北师大版七年级上册第三章 整式及其加减3.5 探索与表达规律测试题

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知识点1：规律探究之数字变化
数字的变化问题一般有找循环周期、等差数列、等比数列、平方数等类型。
【典例】
1.如图，是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以O为起点结六条线OA，OB，OC，OD，OE，OF后，再从线OA上某点开始按逆时针方向依次在OA，OB，OC，OD，OE，OF，OA，OB…上结网，若将各线上的结点依次记为：1，2，3，4，5，6，7，8，…，那么第2016个结点在（ ）
线OA上 B. 线OB上 C. 线OC上 D. 线OF上
【解析】解：根据数的排布发现：1在OA上，2在OB上，3在OC上，4在OD上，5在OE上，6在OF上，7在OA上，…，
射线上的数字以6为周期循环，
∵2016÷6=336，
∴2016与6在同一条射线上，即2016在射线OF上．故选：D
【方法总结】
遇到循环节问题首先找到循环节（循环周期）是什么，循环节可以通过将图形中的元素一一列举得到；其次要找到所求元素所在的循环节；最后找到在循环节中的位置。
2.一组数23，45，67，89…按一定的规律排列着，请你根据排列规律，推测这组数的第10个数应为_____
【解析】解：设该数列中第n个数为an（n为正整数），
观察，发现规律：a1=23，a2=45，a3=67，a4=89，…，
∴an=2n2n+1．
当n=10时，a10=2×102×10+1=2021．
【方法总结】
等差数列问题首先找出公差，即后一项与前一项的差，其次用第一项与公差、序号来表示每一项；遇到分数数列，如果找不到公差，可以考虑将分子、分母作为两个不同的数列分别找出其中的规律，最后确定数字的正负与序号奇偶的关系。
3.下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第2008个数是_______
【解析】解：第1个数1=1，
第2个数2=21，
第3个数4=22，
第4个数8=23，
第5个数16=24，
…，
第2008个数是：22007．
【方法总结】
等比数列问题首先找出后一项与前一项的比值；其次通过列举观察、用第一个数字和公比来表示每一个数字。
4.按一定的规律排列的一列数依次为：﹣2，5，﹣10，17，﹣26，…，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n个数（n为正整数）分别是______
【解析】解：根据数值的变化规律可得：
第1个数：﹣2=（﹣1）1（12+1）．
第2个数：5=（﹣1）2（22+1）．
第3个数：﹣10=（﹣1）3（32+1）．
∴第9个数为：（﹣1）9（92+1）=﹣82
第n个数为：（﹣1）n（n2+1）．
【方法总结】
平方数问题要找准数列的序数与每一个数字的平方关系。解决这种问题首先将序数平方；其次对比序列中每一个数字的绝对值与序数平方的大小关系；最后确定数字的正负与序数奇偶的关系。
5.填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a，b的值分别为____
【解析】解：答案正方形中的四个数：
∵第一个正方形中0+3=3，0+4=4，3×4+1=13；
第二个正方形中2+3=5，2+4=6，5×6+1=31；
第三个正方形中4+3=7，4+4=8，7×8+1=57．
∴c=6+3=9，a=6+4=10，b=9×10+1=91．
【方法总结】
规律表格问题首先找出表格内部各数字之间的关系，其次表示出相邻两个表格内相同位置的数字的关系，通常找最小数字之间的关系。
【随堂练习】
1．（2018秋•诸暨市期末）13个小朋友围成一圈做游戏，规则是从某一个小朋友开始按顺时针方向数数，数到第13，该小朋友离开；这样继续下去，直到最后剩下一个小朋友．小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从 7 号小朋友开始数起．
【解答】解：据题意分析可得：如果从1号数起，离开的分别为：13、1、3、6、10、5、2、4、9、11、12、7．最后留下的是8号．因此，想要最后留下1号，即将“8”倒推7位，那么数字“1”也应该倒推7位，得到的数是“7”．
故答案为：7．
二．解答题（共4小题）
2．（2019春•宜兴市期中）观察下列各式：
1×5+4＝32…………①
3×7+4＝52…………②
5×9+4＝72…………③
……
探索以上式子的规律：
（1）试写出第6个等式；
（2）试写出第n个等式（用含n的式子表示），并用你所学的知识说明第n个等式成立．
【解答】解：（1）第6个等式为11×15+4＝132；
（2）由题意知（2n﹣1）（2n+3）+4＝（2n+1）2，
理由：左边＝4n2+6n﹣2n﹣3+4＝4n2+4n+1＝（2n+1）2＝右边，
∴（2n﹣1）（2n+3）+4＝（2n+1）2．
3．（2018春•商水县期末）有一列数，按下表中的规律排列．
（1）用含有n的式子表示第n个对应数；
（2）若相邻三个数的和等于1701，这三个数各是多少？
【解答】解：（1）第1个数：﹣1＝﹣30，
第2个数：3＝31，
第3个数：﹣9＝﹣32，
…
第n个对应数为：（﹣1）n3n﹣1；
（2）设相邻三个数的第1个数是x，则第2个数是﹣3x，第3个数是9x，
依题意得：x﹣3x+9x＝1701，
x＝243，
所以这三个数分别为：243，﹣729，2187．
4．（2019•拱墅区校级模拟）已知a，b互为相反数，
（1）计算：a+b，a2﹣b2，a3+b3，a4﹣b4，……的值．
（2）用数学式子写出（1）中的规律，并证明．
【解答】（1）∵a＝﹣b，
∴a+b＝0，
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝0，
