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    北师大版初一数学上册(秋季班)讲义 第4讲 有理数的加减乘除乘方运算--尖子班

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    北师大版七年级上册2.1 有理数课堂检测

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    这是一份北师大版七年级上册2.1 有理数课堂检测,文件包含北师大版初一数学上册秋季班讲义第4讲有理数的加减乘除乘方运算--尖子班教师版docx、北师大版初一数学上册秋季班讲义第4讲有理数的加减乘除乘方运算--尖子班学生版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共26页, 欢迎下载使用。
    4  有理数的加减乘除乘方运算 知识点1 运算有理数加法法则:号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.异号两数相加,绝对值相等时,和为0;绝对值不相等,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同0相加,仍得这个数.有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数..有理数加法运算律:加法交换律:两个加数相加,交换加数的位置,和不变.加法结合律:三个数加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.有理数加减混合运算的步骤:把算式中的减法转化为加法;省略加号与括号;利用运算律及技巧简便计算,求出结果.加减混合运算技巧:把符号相同的加数相结合;把和为整数的加数相结合;把分母相同或便于通分的加数相结合;既有小数又有分数的运算要统一后再结合;把带分数拆分后再结合;分组结合;先拆项后结合.【典例】1.计算(1)4+(﹣6)2(﹣1+(-3-2-(﹣3.5)4|(﹣7)+(﹣2)|-(﹣3)(5)[1.4﹣(﹣3.6+5.2)﹣4.3]﹣(﹣1.5).【解析】解:(1)4+(-6)=﹣(6﹣4)=﹣2.2(﹣1)+(-=-(+=-(+=﹣3-2-(﹣3.5)=-2+3.5=3.5-2=1.5;4|(﹣7)+(﹣2)|-(﹣3)=9+3=12(6)[1.4﹣(﹣3.6+5.2)﹣4.3]﹣(﹣1.5)=(1.4﹣1.6﹣4.3)﹣(﹣1.5)   =﹣4.5+1.5=﹣3.【难度】中【结束】【方法总结】考查了有理数的加法,在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0,从而确定用哪一条法则.在应用过程中,要牢记“先符号,后绝对值”.注意:绝对值有括号的作用.2.【题干】计算:(1)﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5;(2)(3)41+(﹣2)+3+(﹣4)…+2015+(﹣2016)+2017+(﹣2018).【解析】解:(1)﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5=(﹣2.4)+3.5+(﹣4.6)+3.5=[(﹣2.4)+(﹣4.6)]+(3.5+3.5)=-7+7=0;(2)===-10+=﹣8(3)原式==(﹣2009)+(﹣)+(﹣2008)+(﹣)+4018++(﹣1)+(﹣=[(﹣2009)+(﹣2008)+4018+(﹣1)]+[(﹣)+(﹣)++(﹣)]=0+(﹣1=﹣141+(﹣2)+3+(﹣4)…+2015+(﹣2016)+2017+(﹣2018)=(1﹣2)+(3﹣4)…+(2015﹣2016)+(2017﹣2018)=﹣1+(-1)+(-1)+…+(-1)(共1009个-1)=﹣1009.【方法总结】(1)把和为整数的数结合在一起;(2)把分母相同或容易通分的数结合在一起;(3)拆项法,把带分数拆成整数和分数,再把所有整数和分数分别结合在一起;(4)找规律,相邻两数之和为﹣1本题考查的是有理数加减混合运算,掌握有理数加减混合运算的方法“将有理数加减法统一成加法”是解题的关键.能使用运算律的要使用运算律,以简化计算,减少计算错误.【随堂练习】1.(2018秋•青岛期末)在一个3×3的方格中填写了9个数字,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等,得到的3×3的方格称为一个三阶幻方.(1)在图1中空格处填上合适的数字,使它构成一个三阶幻方;(2)如图2的方格中填写了一些数和字母,当x+y的值为多少时,它能构成一个三阶幻方.【解答】解:(1)2+3+4=9,9﹣6﹣4=﹣1,9﹣6﹣2=1,9﹣2﹣7=0,9﹣4﹣0=5,如图所示:(2)﹣3+1﹣4=﹣6,﹣6+1﹣(﹣3)=﹣2,﹣2+1+4=3,如图所示:x=3﹣4﹣(﹣6)=5,y=3﹣1﹣(﹣6)=8,x+y=5+8=13.2.(2017秋•朝阳区期末)观察下面的等式:﹣1=﹣|﹣+2|+3;3﹣1=﹣|﹣1+2|+3;1﹣1=﹣|1+2|+3;(﹣)﹣1=﹣|+2|+3;(﹣2)﹣1=﹣|4+2|+3回答下列问题:(1)填空: ﹣3 ﹣1=﹣|5+2|+3;(2)已知2﹣1=﹣|x+2|+3,则x的值是 0 (3)设满足上面特征的等式最左边的数为y,求y的最大值,并写出此时的等式.