初中数学人教版七年级下册8.1 二元一次方程组课时训练

专题8.12二元一次方程组的应用（8）古数学问题（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一．选择题（共12小题）

1．（2020•沙坪坝区校级三模）《九章算术）中有这样一个题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别放在一起而且用称称重，5只雀总重量比6只燕的总重量要重、若交换一只雀、一只燕，它们重量相等，5只雀，6只燕重量为1斤．问每1只雀、燕各重多少斤？”设每一只雀的重量为x斤，每一只燕的重量为y斤，则可建立方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据“交换一只雀、一只燕，它们重量相等，5只雀和6只燕重量为1斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解析】依题意，得：，

即．

故选：C．

2．（2020•恩施州）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，下列方程组正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解析】依题意，得：．

故选：A．

3．（2020春•南岸区校级月考）《九章算术》中记载这样一个数学问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？“译文“体积为1立方寸的宝玉重7两；体积为1立方寸的石料重6两．现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长为3寸，总重176两．问宝玉和石料各重多少两？（注：寸是长度单位）．设正方体中宝玉重x两，石料重y两，则下列方程组正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据宝玉和石料的总重量以及混合物的体积，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解析】依题意，得：，

即．

故选：C．

4．（2020•武汉模拟）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“金有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　）

A． 

B． 

C． 

D．

【分析】直接利用“黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，以及两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”分别得出等式得出答案．

【解析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，

根据题意得：．

故选：A．

5．（2020•市中区二模）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛（　　）斛米．（注：斛是古代一种容量单位）

A． B． C．1 D．

【分析】设1大桶可盛x斛米，1小桶可盛y斛米，根据“5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x+y）中即可求出结论．

【解析】设1大桶可盛x斛米，1小桶可盛y斛米，

依题意，得：，

解得：，

∴x+y．

故选：B．

6．（2020春•南京期末）《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，根据题意可列方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，分别利用已知“今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子”分别得出等量关系求出答案．

【解析】设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，

根据题意可列方程组为：．

故选：C．

7．（2020•宁德二模）《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元，则根据题意，列出的方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解析】依题意，得：．

故选：D．

8．（2020•随州）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据“鸡的数量+兔的数量＝35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量＝94”可列方程组．

【解析】设鸡有x只，兔有y只，

根据题意，可列方程组为，

故选：A．

9．（2020秋•章丘区期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”这一章里，二元一次方程组是由算筹（算筹是中国古代用来记数、列式和进行演算的一种工具）来记录的．在算筹记数法中，以“立”“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示两位数时，个位用立式，十位用卧式．如图（1），从左到右列出的算筹数分别表示x、y的系数与相应的常数项，根据图（1）可列出方程组，则根据图（2）列出的方程组是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据题意观察图2，列出关于x、y的二元一次方程组即可得出结论．

【解析】第一个方程x的系数为1，y的系数为5，相加的结果为21；第二个方程x的系数为2，y的系数为2，相加的结果为9，

故可列方程为：．

故选：C．

10．（2020秋•即墨区期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．

【解析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，

根据题意得：，

故选：A．

11．（2020•渝北区自主招生）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现用30钱，买得2斗酒，问分别能买到多少醇酒与行酒？设用30钱能买得的2斗酒里，买到醇酒x斗，买到行酒y斗，根据题意可列方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据“现用30钱，买得2斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解析】依题意，得：．

故选：A．

12．（2020•海宁市一模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有这样一题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？设共有x个人，该物品价格是y元，则下列方程组正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据“8×人数﹣3＝物品价值、物品价值＝7×人数+4”可得方程组．

【解析】若设有x人，物品价值y元，根据题意，可列方程组为，

故选：C．

二．填空题（共6小题）

13．（2020春•福州期末）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，其中有一个问题是：“今有三人公车，二车空；二人公车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为　　．

【分析】根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解析】依题意，得：．

故答案为：．

14．（2020春•新乡期末）我国古代数学著作《九章算术》中有一问题：“今有牛五，羊二，值金十两．牛二，羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：今有牛5头，羊2只，共值金10两；牛2头，羊5只，共值金8两．问一头牛，一只羊各值金多少？设每头牛，每只羊分别值金x两，y两，依题意可列出方程组为　　．

【分析】设牛，羊每头分别值金x两，y两，根据“牛五，羊二，值金十两．牛二，羊五，值金八两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．