a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）＝0，
a4﹣b4＝（a2﹣b2）（a2+b2）＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2）＝0
…
（2）通过上面的计算可得：an+（﹣1）n+1bn＝0
证明：①当n为奇数时，
an+（﹣1）n+1bn＝an+bn，
∵由杨辉三角知an+bn总可以表示为（a+b）乘以一个整式的积的形式，
∴an+bn＝0，
②当n为偶数时，设n＝2m，m为整数，
an+（﹣1）n+1bn＝an﹣bn
＝a2m﹣b2m
＝（am）2﹣（bm）2
＝（am﹣bm）（am+bm）
而（am﹣bm）（am+bm）也是最终总可以表示为（a+b）和一个整式的乘积，
∴若a＝﹣b，an+（﹣1）n+1bn＝0成立．
5．（2019春•东台市校级月考）（1）填空21﹣20＝2 0 ；22﹣21＝2 1 ；23﹣22＝2 2
（2）请用字母表示第n个等式，并验证你的发现．
（3）利用（2）中你的发现，求20+21+22+23+…+22016+22017的值．
【解答】解：（1）21﹣20＝1＝20，22﹣21＝2＝21，23﹣22＝4＝22，
故答案为：0，1，2；
（2）2n﹣2n﹣1＝2n﹣12n﹣2n﹣1＝2×2n﹣1﹣2n﹣1＝（2﹣1）2n﹣1＝2n﹣1；
（3）20+21+22+23+…+22016+22017＝21﹣20+22﹣21+23﹣22+…+22018﹣22017
＝22018﹣1．
知识点2：规律探究之图形变化
图形变化规律题是数字变化规律的变形和综合，涉及到数字规律的各个公式。在完成该类题型的时候也要将序号与图形个数联系，尝试从等差、等比、平方数等各种数列的规律中寻找突破口。
【典例】
1.下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个圆，第②个图形中一共有8个圆，第③个图形中一共有14个圆，第④个图形中一共有22个圆，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中圆的个数是______
【解析】解：观察图形可知，每个图形的最上面都有两个圆圈，而下面的圆圈分布分别是：2、2×3、3×4、4×5
即第①个图形中一共有1×（1+1）+2=4个圆，
第②个图形中一共有2×（2+1）+2=8个圆，
第③个图形中一共有3×（3+1）+2=14个圆，
第④个图形中一共有4×（4+1）+2=22个圆；
可得第n个图形中圆的个数是n（n+1）+2；
所以第⑨个图形中圆的个数9×（9+1）+2=92，
【方法总结】
该题解题时可以先从不同角度尝试，纵向切割后得到的数字跟序号联系得不到明显的规律，所以需要从横向切割，发现最上面的都是两个圆，下面的行和列呈现自然数列相乘。
【随堂练习】
1．（2019春•郾城区期末）如图是用火柴棒拼成的一组图形，第①个图形有3根火柴棒，第②个图形有5根火柴棒第③个图形有7根火柴棒，第④个图形有9根火柴棒，．．按此规律拼下去，则第2019个图形需 4039 火柴棒．
【解答】解：根据图形可得出：
当三角形的个数为1时，火柴棒的根数为3；
当三角形的个数为2时，火柴棒的根数为5；
当三角形的个数为3时，火柴棒的根数为7；
当三角形的个数为4时，火柴棒的根数为9；
…
由此可以看出：当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为3+2（n﹣1）＝2n+1．
当n＝2019时，2n+1＝2×2019+1＝4039，
故答案为：4039．
2．（2019•新宾县模拟）连结正方形四边中点所构成的正方形，我们称其原正方形的中点正方形，如图，已知正方形ABCD的中点正方形是A1B1C1D1，再作正方形A1B1C1D1的中点正方形A2B2C2D2，…这样不断地作下去，第n次所做的中点正方形 AnBn∁nDn，若正方形ABCD的边长为1，则第10次所作的中点正方形边长为 ，若设中点正方形 AnBn∁nDn的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S10＝ ．
【解答】解：观察，发现规律：AB＝1，A1B1＝AB＝，A2B2＝A1B1＝，A3B3＝A2B2＝，…，
∴AnBn＝．
当n＝10时，A10B10＝＝．
设S1+S2+S3+…+S10＝+++…+＝S，则S＝++…++，
∴S﹣S＝﹣＝，
∴S＝．
故答案为：；．
二．解答题（共4小题）
3．（2018秋•乐亭县期末）某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示，请仔细观察并找出规律，解答下列问题：
（1）按照此规律，摆第n图时，需用火柴棒的根数是多少？
（2）求摆第50个图时所需用的火柴棒的根数；
（3）按此规律用1202根火柴棒摆出第n个图形，求n的值．
【解答】解：（1）第n个图需要的火柴棒根数为：8+6（n﹣1）＝6n+2．
（2）当n＝50时，6n+2＝6×50+2＝302（根）
即摆第50个图时需用火柴棒302根．
（3）6n+2＝1202，
解得：n＝200．
∴用1202根火柴棒摆出第n个图形，n为200．
4．（2018•黔西南州）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1＝6个；图2中黑点个数是6×2＝12个：图3中黑点个数是6×3＝18个；……；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是 60个 、 6n个 ．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有 61 个圆圈；第n个点阵中有 （3n2﹣3n+1） 个圆圈．
（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．