【解答】解:观察可知:a﹣1=﹣|2﹣a+2|+3,则(1)﹣3﹣1=﹣|5+2|+3;(2)已知2﹣1=﹣|x+2|+3,则x的值是0;(3)由a﹣1=﹣|2﹣a+2|+3,可得|4﹣a|=4﹣a则4﹣a≥0,解得a≤4,y的最大值是4,此时的等式是4﹣1=﹣|﹣2+2|+3.故答案为:﹣3;0.3.(2018秋•新疆期末)某工厂一周计划每日生产自行车100辆,由于工人实行轮休,每日上班人数不一定相等,实际每日生产量与计划量相比情况如下表(以计划量为标准,增加的车辆数记为正数,减少的车辆数记为负数):星期增减/辆﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10(1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆?(2)本周总生产量是多少?比原计划增加了还是减少了?增减数为多少?【解答】解:(1)7﹣(﹣10)=17(辆);(2)100×7+(﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10)=696(辆),答:(1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产17辆;(2)本周总生产量是696辆,比原计划减少了4辆. 知识点2 乘除运算有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘任何数同相乘,都得有理数乘法的运算步骤:先确定积的符号,再确定积的绝对值多个有理数相乘:(1)几个不是的数相乘,负因数的个数是偶数时,积为正数;负因数的个数是奇数时,积为负数,即“奇负偶正”(2)几个数相乘,如果其中有因数为,那么积等于有理数乘法运算律:(1)乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等 (2)乘法结合律:一般地,有理数乘法中,三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等 (3)分配律:一般地,有理数乘法中,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加倒数的概念:乘积是的两个数互为倒数.有理数除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0.有理数除法的运算步骤:首先确定商的符号,然后再求出商的绝对值.整除:一个整数a除以一个不为0的整数b,商是整数,而没有余数,则我们说a能被b整除(或说b能整除a).【典例】1.计算:(1)(﹣2)×(﹣8);(2)(﹣8)÷(﹣1.25);(3)(4)【解析】解:(1)(﹣2)×(﹣8)=2×8,=16;(2)(﹣8)÷(﹣1.25)=8÷=8×,=(3)11÷×(﹣),=﹣11×7×,=﹣28;(4)(﹣1.5)×÷(﹣)×,=×××,=【方法总结】(1)根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解;(2)根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解;(3)把除法转化为乘法,然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解;(4)把小数转化为分数,除法转化为乘法,然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解.本题考查了有理数的乘法除法,熟记运算法则是解题的关键. 2.计算:(1)×(﹣)××2)29(﹣3)﹣5×(﹣)+13×(﹣)﹣3×(﹣.【解析】解:(1)原式=(×)×(﹣×)=×(﹣)=﹣2)原式=(30﹣)×(﹣12)=30×(﹣12)﹣×(﹣12)=﹣360+=﹣3593)原式=(﹣)×[(﹣5)+13﹣3]=(﹣)×5=﹣11.【方法总结】(1)利用乘法交换律和乘法结合律,把分子或分母容易约分的因数结合;2先把除法转换为乘法,再利用乘法的分配律计算3)利用乘法分配律逆运用,即可解答.本题考查了有理数的乘的运算,解决本题的关键是选用合适的乘法运算律进行计算【随堂练习】1.(2018秋•南开区校级月考)现有以下五个结论:有理数包括所有正数、负数和0;若两个数互为相反数,则它们相除的商等于﹣1;数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数;绝对值等于其本身的有理数是零;几个有理数相乘,负因数个数为奇数则乘积为负数.其中正确的有(  )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解答】解:有理数包括所有正有理数、负有理数和0;故原命题错误;若两个数(除零)互为相反数,则它们相除的商等于﹣1;故原命题错误;数轴上的每一个点均表示一个确定的实数;故原命题错误;绝对值等于其本身的有理数是零和正数,故原命题错误;几个非零的有理数相乘,负因数个数为奇数则乘积为负数,故原命题错误.故选:A2.(2018春•泗洪县期末)取一个自然数,若它是奇数,则乘以3加上1,若它是偶数,则除以2,按此规则经过若干步的计算最终可得到1.这个结论在数学上还没有得到证明.但举例验证都是正确的.例如:取自然数5.经过下面5步运算可得1,即:如图所示.如果自然数m恰好经过7步运算可得到1,则所有符合条件的m的值有(  )A.3个 B.4个 C.5个 D.6个【解答】解:根据分析,可得则所有符合条件的m的值为:128、21、20、3.故选:B二.填空题(共1小题)3.