数学人教版因数和倍数精品课堂检测

2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列之

第二单元因数与倍数提高篇（解析版）

【考点一】连续偶数或奇数的实际应用。

【方法点拨】

该类题型关键在于熟悉偶数和奇数的特征，即相邻两个偶数或奇数相差2，首先求出这几个数的平均数，再根据平均数分别求出其他的数。

【典型例题1】

如果三个连续偶数的和是84，最大的偶数是多少？

解析：

中间的偶数：84÷3＝28

最大的偶数：28＋2＝30

答：最大的偶数是30。

【典型例题2】

三个连续奇数的和是225，这三个奇数分别是多少？

解析：

答：这三个奇数分别是73、75、77。

【对应练习1】

小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最大的是多少岁？

解析：

解：设三人中间年龄是x岁。

x＋（x－2）＋（x＋2）＝48

3x＝48

x＝48÷3

x＝16

16＋2＝18（岁）

答：他们中最大的是18岁。

【对应练习2】

五个连续的奇数的和是75，这五个奇数分别是多少？

解析：

75÷5＝15

15－2＝13

13－2＝11

15＋2＝17

17＋2＝19

答：这五个奇数分别是11、13、15、17、19。

【对应练习3】

五个连续自然数的和是135，这五个连续自然数分别是多少？

解析：

135÷5=27

27+1=28

28+1=29

27-1=26

26-1=25

答：略。

【考点二】倍数特征的复杂应用一。

【方法点拨】

个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
个位上是0或5的数是5的倍数。

一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

【典型例题】

在3□2□中，□里可以填人适当的数字，使组成的四位数既是3的倍数又是5的倍数，这个数最大是多少？

解析：

3□2□=3825

答：这个数最大是3825。

【对应练习1】

32□□0是有两个相同数字的五位数，它同时是2、3和5的倍数，这个五位数最小是多少？

解析：32010

【对应练习2】

一个五位数27a8b，既能被3整除，又能被5整除，a与b可为哪些数字？

解析：

b=0，a为1、4、7

b=5，a为2、5、8

【对应练习3】

一个四位数9A4B 能同时被5和6整除，这个四位数是多少？

解析：

可能是9030、9330、9630、9930

【考点三】倍数特征的复杂应用二。

【方法点拨】

个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
个位上是0或5的数是5的倍数。

一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

【典型例题】

如果五位数□436□是45的倍数，那么这个五位数是多少？

解析：我们可以把45分解成9×5，这个五位数要是45的倍数，就一定能被5和9整除，是5的倍数，末尾的数字一定是0或5，还要满足各位数字之和是9的倍数。

当末尾数字填0时，首位数字填5，即54360

当末尾数字填5时，首位数字填9，即94365

答：这个五位数是54360和94365。

【对应练习1】

一个四位数8A1B能同时被5和6整除，这个四位数是多少？

解析：8010。

【对应练习2】

在358后面补上三个数字组成一个六位数，使它能被4、5、9整除，这个六位数最小是多少？

解析：358020。

【对应练习3】

一个六位数23A56A是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？

解析：A为8或0，所以，商为2620或2711。

【考点四】倍数特征的复杂应用三。

【方法点拨】

个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
个位上是0或5的数是5的倍数。

一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

【典型例题】

一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？

解析：这个自然数分别除以3、5、7余数都为2，那么这个数减去2就是3、5、7的倍数，即：

这个数是3、5、7的最小公倍数再加上2。

[3、5、7]=105

105+2=107

答：这个数最小是107。

【对应练习1】

已知某小学六年级学生超过100人，而不多于140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，也多3人，求出该校六年级的确切人数。

解析：

[12，8]=24

24×5+3=123（人）

答：略。

【对应练习2】

甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被5除余2，它们的差能被5整除，那么甲数被5除，余数是多少？