【解答】解：图10中黑点个数是6×10＝60个；图n中黑点个数是6n个，
故答案为：60个，6n个；
（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，
第2个点阵中有：2×3+1＝7个，
第3个点阵中有：3×6+1＝19个，
第4个点阵中有：4×9+1＝37个，
第5个点阵中有：5×12+1＝61个，
…
第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1＝3n2﹣3n+1，
故答案为：61，3n2﹣3n+1；
（2）3n2﹣3n+1＝271，
n2﹣n﹣90＝0，
（n﹣10）（n+9）＝0，
n1＝10，n2＝﹣9（舍），
∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．
5．（2018秋•建邺区校级期末）归纳
人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学里，我们也常用这样的方法探求规律，例如：三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以（n+3）个点为顶点画三角形，那么最多以剪得多少个这样的三角形？
为了解决这个问题，我们可以从n＝1、n＝2、n＝3等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律．
（1）完成表格信息： 5 、 7 ；
（2）通过观察、比较，可以发现：
三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加 2 个．
于是，我们可以猜想：当三角形内的点的个数为n时，最多可以剪得 （2n+1） 个三角形．
像这样通过对现象的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
在日常生活中，人们互相交谈时，常常有人在列举了一些现象后，说“这（即列举的现象）说明……”其实这就是运用了归纳的方法．
用归纳的方法得出的结论不一定正确，是否正确需要加以证实．
（3）请你尝试用归纳的方法探索（用表格呈现，并加以证实）：1+3+5+7+…+（2n﹣1）的和是多少？
【解答】解；（1）由图形规律可得，答案为5，7；
（2）∵5﹣3＝7﹣5＝2，
∴三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加2个；
∵三角形内点的个数为1时，最多剪出的小三角形个数3＝2×1+1，
三角形内点的个数为2时，最多剪出的小三角形个数5＝2×2+1，
三角形内点的个数为3时，7最多剪出的小三角形个数7＝2×3+1，
∴三角形内点的个数为n时，最多剪出的小三角形个数2n+1．
故答案为2，（2n+1）；
（3）
证明：∵S＝1+3+5+7+…+（2n﹣5）+（2n﹣3）+（2n﹣1）
∴S＝（2n﹣1）+（2n﹣3）+（2n﹣5）+…+7+5+3+1
∴S+S＝2n•n＝2n2
2S＝2n2
S＝n2
6．（2018秋•平度市期末）【问题】如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？
【探究】
探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2＝＝3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为3×1×1＝3．
（2）如图③，在3×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+3＝＝6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为6×1×1＝6．
（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上共有1+2+…+a＝线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体的个数为 ．
探究二：
（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有1+2＝＝3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为×3×1＝．
（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有1+2+3＝＝6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体的个数为 3a（a+1） ．
（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为 ．
探究三：
（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有
条线段，棱AD上有1+2＝＝3条线段，则图中长方体的个数为××3＝．
（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块组成的长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有1+2+3＝＝6条线段，则图中长方体的个数为 ．
【结论】如图①，在a×b×c个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为 ．
【应用】在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为 180 ．
【拓展】
如果在若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．
【解答】解：探究一、（3）棱AB上共有线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，