(2018秋•南开区校级月考)10个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”,则这10个有理数的和为  【解答】解:这10个有理数,每9个相加,一共得出另外10个数,由于原10个有理数互不相等,可以轻易得出它们相加后得出的另外10个数也是互不相等的,而这10个数根据题意都是分母22的既约真分数,而满足这个条件的真分数正好有10个,∴这10项分别是:它们每一个都是原来10个有理数其中9个相加的和,那么,如果再把这10个以22为分母的真分数相加,得出来的结果必然是原来的10个有理数之和的9倍.所以,10个真分数相加得出结果为5,于是所求的10个有理数之和为故答案为:三.解答题(共1小题)4.(2018秋•邓州市期中)如图,AB两点在数轴上对应的数分别为ab,且点A在点B的左边,|a|=10,a+b=80,ab<0.(1)求出ab的值;(2)现有一只电子蚂蚁P从点A出发,以3个单位长度/秒的速度向右运动,同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发,以2个单位长度/秒的速度向左运动.设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇,求出点C对应的数是多少?经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度?【解答】解:(1)∵AB两点在数轴上对应的数分别为ab,且点A在点B的左边,|a|=10,a+b=80,ab<0,a=﹣10,b=90,a的值是﹣10,b的值是90;(2)由题意可得,C对应的数是:90﹣[90﹣(﹣10)]÷(3+2)×2=90﹣100÷5×2=90﹣40=50,即点C对应的数为:50;设相遇前,经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度,[90﹣(﹣10)﹣20]÷(3+2)=80÷5=16(秒),设相遇后,经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度,[90﹣(﹣10)+20]÷(3+2)=120÷5=24(秒),由上可得,经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度. 知识点3 乘方乘方的概念:求个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂(1)一般地,个相同的因数相乘,即,记作,读作“次方”(2)在中,叫做底数,叫做指数;(3)当看作次方的结果时,读作次幂.注意:,其底数为其底数为其底数为其底数为,带分数的乘方运算,一定要先化成假分数后再运算.一个数可以看作这个数本身的一次方,例如,就是,指数通常省略不写正数的任何次幂都是正数;负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数.特别的,一个数的次方,也称为这个数的平方;一个数的三次方,也称为这个数的立方.科学记数法:把一个大于的数表示成的形式(其中是正整数)用科学记数法表示一个位整数,其中的指数是的指数比整数的位数少,亿 .【典例】1.一张纸的厚度为 0.09mm(毫米),将这张纸连续对折8次,这时它的厚度是多少?假设连续对折始终是可能的,那么对折15次后,所得的厚度是否可以超过你的身高?先猜猜,然后计算出实际答案.【解析】解:折一次厚度是这张纸的21倍,折两次厚度就是这张纸的22倍,折三次厚度就是这张纸的23倍,这张纸连续对折8次时厚度就是这张纸的28倍,这张纸的厚度为0.09mm,连续对折8次时这张纸的厚度是:0.09×28=0.09×256,=23.04(mm).对折15次后纸的厚度为0.09×215=2949.12(mm)≈2.9m,所以对折15次后,所得的厚度可以超过自己的身高.【方法总结】根据乘方的定义和题意可计算出折第一次、第二次、第三次、第四次得厚度,由此可算出折第8次的厚度.一张纸的厚度为0.09mm,对折1次后纸的厚度为0.09×2mm;对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm;对折3次后纸的厚度为0.09×23mm;对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm,据此列出算式.即可求解.本题主要考查从实际问题中寻找规律的能力.乘方是乘法的特例,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.乘方的意义就是多少个某个数字的乘积.2.,则yx=__________.【解析】解:根据题意得解得则yx=(2=故答案是:【方法总结】绝对值和偶次方具有非负性,由“若几个非负数的和为0,则这几个非负数都为0”可求出x、y的值,然后将x、y的值代入计算即可求解.3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km,比太阳到地球的距离还远690000倍.(1)用科学记数法表示出暗星到地球的距离;(2)用科学记数法表示出690000这个数;(3)如果光的速度大约是300000km/s,那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗?用科学记数法表示出来.【答案】【解析】解:(1)将102000000000000用科学记数法表示为:1.02×1014(2)将690000用科学记数法表示为:6.9×105(3)102000000000000÷300000=340000000(s),将340000000用科学记数法表示为:3.4×108【方法总结】用科学记数法表示较大数的形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为正整数.