初中北师大版第四章 一次函数4 一次函数的应用当堂达标检测题

第9讲  一次函数的应用

知识点1 一次函数的解析式

用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下：

①设一次函数解析y=kx+b(k≠0)；

②代入两个已知点的坐标，得到关于k、b的方程组；

③解方程组得到k、b的值；

④写出一次函数的解析式.

若一次函数为正比例函数，则b=0，只需代入一个点的坐标，求出系数k即可.

【典例】

1.已知一次函数y=kx+b经过点（1，1），（2，﹣4），则一次函数的解析式为__________.

2.下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹跳高度x的关系，求y与x之间的函数解析式.

3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l的解析式.

【方法总结】

典例1直接将两点坐标代入解析式，联立组成方程组，解方程组即可；典例2需要先设出解析式，再代入两点坐标；典例3中的l过原点，为正比例函数，先由图形的面积关系求出直线l上一点的坐标，再代入即可求出解析式.

待定系数法是求一次函数解析式的主要方法，解题关键是找到或求出直线上的两点（正比例函数为一个点）的坐标.

【随堂练习】

1．（2018秋•奉化区期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，以线段为边在第一象限内作等腰，．

（1）求点、的坐标；

（2）求过、两点的直线的解析式．

2．（2018秋•淮安区期末）已知是的一次函数，表中给出了部分对应值．

（1）求该一次函数的表达式；

（2）求、的值．

3．（2019春•滦州市期末）直线与轴交于点，与轴交于点．

（1）求直线的表达式．

（2）若直线上有一动点，且，求点的坐标．

4．（2019春•莆田期末）已知与成正比例，且时，．

（1）求与的函数关系式；

（2）当时，求的值；

（3）将所得函数图象平移，使它过点．求平移后直线的解析式．

5．（2019春•凉州区期末）如图，点的坐标为，，点的坐标为．

（1）求过，两点直线的函数表达式；

（2）过点作直线与轴交于点，且使，求的面积．

6．（2019春•新蔡县期末）如图，直线经过点，和点．

（1）求直线的解析式；

（2）求直线与坐标轴的交点坐标；

（3）求．

7．（2019春•莘县期末）已知与成正比例．

（1）是关于的一次函数吗？请说明理由；

（2）如果当时，，求关于的函数表达式．

8．（2019春•寿县期末）如图，一次函数的图象经过、两点，与轴相交于点．求：

（1）此一次函数的解析式；

（2）的面积．

知识点2 一次函数的图形变换

图形变换的三种方式：平移、对称、旋转.

一次函数平移的方法：左加右减，上加下减.

一次函数图象的常见对称变换：

对于直线y=kx+b（k≠0，且k，b为常数），

①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；

②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；

③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b（关于原点对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）．

【典例】

1.将一次函数y=﹣2x﹣2的图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式为________________.

2.在平面直角坐标系中，将直线y=5x+6先关于x轴作轴对称变换，再将所得直线关于y轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是_______________.

3.把一次函数y=x+1的图象绕点（1，0）旋转180°，求所得直线的函数解析式.

【方法总结】

求平移和特殊对称后一次函数的解析式比较简单，按照法则将解析式做变换即可.求关于某点旋转后的一次函数的解析式，一般需要找到原来函数图像上的两点，求出这两点关于某点旋转后的坐标，再用待定系数法确定旋转后的一次函数的解析式.

【随堂练习】

1．（2019春•内黄县期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，以为底边在轴右侧作等腰，将沿轴折叠，使点恰好落在直线上，则点的坐标为　　

A． B． C． D．

2．（2019•岐山县一模）直线关于轴对称的直线是　　

A． B． C． D．

二．填空题（共3小题）

3．（2019•盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是　　．

4．（2019•淄川区一模）直线与直线的图象关于轴对称，若直线的表达式为，则直线的表达式为　　．

5．（2019•高邮市一模）若把一次函数的图象先绕着原点旋转，再向左平移2个单位长度后，恰好经过点和点，则原一次函数的表达式是　　．

6．（2018•莆田一模）规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．

求出直线的“旋转垂线”的解析式；

若直线的“旋转垂线”为直线．求证：．

7．（2017秋•高淳区期末）已知平移一次函数的图象过点后的图象为．

（1）求图象对应的函数表达式，并画出图象；

（2）求一次函数的图象与及轴所围成的三角形的面积．

8．（2018秋•山亭区期中）已知一次函数，当时，．

（1）求一次函数的解析式；

（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与坐标轴围成的三角形面积．

（3）观察图象回答，当　　 时，．

9．（2015春•洪山区期末）（1）将直线向右平移3个单位长度的解析式为　　；

（2）直线关于直线对称的直线解析式为　 　．

知识点3 简单的实际问题

常见的关于一次函数的实际问题的模型有：

①单个一次函数，包括简单的行程问题、销售问题、弹簧伸长问题等；

②分段函数，包括阶梯电价、阶梯水费等；

③两个一次函数，包括追及问题、相遇问题等.