解析：

由题意，和被5除余2，则余数之和为2；差被5整除，则余数相同。

所以，甲的余数是1。

【对应练习3】

某数加上22的和除以9余4，这个数加上31的和除以9余几？

解析：余2。

【考点五】较复杂的猜数问题。

【方法点拨】

猜数问题综合性稍强，需要熟悉因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等的定义及一些特殊数。

【典型例题】

小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数不是0，且既不是质数也不是合数，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最大的一位数。小明家无线网络的密码是多少？

解析：249119

【对应练习1】

东东家电话号码前三位是521，第四位是最小的质数，第五位是最小的偶数，第六位是最小的奇数，末尾数字既是合数又是奇数，东东家电话号码是多少？

解析：5212019

【对应练习2】

“天宫二号”空间实验室发射的年份是一个四位数，千位上的数字是最小的质数，百位上的数字是最小的偶数，十位上的数字比最小的质数小1，个位上的数字比最小的合数大2。“天宫二号”是哪一年发射的？

解析：2016年

【对应练习3】

洪老师家的电话号码从左往右的数字依次是：①既是奇数又是合数的数；②既不是质数，也不是合数；③既是质数，又是偶数；④10以内最大的质数；⑤最小的合数；⑥最小奇数的5倍；⑦有因数3的偶数。

聪明的同学，你知道洪老师家的电话号码是多少吗？

解析：9127456

【对应练习4】

小明给自己的行李箱设置了四位数的简易密码，其中第一位数是最小的合数，第二位数是最小的偶数，第三位数是6的1.5倍，第四位数既不是质数也不是合数。行李箱的密码是多少？

解析：4091

【考点六】质数的复杂应用。

【方法点拨】

1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。2. 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。

3. 100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。

【典型例题1】

两个质数的和是99，这两个质数的乘积是多少？

解析：奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。两个质数的和是奇数，所以，一定有一个质数是偶数，偶数中只有2是质数。

