故选项错误；

B、+3xy﹣3y2+5有字母在分母上，故不是一个多项式，故选项错误；

C、多项式x2﹣2xy+y2是单项式x2、﹣2xy、y2的和，故选项错误；

D、如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3是正确的．

故选D．

【方法总结】

１．单项式、多项式的项应包括数字、字母前面的符号， 所以单项式前面有“―”时，系数应为负．

２．判断某个代数式是单项式、多项式时，首先确定该代数式是整式．

３．多项式的次数由多项式里次数最高项的次数决定．

3.对于多项式2x2+，按x的升幂排列正确的是（　　）

A．  

B．

C．  

D．

【解析】解：按x的升幂排列为，

故选A

【方法总结】

给多项式按照字母的次数升幂降幂排列方法：

1.列出每一项，系数要包含前面的符号；

2.将每一项按照给定字母的次数按从高到低或者从低到高排序；

3.最后将各项组合即可。

【随堂练习】

1．（2018秋•义乌市期末）如图，有一种飞镖游戏，将飞镖圆盘八等分，每个区域内各有一个单项式．现假设你的每支飞镖均能投中目标区域，①如果提供给你1支飞镖，那么你投中目标区域的单项式有　8　种可能；②如果只提供给你四支飞镖，那么要使你投中的目标区域内的单项式之和为2a+b，共有　8　种方式（不考虑投中目标的顺序）．

【解答】解：①∵飞镖圆盘八等分，每个区域内各有一个不同的单项式，

∴如果提供1支飞镖，那么投中目标区域的单项式有8种可能；

②投中的目标区域内的单项式之和为2a+b，共有8种方式：

2a，b，a，﹣a；

3a，2b，﹣b，﹣a；

2a，0，2b，﹣b，

b，0，3a，﹣a；

a，a，2b，﹣b，

b，0，a，a；

2a，b，0，0；

2a，b，b，﹣b；

故答案为：8，8．

2．（2018秋•安岳县期末）把多项式2m3﹣m2n2+3﹣5m按字母m的升幂排列是　+3﹣5m﹣m2n2+2m3　．

【解答】解：把多项式2m3﹣m2n2+3﹣5m按字母m的升幂排列是+3﹣5m﹣m2n2+2m3．

故答案为：+3﹣5m﹣m2n2+2m3．

3．（2018秋•东丽区期末）如果整式xn﹣2+3x﹣2是关于x的四次三项式，那么n 的值为　6　．

【解答】解：根据题意，可得：n﹣2＝4，

解得：n＝6，

故答案为：6．

4．（2018秋•滨州期末）若与﹣3ab3﹣n的和为单项式，则m+n＝　4　．

【解答】解：∵与﹣3ab3﹣n的和为单项式，

∴2m﹣5＝1，n+1＝3﹣n，

解得：m＝3，n＝1．

故m+n＝4．

故答案为：4．

知识点3：同类项　

字母相同并且相同字母的指数也相同的项是同类项．

【典例】

1. 已知代数式﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，那么m﹣n=______

【解析】解：∵﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，

∴m﹣1=1，2n﹣3=n+3．解得：m=2，n=6，

∴m﹣n=2﹣6=﹣4．

【方法总结】

根据同类项的定义，字母相同且相同字母的指数也相同，找出相同字母的指数列出等式即可求出m、n的值。

【随堂练习】

1．（2018秋•南陵县期末）已知﹣5a2mb和3a4b3﹣n是同类项，则m﹣n的值是　﹣1　．

【解答】解：∵﹣5a2mb和3a4b3﹣n是同类项，

∴，

解得：m＝2、n＝2，

∴m﹣n＝×2﹣2＝1﹣2＝﹣1，

故答案为：﹣1．

2．（2018秋•绍兴期末）已知2x6y2和﹣是同类项，则m﹣n的值是　0　．

【解答】解：根据题意知3m＝6，即m＝2、n＝2，

所以m﹣n＝2﹣2＝0，

故答案为：0．

3．（2019春•武昌区期中）若7x3ay4b与﹣2x3y3b+a是同类项，则a＝　1　，b＝　1　．

【解答】解：由题意，得

3a＝3，3b+a＝4b，

解得a＝1，b＝1，

故答案为：1，1．

4．（2018秋•高州市期末）若am+1b3与﹣3a4bn+7的和是单项式，则m+n的值为　﹣1　．

【解答】解：由am+1b3与﹣3a4bn+7的和是单项式，得

m+1＝4，n+7＝3，

解得m＝3，n＝﹣4．

m+n＝3+（﹣4）＝﹣1，

故答案为：﹣1．

综合集训

1.如图是小明家的楼梯示意图，其水平距离（即：AB的长度）为（2a+b）米，一只蚂蚁从A点沿着楼梯爬到C点，共爬了（3a﹣b）米．问小明家楼梯的竖直高度（即：BC的长度）为________米．

