湘教版八年级上册2.3 等腰三角形教学ppt课件

教学目标

1.了解等腰三角形的有关概念.

2.掌握等腰三角形、等边三角形的性质.

3.能运用等腰（边）三角形的性质解决一些实际问题.

教学重难点

重点: 等腰三角形、等边三角形的性质.

难点：等腰三角形、等边三角形的性质及探索过程.

教学过程

新课导入

【创设情境，课堂引入】

在生活中，我们经常能看到这样的建筑.

展示图片：

图1                              图2

【问题】仔细观察这几张图片，它们都有等腰三角形.我们知道，三角形具有稳定性，那么作为其中特殊的一种，等腰三角形又具有哪些性质呢？

探究新知

【教师】在了解性质之前，我们需要先对等腰三角形进行了解.

首先，我们知道，有两条边相等的三角形叫等腰三角形.

图3

在等腰三角形中，有这样几个重要的概念：

(1)相等的两条边都叫腰，另一边叫底边；

(2)两腰的夹角∠A叫顶角；

(3)腰与底边的夹角∠B、∠C叫底角.

【教师】认识了等腰三角形之后，我们就来探究一下它所具有的性质.

如图4，将等腰三角形ABC纸板对折，对折的痕迹标上AD，找出其中重合的线段和角.

【学生活动】重合的线段是AB与AC，BD与DC，重合的角是∠B与∠C，∠BAD与∠CAD，∠BDA与∠CDA.

【教师】通过对折，我们发现了这些相等的量，那么通过这次对折，我们能不能发现等腰三角形的性质呢？

【教师提问】等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴.

【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.

等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴就是刚刚对折的折痕.

【教师提问】顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

【教师】针对这个问题，同学们利用量角器，在纸板上画出顶角的角平分线，之后，沿着所画的角平分线对折纸板，你们发现了什么？

【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.

我们沿着角平分线对折，等腰三角形能够完全重合，这说明，顶角平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴.

【教师提问】底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在直线呢？

【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.

底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴；底边上的高所在的直线是等腰三角形的对称轴.

【教师】经过上述问题，我们就得到了等腰三角形的第二个性质：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 (等腰三角形三线合一).

【教师】在对折中，我们发现，在等腰三角形中，两个底角是相等的，即

∠B ＝∠C.这就是等腰三角形的性质之一：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.

【教师提问】等腰三角形的性质有哪些？

【学生总结】(学生总结，老师点评)

1.等腰三角形是轴对称图形.

2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).

3.等腰三角形的两个底角相等.

【教师】在等腰三角形中，还有一类更特殊的三角形：等边三角形.

结合刚刚等腰三角形的性质的分析，我们来看一下等边三角形的性质.

【教师提问】因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形肯定也是轴对称图形，那它的对称轴有几条呢？

【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.

等边三角形有三条对称轴.

【教师提问】根据等腰三角形所具有的三线合一的性质，可以得到等边三角形的什么性质？

【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.

同样地，等腰三角形所具有的三线合一的性质，等边三角形也具有，并且对于三条边来说，都具有这一性质.同时，它的三个角都是相等的，为60°.

【教师】我们将等边三角形的性质总结如下：

等边三角形是轴对称图形.

等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.

等边三角形共有三条对称轴.

等边三角形的各角都相等，都等于60°.

图5

【合作探究，解决问题】

例1　如图6，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC中各内角的度数.

【互动探索】设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数.

解：因为AB＝AC，BD＝BC＝AD，

所以∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.

设∠A＝x，则∠ABC＝∠C＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.

在△ABC中，因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，

所以x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°.

所以在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)当题中等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.

例2　如图7，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠BAD＝2∠DBC.

【互动探索】(引发学生思考)由∠BAD＝2∠DBC，考虑作∠BAD的平分线，即作等腰三角形的高，再根据“等角的余角相等”证明结论.

证明：过点A作AE⊥BC于点E.

因为AB＝AC，AE⊥BC，

所以∠BAD＝2∠2.

因为BD⊥AC于点D，

所以∠BDC＝90°，

所以∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°，

所以∠DBC＝∠2，

所以∠BAD＝2∠DBC.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键：(1)从要证的等式中角之间的数量关系，考虑利用等腰三角形“三线合一”作辅助线；(2)在有直角的平面几何图形中，可用“等角的余角相等”证明角相等.

例3　如图8，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数.

解：∵ △ABC是等边三角形，

∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°.

∵ ∠ABE＝40°，

∴ ∠EBC＝∠ABC-∠ABE

＝60°-40°＝20°.

∵ BE＝DE，

∴ ∠D＝∠EBC＝20°，

∴ ∠CED＝∠ACB-∠D＝40°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键：利用好等腰三角形和等边三角形的角之间的关系。

课堂练习

1.如果等腰三角形两边长是9 cm和4 cm，那么它的周长是（　　）

A.17 cm　　　B.22 cm 　　　C.17或22 cm　　　D.无法确定

2.下列说法错误的是（　　）

A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合

B.三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等

C.等腰三角形的两个底角相等

D.等腰三角形顶角的外角是底角的两倍

3.等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（　　）

A.65°，65°                     B.50°，80°

C.65°，65°或50°，80°         　　D.50°，50°

4.如图9，在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD＝BF，则∠CDF的度数是（　　）

A.10°         B.15°       C.20°          D.25°

图9　　　　　　　　   图10　　       

5.如图10，在等腰△ABC中，∠A＝80°，∠B和∠C的平分线相交于点O

（1）连接OA，求∠OAC的度数；

（2）求∠BOC.

参考答案

1. B   2. A   3. C   4.B

5.解：（1）∵ 在等腰△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，

∴ 等腰△ABC关于线段AO所在的直线对称.

∵ ∠A＝80°，

∴ ∠OAC＝40°.

（2）∵ BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，

∴ ∠OBC＝ ∠ABO，∠OCB＝∠ACO，

∴ ∠BOC＝180°-（∠OBC+∠OCB）

＝180°-（ ∠ABC+∠ACB）

＝180°-（180°-∠A）

＝90°+∠A.

∴ 当∠A＝80°时，

∠BOC＝90°+∠A ＝130°.

课堂小结

布置作业

教材第63页练习题

板书设计

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