【解析】因为每头牛值金x两，每头羊值金y两，

根据题意得：，

故答案为：．

15．（2020春•西岗区期末）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛六、羊三，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有6头牛，3只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，则可列方程组为　　．

【分析】根据“有6头牛，3只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．

【解析】根据题意得：，

故答案为：．

16．（2020•泰安一模）我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱，问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程组为　　．

【分析】设有x人，物品的价格为y元，根据所花总钱数不变列出方程即可．

【解析】设有x人，物品的价格为y元，

根据题意，可列方程：，

故答案为：．

17．（2020春•南关区月考）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．第八卷记载：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问：牛羊各值金几何？”设每头牛值金x两，每头羊值金y两，可列方程组为　　．

【分析】直接利用今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两，分别得出等式组成方程组即可．

【解析】设每头牛值金x两，每头羊值金y两．则依据题意可列方程：．

故答案是：．

18．（2020秋•蜀山区期末）把1﹣9这九个数填入3x3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则x﹣y的值为　﹣8　．

【分析】由题意列出方程组，解方程组得，即可得出答案．

【解析】，

解得：，

∴x﹣y＝1﹣9＝﹣8，

故答案为：﹣8．

三．解答题（共6小题）

19．（2019春•连云港期末）《希腊文选》中有这样一题：“驴和骡驮箱货物并排走在路上，驴子不停地埋怨驮的货物太重，压得受不了．骡子对它说：‘你发什么牢骚啊！我驮的比你驮的更重．倘若你的货物给我一袋，我驮的货比你驮的货多1倍；而我若给你一口袋，咱俩才刚好一样多．’驴和骡各驮几口袋货物？”（请用方程组解答）

【分析】设驴驮x口袋货物，骡子驮y口袋货物，根据“若你的货物给我一袋，我驮的货比你驮的货多1倍；而我若给你一口袋，咱俩才刚好一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解析】设驴驮x口袋货物，骡子驮y口袋货物，

依题意，得：，

解得：．

答：驴驮5口袋货物，骡子驮7口袋货物．

20．（2019•安徽模拟）《九章算术》里有一道著名算题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二乘、问上、下禾实一乘各几何？”

大意是：3捆上等谷子结出的粮食，再加．上六斗，相当于10捆下等谷子结出的粮食.5捆下等谷子结出的粮食，再加上一斗，相当于2捆上等谷子结出的粮食．问：上等谷子和下等谷子每捆能结出多少斗粮食？请解答上述问题．

【分析】设上等谷子每捆能结出x斗粮食，下等谷子每捆能结出y斗粮食，根据“3捆上等谷子结出的粮食，再加上六斗，相当于10捆下等谷子结出的粮食；5捆下等谷子结出的粮食，再加上一斗，相当于2捆上等谷子结出的粮食”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解析】设上等谷子每捆能结出x斗粮食，下等谷子每捆能结出y斗粮食，

依题意，得：，

解得：．

答：上等谷子每捆能结出8斗粮食，下等谷子每捆能结出3斗粮食．

21．（2020•安徽模拟）《算法统宗》中有一首“以碗知僧”的趣味诗，原文如下：

巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧？

译文为：

寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，恰好把碗用完，请问寺内共有多少个和尚？

请解答上述问题．

【分析】设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据“共有364只碗，三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x的值，再将其代入3x中即可求出结论．

【解析】设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，

依题意，得：，

解得：，

∴3x＝624．

答：寺内共有624个和尚．

22．（2020春•海州区期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋

子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？（请用方程组解答）

【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝12两，根据等量关系列出方程即可．

【解析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，

由题意得：，

解得．

答：每枚黄金重33两，每枚白银重27两．

23．（2019•蚌埠一模）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”

译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”

请列方程组解答上面的问题．

【分析】设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可．

【解析】设雀、燕每1只各重x斤、y斤．根据题意，得

整理，得

解得

答：雀、燕每1只各重斤、斤．

24．（2019春•南昌期末）我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是请你根据图2所示的算筹图，列出方程组，并求解．

【分析】观察图2，列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解析】依题意，得

由①，得y＝7﹣2x．③

把③代入②，得x+3（7﹣2x）＝11

解这个方程，得x＝2．

把x＝2代入①，得y＝3．

∴这个方程组的解是 ．