则图中长方体的个数为×1×1＝，
故答案为：；
探究二：（5）棱AB上有条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，
则图中长方体的个数为×6×1＝3a（a+1），
故答案为3a（a+1）；
（6）棱AB上有条线段，棱AC上有条线段，棱AD上只有1条线段，
则图中长方体的个数为××1＝，
故答案为；
探究三：（8）棱AB上有条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有6条线段，
则图中长方体的个数为 ××6＝，
故答案为‘；
【结论】棱AB上有条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有条线段，
则图中长方体的个数为 ××＝，
故答案为；
【应用】由【结论】知，，
∴在2×3×4个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为＝180，
故答案为为180；
拓展：设正方体的每条棱上都有x个小立方体，即a＝b＝c＝x，
由题意得
＝1000，
∴[x（x+1）]3＝203，
∴x（x+1）＝20，
∴x1＝4，x2＝﹣5（不合题意，舍去）
∴4×4×4＝64
所以组成这个正方体的小立方块的个数是64．
综合运用
1.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是_________．
【解析】解：第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子2×3﹣3个，
第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子3×4﹣4个，
第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子4×5﹣5个，
…
则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n（n+2）．
故答案为：n（n+2）．
2.观察如图给出的四个点阵，请按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数为_________个．
【解析】解：由上图可以看出4个点阵中点的个数分别为：1、5、9、13
且5﹣1=4、9﹣5=4，、13﹣9=4，
所以上述几个点阵中点的个数呈现的规律为：每一项都比前一项多4，
即：第n个点阵中点的个数为：1+4（n﹣1）=4n﹣3．
故答案为：4n﹣3
【难度】中
【结束】
3.根据图中数字的规律：
在空格中填上适当的数字是_________．
【解析】解：左下角规律：2=1×1+1，5=2×2+1，10=3×3+1，17=4×4+1
右边规律：5=2×2+1，12=5×2+2，23=10×2+3，
所以17=4×4+1，17×2+4=38．
故答案为：左下角数字：17；右边数字：38．
4.下面是按一定规律排列的一列数：23，﹣45，87，﹣169…那么第8个数是_________．
【解析】解：设第n个数为anbn（n为正整数）．
∵a1=2，a2=﹣4，a3=8，a4=﹣16，…，
∴an=﹣（﹣2）n；
∵b1=3，b2=5，b3=7，b4=9，…，
∴bn=2n+1．
∴第8个数是a8b8=-(-2)82×8+1=﹣25617．
故答案为：﹣25617．
5.观察一组数2，5，10，17，26，37，…，则第n个数是_________．
【解析】解：∵第1个数2=12+1，
第2个数5=22+1，
第3个数10=32+1，
…
∴第n个数为n2+1，
故答案为：n2+1．
6.将一列数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，如图所示有序排列．根据图中排列规律可知，“峰1”中峰顶位置（C的位置）是4，那么，“峰206”中C的位置的有理数是_________．
【解析】解：由图可知，每5个数为一个循环组依次循环，
所以，“峰n”中峰顶C的位置的数的绝对值5n﹣1，
当n=206时，5×206﹣1=1030﹣1=1029，
∵1029是奇数，
∴“峰206”中C的位置的有理数是﹣1029．
故答案为：﹣1029．
7.一组按规律排列的数：14，-39，716，-1325，2136，⋯，请你推断第n个数是_________．
【解析】解：由分子1=1×0+1，3=1×2+1，7=2×3+1，13=3×4+1…
得出第n个数的分子为n（n﹣1）+1，分母是从2开始连续自然数的平方，
第n个数的分母为（n+1）2，再根据偶数项是负数，
所以第n个数是（﹣1）n+1•n(n-1)+1(n+1)2．
故答案为（﹣1）n+1•n(n-1)+1(n+1)2．
8.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632中得到巴尔末公式，从而打开了光滑奥妙的大门，请你按这种规律写出第9个数据是_________．
【解析】解：由数据95，1612，2521，3632可得规律：
分子是32，42，52，62，72，82，92…（n+2）2
分母是：1×5，2×6，3×7，4×8，5×9，6×10，7×11…n(n+4），
∴第9个数据是(9+2)2９(９+４）=121117，
故答案为：121117．
序号
1
2
3
4
……
n
分子
2
4
6
8
……
2n
分母
3
5
7
9
……
2n+1
序号
1
2
3
4
5
6
…
n
…
对应数
﹣1
3
﹣9
27
﹣81
243
…
？
…
三角形内点的个数
图形
最多剪出的小三角形个数
1
3
2
5
3
7
…
…
…
加数的个数
和
1+3
22
1+3+5
32
1+3+5+7
42
…
…
1+3+5+7+…+（2n﹣1）
n2