【典例】

1.甲、乙两名大学生骑一辆电动车从学校出发到某乡镇进行社会调查，出发行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车继续步行前往乡镇，乙骑电动车按出发时速度的2倍按原路返回，乙到学校用了5分钟取到相机，然后按出发时的速度在距乡镇22.5千米处追上甲后同车前往乡镇．如图是甲、乙距学校的距离为y（千米）与出发的时间为x（分）的函数关系式．

（1）求线段CD对应函数关系式；

（2）求甲步行的速度．

2.某城市电业局为鼓励居民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，居民应交电费y（元）与用电量x（度）的函数关系如图所示．

（1）分别求出当0≤x＜50和x≥50时，y与x的函数解析式；

（2）若某居民该月用电65度，则应交电费多少元？

【方法总结】

解题时运用一次函数的性质，把实际问题与函数图象结合进行分析，从函数图象中获取实际问题中的数据，把实际问题中的数据转化为函数图象中的点的坐标，并且运用一次函数图象描述实际问题．解题的关键在于读懂题意，并用待定系数法求函数的解析式．

【随堂练习】

1．（2018•绍兴）一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y（升）关于加满油后已行驶的路程x（千米）的函数图象．

（1）根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；

（2）求y关于x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程．

2．（2018•长春）某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．

（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．

（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．

（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是____立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为___分钟．

3．（2018•绥化）端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m千米的速度匀速行驶，途中体息了一段时间后，仍按照每小时m千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程y甲（km），y乙（km）与时间x（h）之间的函数关系的图象．请根据图象提供的信息，解决下列问题：

（1）图中E点的坐标是_____，题中m=___km/h，甲在途中休息___h；

（2）求线段CD的解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20km？

知识点4 方案、决策问题

【典例】

1.某通讯公司推出了A，B两种上宽带网的收费方式（详情见下表）．

设月上网时间为x h（x为非负整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：

（1）设方案A的收费金额为y1元，方案B的收费金额为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数解析式；

（2）当35＜x＜50时，选取哪种方式能节省上网费？请说明理由．

【方法总结】

第（1）问根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解；第（2）问当35＜x＜50时，计算出y1﹣y2的值，根据一次函数的性质即可得出答案．

此题考查了一次函数的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，正确理解收费标准求出函数解析式是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2019•合浦县二模）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利情况如表所示：

已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完．

（1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？

（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工．

①试求出销售利润元与精加工的蔬菜吨数之间的函数关系式；

②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？

2．（2019•枣阳市模拟）受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：

（1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元，则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？

（2）设从甲养殖场调运鸡蛋斤，总运费为元，试写出与的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？

3．（2019春•陆川县期末）我市某游乐场在暑假期间推出学生个人门票优惠活动，各类门票价格如下表：

某慈善单位欲购买三种类型的门票共100张奖励品学兼优的留守学生，设购买种票张，种票张数是种票的3倍还多7张，种票张，根据以上信息解答下列问题：

（1）直接写出与之间的函数关系式；

（2）设购票总费用为元，求（元与（张之间的函数关系式；

（3）为方便学生游玩，计划购买学生的夜场票不低于20张，且节假日通票至少购买5张，有哪几种购票方案？哪种方案费用最少？

4．（2019•长沙模拟）某公司有型产品40件，型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元如下表：

（1）设分配给甲店型产品件，这家公司卖出这100件产品的总利润为（元，求关于的函数关系式，并求出的取值范围；

（2）若公司要求总利润不低于17560元，有多少种不同分配方案，哪种方案总利润最大，并求出最大值．

5．（2019春•恩施市期末）武汉市某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的费用（元与印刷份数（份之间的关系如图所示：

（1）求甲、乙两种收费方式的函数关系式；

（2）当印刷多少份学案时，两种印刷方式收费一样？

6．（2019春•番禺区期末）某景点的门票销售分两类：一类为散客门票，价格40元张，另一类为团体门票（一次性购买门票10张及以上），每张门票价格在散客价格基础上打8折．某班部分同学要去景点旅游，设参加旅游人，购买门票需要元．

（1）如果每人分别买票，求与之间的函数解析式．

（2）如果买团体票，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

（3）请根据人数变化设计一种比较省钱的购票方案．

   综合运用

1.下表是弹簧挂重后的总长度L（cm）与所挂物体重量x（kg）之间的几个对应值，则可以推测L与x之间的关系式是________________.

2.在平面直角坐标系中，将直线l1：y=﹣2x+4平移后得到直线l2，l2与x轴交于点（4，0），则平移方式可以是_______________.

3.如图，在直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，求这条直线的解析式．

4.求下列一次函数的解析式：

（1）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式；

（2）直线y=2x+1绕原点旋转180°后的直线解析式是_____________；

5.已知四条直线y=kx﹣3（k<0），y=﹣1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，求k的值.

6.长春和吉林两地之间的铁路交通设有特快列车和普通快车两种车次，某天一辆普通快车从长春出发匀速驶向吉林，同时另一辆特快列车从吉林出发匀速驶向长春，两车与长春的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系如图所示．

（1）长春到吉林的距离为_________千米，普通快车到达吉林所用时间为_________小时;

（2）求特快列车与长春的距离s与t之间的函数解析式;

（3）在长春、吉林两地之间有一座铁路桥，特快列车到铁路桥后又行驶0.5小时与普通快车相遇，求长春与铁路桥之间的距离．

7.如图，购买一种苹果，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次每次购买1千克这种苹果可节省多少元？

8.为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．

（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；

（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？

9.如图，四边形OABC是长方形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若OC=，A点坐标为（，0），求线段AD所在直线的解析式．