初中数学北师大版七年级上册2.6 有理数的加减混合运算练习

这是一份初中数学北师大版七年级上册2.6 有理数的加减混合运算练习，文件包含北师大版初一数学上册秋季班讲义第5讲有理数的混合运算--尖子班教师版docx、北师大版初一数学上册秋季班讲义第5讲有理数的混合运算--尖子班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
第5讲  有理数的混合运算知识点1 常规计算 有理数混合运算的运算顺序：1、   先乘方，再乘除，最后加减；2、   同级运算，从左到右进行；3、   如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.【典例】1.计算：（1）（﹣1）3﹣×[2﹣（﹣3）2]；（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×；（3）×（﹣2）3÷（﹣2）2﹣2×|（﹣1）2017×+1|. 【方法总结】根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．注意：绝对值符号有括号的作用.【随堂练习】1．（2017秋•罗平县期末）计算（1）[1﹣（﹣+）×24]÷（﹣5）；（2）﹣12018+|2﹣11|×（﹣）2﹣（﹣2）÷ 　2．（2017秋•江阴市期末）计算：（1）（+）+（﹣）﹣|﹣3|（2）﹣22+3×（﹣1）2017﹣9÷（﹣3） 　3．（2017秋•滨海新区期末）计算：（Ⅰ）4×（）×5；（Ⅱ）2﹣23÷|﹣2|×（﹣7+5） 　4．（2017秋•鄂城区期末）计算：（1）×（﹣9）﹣36×（）（2）（）×（﹣6）+（﹣）2÷（﹣）3 　知识点2 运算律、规律计算有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律.【典例】1.计算：（1）﹣14﹣（﹣+）×24；               （2）×（﹣5）+（﹣）×9﹣×8；（3）|4﹣4|+（）﹣（+5）． 【方法总结】本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键．2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题．1+3=4=22;1+3+5=9=32;1+3+5+7=16=42;1+3+5+7+9=25=52;（1）试猜想1+3+5+7+9+…+19=_________;（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）=_________；（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…+2015+2017. 【方法总结】通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据此规律可解答（1）（2）两题；用从1开始到2011的和减去从1开始到999的和，然后列式进行计算即可得第（3）题的答案．本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题的关键，也是本题的难点．【随堂练习】1．（2018•合肥模拟）阅读材料：求31+32+33+34+35+36的值解：设S=31+32+33+34+35+36①则3S=32+33+34+35+36+37②用②﹣①得，3S﹣S=（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）=37﹣3∴2S=37﹣3，即S=∴31+32+33+34+35+36=以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：（一）棋盘摆米这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了（1）国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_____粒米（用幂表示）（2）设国王输给阿基米德的米粒数为S，求S（二）拓广应用：1．计算：+++…+（仿照材料写出求解过程）2．计算：+++…+=________（直接写出结果）  　2．（2017秋•宿州期末）观察下列计算，，，……（1）第 5 个式子是_________；（2）第 n 个式子是_________；（3）从计算结果中找规律，利用规律计算 3．（2017秋•娄星区期末）观察下列等式：=1﹣，=﹣，=﹣．可得：++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=（1）猜想并写出：=_____﹣_______．（2）利用上述猜想计算：+++…+．　　　（3）探究并计算：+++…+． 　知识点3 求代数式的值重要结论：     互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；     互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；     最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；【典例】1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．试求x2+（a+b+cd）x+（a+b）2017+（﹣cd）2017﹣m2017的值． 【方法总结】首先根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，可得：a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0；然后代入代数式计算即可．此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则.【随堂练习】1．（2017秋•虎林市校级期中）已知a、b互为相反数且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求m2﹣﹣cd的值． 　2．（2017秋•泗阳县期中）已知a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得16的数．求代数式（ab）2017﹣﹣m3的值．  知识点4 实际应用利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：1. 审：审清题意,找出数量关系；2. 列：根据所找的数量关系列出算式；3. 算：根据运算法则计算出算式的结果；4. 答：给出题目要求的答案.【典例】1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．  【方法总结】（1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具20﹣4=16（个）；（2）先分别把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；（3）先计算每天的工资，再相加即可求解；（4）先计算超额完成了几个玩具，然后再计算工资．本题考查了正数与负数、有理数加减混合运算，读懂表格数据、根据题意准确列式是解题的关键．【随堂练习】1．（2017秋•无锡期中）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：星期一二三四五六日增减产值+10﹣12﹣4+8﹣1+60（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具　　个；（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具　　个；（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 　2．（2017秋•简阳市期中）“十•一”黄金周期间，武汉东湖风景区在7天假期中每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前天少） 日期1日2日3日4日5日 6日7日人数变化单位：万人+1.8﹣0.6+0.2﹣0.7﹣1.3+0.5﹣2.4（1）若9月30日的旅客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为___万人；（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多_____万人（3）如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？ 3．（2017秋•天宁区校级月考）气象统计资料表明，某一地区当高度每增加100米，气温就降低大约0.6℃．（1）若测得该地区某山在山脚的气温是2℃，则距离山脚有600米高的山腰气温是____℃．（2）在一次社会实践中，小明和小林欲考证该地区某山顶的海拔高度．他俩进行实地测量，小明在山下一海拔高度为11米的小山坡上测得气温为24℃，小林在最高位置测得气温为14.4℃．