99=2+97

97×2=194

答：这两个质数的乘积是 194。

【对应练习1】

两个质数的积是202，这两个质数的和是多少？

解析：由于两个质数的积是202，因此这两个质数不可以都是奇数，所以必有一个是2，可得：

所以这两个质数的和是：

答：这两个质数的和是103。

【对应练习2】

两个质数的和是20，积是91，这两个质数分别是多少？

解析：

7+13=20

7×13=91

答：这两个质数分别是7和13。

【对应练习3】

两个质数的和是39，求这两个质数的积。

解析：

2+37=74

2×37=74

答：略。

【典型例题2】

一块长方形的菜地的周长是28米，长和宽的米数是不同的质数。这块菜地的面积是多少平方米？

解析：

28÷2＝14（米）

14＝3＋11

3×11＝33（平方米）

答：这块菜地的面积是33平方米。

【对应练习1】

一块长方形菜地的周长是24米，长和宽都是以米为单位的整数，且都是质数，平均每平方米的菜地要施肥0.4千克。这块地共需施多少千克肥料？

解析：

长方形的长、宽之和：

24÷2＝12（米）

10以内的质数有2、3、5、7，且12＝7＋5，

所以这块长方形菜地的长是7米，宽是5米；

长方形的面积：

7×5＝35（平方米）

共需施肥：

0.4×35＝14（千克）

答：这块地共需施14千克肥料。

【对应练习2】

一个长方形的周长为20厘米。已知这个长方形的长和宽都是以厘米为单位的不同的质数。这个长方形的面积是多少平方厘米？

解析：

20÷2＝10（厘米）

10＝3＋7

3×7＝21（平方厘米）

答：这个长方形的面积是21平方厘米。

【对应练习3】

一个长方形草坪的周长是38米，它的长和宽的长度都是质数，这个草坪的面积是多少平方米？

解析：

38÷2＝19；

19＝17＋2

长方形的长是17米，宽是2米。

面积：17×2＝34（平方米）

答：这个草坪的面积是34平方米。

【考点七】分解质因数。

【方法点拨】

1.分解质因数：

指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。

例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。

2.注意：

①分解质因数是解决数论最有效最直接的途径；

②100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。

【典型例题】

在横线里填不同的质数。

42＝　   　×　   　×　   　

解析：2；3；7

【对应练习1】

将102分解质因数。

解析：102=2×3×17

【对应练习2】

将70分解质因数。

解析：70=2×5×7

【对应练习3】

找出1992所有的不同质因数，求出它们的和。

解析：

1992=2×2×2×3×83

2+3+83=88

答：略。

【考点八】通过分解质因数，找因数的个数。

【方法点拨】

如果一个比较简单的数已经分解为质因数，那么找这个数的因数个数，可以把该数求出来再找因数。

【典型例题】

已知甲数=2×3×5，那么甲数的因数共有多少个？

解析：8

【对应练习】

已知A=2×2×3，那么A的因数共有几个？

解析：6

【考点九】分解质因数的复杂应用。

【方法点拨】

该类题型首先分解质因数，再根据连续自然数的特点求出这些数。

【典型例题】

三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。

解析：210分解质因数：210=2×3×5×7

可知这三个数是5、6和7。

【对应练习1】

三个连续自然数的积是1716，这三个自然数是_____、_____、_____。

解析：

1716=2×2×3×11×13=11×(2×2×3)×13

由此可以看出这三个数是11，12，13。

答：三个连续自然数是11，12，13。

【对应练习2】

四个连续自然数的乘积是360，这四个自然数分别是多少？

解析：

360=2×2×2×3×3×5=3×4×5×6

答：这四个连续的自然数分别是3，4，5，6。

【对应练习3】

6个相邻自然数的乘积是60480，求这六个自然数。

解析：

60480=2×2×2×2×2×2×3×3×5×7=4×5×6×7×8×9

答：这六个自然数是4，5，6，7，8，9。

【考点十】利用分解质因数解决实际问题。

【方法点拨】

该类题型要注意题目中的限制条件，再根据分解质因数进行因数分解。

【典型例题1】

盒里有48块糖块，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？每次拿出多少个？

解析：

48=2×2×2×2×3

不一次拿出可以分为以下4组：

48=2×24=3×16=4×12=6×8

答：有8种不同拿法，每次分别拿出2、3、4、6、8、12、16、24个。

【对应练习1】

五（3）班共有40名学生，现在要把这些学生分成人数相等的若干小组（不能分成40组），有几种分法？每组最多有多少人？

解析：

40=2×20=4×10=5×8=8×5=10×4=20×2

答：有6种分法，每组最多20人。

【对应练习2】

把63个玻璃球装在几个盒子里，每个盒子装得同样多，刚好装完．

（1）有几种装法？（列出算式）

（2）如果有67个球呢？

解析：（1）6种；（2）67=1×67，2种装法。

【对应练习3】

把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？

解析：

先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。

【典型例题2】

有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？

解析：先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。

【对应练习1】

有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。有哪几种分法？

解析：因为60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60；又因为每组不少于6人，也不能多于15人，只有6，10，12，15，共4种分法：当每组是6人时，可以分成10组；当每组是10人，可以分成6组；当每组是12人时，可以分成5组；当每组是15人时，可以分成4组。

【对应练习2】

把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。

解析：先把462分解质因数，再用质因数相乘使积在10到25之间。

462=2×3×7×11

根据题目要求，应在2，3，7和11中选用若干个数，使它们的乘积在10到25之间，于是得三种答案：

（1）2×7=14，,每组11人，分为33组；

（2）3×7=21，每组21人，分为22组；

（3）2×11=22，每组22人，分为21组。

【对应练习3】

学生1430人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数在100至200之间,问有哪几种分法?

解析：

1430=2×5×11×13

①2×5×11=110（人），即每队110人，分13队；

②2×5×13=130（人），即每队130人，分11队；

③11×13=143（人），即每队143人，分10队。