【解析】解：（3a﹣b）﹣（2a+b）

=3a﹣b﹣2a﹣b

=a﹣2b（米）．

故小明家楼梯的竖直高度（即：BC的长度）为 （a﹣2b）米．

故答案为：（a﹣2b）．

【难度】中

【结束】

2. 多项式a3﹣3ab2+3a2b﹣b3按字母b降幂排序得___________________．

【解析】解：多项式a3﹣3ab2+3a2b﹣b3的各项分别是：a3、﹣3ab2、3a2b、﹣b3．

按字母b降幂排序为﹣b3﹣3ab2+3a2b+a3

故答案是：﹣b3﹣3ab2+3a2b+a3．

3.已知|a+2|+（b﹣3）2=0，那么单项式﹣xa+byb﹣a的次数是多少？

【解析】由题意得

因为|a+2|+（b﹣3）2=0，

∴a+2=0，b﹣3=0，即a=﹣2，b=3，

∴﹣xa+byb﹣a=﹣x﹣2+3y3﹣（﹣2）=﹣xy5，

∴单项式﹣xa+byb﹣a的次数是6．

4.若x2y|n﹣3|是关于x、y的单项式，且系数为，次数为3，求a、n的值．

【解析】解：∵x2y|n﹣3|是关于x、y的单项式，且系数为，次数为3，

∴=，2+|n﹣3|=3，

∴a=﹣，n=2或4．

5.已知|a|=﹣a，试确定六次单项式 x5y|a|中a的取值，并在上述条件下求a2003﹣a2002+1的值．

【解析】解：由|a|=﹣a，得

a＜0，

六次单项式 x5y|a|，得

5﹣a=6，

解得a=﹣1，

当a=﹣1时，

a2003﹣a2002+1=﹣1﹣1+1=﹣1．

6.已知多项式﹣x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，与单项式3x2ny5﹣m的次数相同．求m，n的值．

【解析】解：∵﹣x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，

∴m+1=4，m=3，

∴ 5﹣m=2

∵单项式3x2ny5﹣m的次数是6，

2n+2=6

∴2n=4，n=2．

7.多项式xn+xn﹣1y+xn﹣2y2+…+yn中项数是多少？每个单项式的次数有什么关系？

【解析】解：多项式xn+xn﹣1y+xn﹣2y2+…+yn中x按照降幂排列，从n次到0次，共n+1项，且该多项式中y按照升幂排列，从0次到n次，共n+1项，

所以该多项式的项数为n+1，

每个单项式的次数都相等，均为n．

8.已知多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同．

（1）求m、n的值；

（2）把这个多项式按x的降幂排列．

【解析】解：（1）∵多项式﹣3x2ym+1+x3y﹣3x4﹣1是五次四项式，且单项式3x2ny3﹣m与多项式的次数相同，

∴m+1+2=3，2n+3﹣m=5，

解得：m=2，n=2；

（2）按x的降幂排列为﹣3x4+x3y﹣3x2y3﹣1．

9.已知m是绝对值最小的有理数，且﹣2a2by+1与3axb3是同类项，试求多项式2x2﹣3xy+6y2﹣3mx2+mxy﹣9my2的值．

【解析】解：∵m是绝对值最小的有理数，

∴m=0．

∵﹣2a2by+1与3axb3是同类项，

∴x=2，y=2

将m=0、x=2，y=2代入2x2﹣3xy+6y2﹣3mx2+mxy﹣9my2得：

原式=2×22﹣3×2×2+6×22﹣0+0﹣0=20．

10.如果﹣a|m﹣3|b与是同类项，且m、n互为负倒数．求：n﹣mn﹣m的值．

【解析】解：∵﹣a|m﹣3|b与是同类项，

∴|m﹣3|=1，|4n|=1，

解得：m=4或2，n=，

又∵m、n互为负倒数，

∴m=4，n=﹣

∴n﹣mn﹣m=﹣﹣（﹣1）﹣4=．

11.设m和n均不为0，3x2y3和﹣5x2+2m+ny3是同类项，求的值．

【解析】解：∵3x2y3和﹣5x2+2m+ny3是同类项，

∴2+2m+n=2，

∴2m+n=0，

∴n=﹣2m，

∴===．