根据测量的数据，请你列式计算该山顶的海拔高度．  知识点5 流程图计算初中阶段的流程图一般由方框和带箭头的线（直线和折线）组成.方框里是逻辑运算，箭头表示进行运算的顺序.箭头指向某个方框说明需要将上一步的结果进行方框里的逻辑运算.【典例】1.如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5，则输出的结果为________. 【方法总结】此题主要考查了流程图的计算，解题的关键在于弄懂流程图每一步是做什么运算.注意：流程图的每个逻辑运算都是独立的，一定要按箭头方向一步一步计算.将流程图转化为算式的时候，应该加括号的地方要补上括号，不要弄错运算顺序.【随堂练习】1．（2017秋•港闸区期末）如图，按下列程序进行计算，经过三次输入，最后输出的数是 12，则最初输入的数是_____． 　2．按如图程序计算：输入x=2，则输出的答案是______． 　3．（2017秋•安徽月考）按照如图所示的操作步骤，若输入值为﹣3，则输出的值为_____．  3.（2017秋•台州期中）如图所示的运算程序中，用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）（1）①如图1，当输入数x=﹣4时，输出数y=____；②如图2，第一个运算框“”内，应填____；第二个运算框“”内，应填___；（2）①如图3，当输入数x=﹣2时，输出数y=___；②如图4，当输出的值y=26，则输入的值x=____．；（3）某市为鼓励居民节约用电，决定对居民用电实行“阶梯价”：当每户每月用电量不超过190度时（含100度），以0.5元/度的价格收费；当每户每月用电量超过100度时，其中100度以0.5元/度的价格收费，超过部分以0.8元/度的价格收费．请设计出一个如题中的“计算框图”，使得输入数为用电量x（度），输出数为电费y（元）  知识点6 新定义定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.解定义新运算问题，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义，然后严格按照新定义运算的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.【典例】1.阅读下列内容，并完成相关问题：小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+4）❈（+2）=+6；（﹣4）❈（﹣3）=+7；（﹣5）❈（+3）=﹣8；（+6）❈（﹣7）=﹣13；（+8）❈0=8；0❈（﹣9）=9．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，____________________________________．特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，_________________．（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）” 【方法总结】（1）根据题目给出的❈（加乘）运算的算式，结合之前所学的加减乘除四则运算的运算法则，即可归纳出❈（加乘）运算的运算法．（2）根据（1）中总结出的❈（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，即可求出[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]的值．（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用，任取两个数a，b，通过计算说明a❈b= b❈a（或任取三个数a，b，c，通过计算说明a❈b❈c= a❈（b❈c））即可．此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序并注意运算定律的应用．【随堂练习】1．（2017秋•余姚市期末）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为an（n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，a1=2，a2=4，a3=6，a4=8，a5=10．规定运算sum（a1：an）=a1+a2+a3+…+an．即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，sum（a1：a3）=2+4+6=12．（1）已知一列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，则a3=___，sum（a1：a10）=_____．（2）已知这列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，…，按照规律可以无限写下去，则a2018=____，sum（a1：a2018）=______．（3）在（2）的条件下否存在正整数n使等式|sum（a1：an）|=50成立？如果有，写出n的值，如果没有，说明理由． 　2．（2017秋•朝阳区期末）对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b=a（a+b）﹣1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）﹣1=13；（﹣3）⊙（﹣5）=﹣3×（﹣3﹣5）﹣1=23．（1）求（﹣2）⊙3的值；（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3=20，写出你定义的运算：m⊕n=______（用含m，n的式子表示）．     综合集训1.如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为2，输入y的值为﹣2，则输出的结果为__________． 2.如图，这是一个运算的流程图，输入正整数x的值，按流程图进行操作并输出y的值．例如，若输入x=10，则输出y=5．若输出y=3，则输入的x的值为___________． 3.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则m﹣cd+值为_________. 4.计算：（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣）；（2）（）÷（﹣）×；（3）﹣14﹣（1﹣0.5）÷×[2﹣（﹣3）2]；（4）. 5.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道：=1﹣，=﹣，=﹣，=﹣，……那么：（1）=；（2）用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律；（3）计算：+++……． 6.观察下列各式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；…（1）请写出第5条等式；（2）说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系？（3）利用上述规律，计算13+23+33+43+…+1003的值． 7.为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．居民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第二阶梯为181﹣260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上用水量，水价为9元/每立方米．如表所示：根据以上材料解决问题：若小明家在2017年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由． 8.【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地， 把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈 n次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：2③=，（﹣）⑤=；（2）关于除方，下列说法错误的是，【选项A】任何非零数的圈2次方都等于1；          【选项B】对于任何正整数n，1ⓝ=1；【选项C】3④=4③；  【选项D】负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④=_____________； 5⑥=_________；（﹣）⑩=_________________．（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于_____________________；（3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑤﹣（﹣）⑥÷33．