确定n的值时,要看由原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.此题考查科学记数法的表示方法,关键是要正确确定a的值以及n的值.【随堂练习】1.(2018秋•翠屏区期中)定义一种对正整数n的“F运算”:n为奇数时,结果为3n+5;n为偶数时,结果为(其中k是使为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如,取n=26,第三次“F运算”的结果是11.则:若n=449,则第449次“F运算”的结果是 8 【解答】解:本题提供的“F运算”,需要对正整数n分情况(奇数、偶数)循环计算,由于n=449为奇数应先进行F运算,即3×449+5=1352(偶数),需再进行F运算,即1352÷23=169(奇数),再进行F运算,得到3×169+5=512(偶数),再进行F运算,即512÷29=1(奇数),再进行F运算,得到3×1+5=8(偶数),再进行F运算,即8÷23=1,再进行F运算,得到3×1+5=8(偶数),…,即第1次运算结果为1352,…,第4次运算结果为1,第5次运算结果为8,…,可以发现第6次运算结果为1,第7次运算结果为8,从第6次运算结果开始循环,且奇数次运算的结果为8,偶数次为1,而第499次是奇数,这样循环计算一直到第449次“F运算”,得到的结果为8.故答案为:8.二.解答题(共3小题)2.(2018秋•农安县期末)已知:ab互为相反数,cd互为倒数,x的绝对值是2,求x2﹣(a+b+cdx+(a+b2011+(﹣cd2012的值.【解答】解:由已知可得,a+b=0,cd=1,x=±2;x=2时,x2﹣(a+b+cdx+(a+b2011+(﹣cd2012=22﹣(0+1)×2+02011+(﹣1)2012=4﹣2+0+1=3x=﹣2时,x2﹣(a+b+cdx+(a+b2011+(﹣cd2012=(﹣2)2﹣(0+1)×(﹣2)+02011+(﹣1)2012=4+2+0+1=73.(2019•柳州模拟)阅读材料,求值:1+2+22+23+24+…+22015解:设S=1+2+22+23+24+…+22015,将等式两边同时乘以2得:    2S=2+22+23+24+…+22015+22016    将下式减去上式得2SS=22016﹣1    S=1+2+22+23+24+…+22015=22016﹣1请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+…+210(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数)【解答】解:(1)设S=1+2+22+23+24+…+210将等式两边同时乘以2,得2S=2+22+23+24+…+211将下式减去上式,得2SS=211﹣1S=1+2+22+23+24+…+210=211﹣1;(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n将等式两边同时乘以3,得3S=3+32+33+34+…+3n+1将下式减去上式,得3SS=3n+1﹣1即2S=3n+1﹣1S=1+3+32+33+34+…+3n4.(2018•凉山州模拟)我们常用的数是十进制数,如4657=4×103+6×102+5×101+7×100,数要用10个数码(又叫数字):0、1、2、3、4、5、6、7、8、9,在电子计算机中用的二进制,只要两个数码:0和1,如二进制中110=1×22+1×21+0×20等于十进制的数6,110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十进制的数53.那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数?【解答】解:101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=43,所以二进制中的数101011等于十进制中的43.    综合运用1.若|a|=2,b=﹣3,c是最大的负整数,a+b﹣c的值为_______.【解析】解:|a|=2,c是最大的负整数,a=±2,c=﹣1.当a=2时,a+b﹣c=2+(﹣3)﹣(﹣1)=2﹣3+1=0;当a=﹣2时,a+b﹣c=﹣2+(﹣3)﹣(﹣1)=﹣2﹣3+1=﹣4.故答案为0或-4.2.2.5+(﹣2)﹣1.75+(﹣)=____.【解析】解:原式=2.5﹣2.25﹣1.75﹣0.5=2.5﹣0.5﹣(2.25+1.75)=2﹣4=﹣2,故答案为:﹣2.3.某外贸企业为参加2016年中国江阴外贸洽谈会,印制了105 000张宣传彩页.105 000这个数字用科学记数法表示为___________.【解析】解:105 000=1.05×105故答案为:1.05×1054.一根1米长的绳子,第一次剪去一半,第二次剪去剩下的一半,如此剪下去,第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米;第n次后剩下的绳子的长度是_______ 米.【解析】解:1米长的绳子,第一次剪去一半后剩下第二次剪去剩下的一半后剩下的一半是第三次再剪去的一半后剩下第三次再剪去的一半剩下第n次后剩下(n=故答案为:5.将一张长方形的纸按如图对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,第一次对折后可得到1条折痕(图中虚线),第二次对折后可得到3条折痕,第三次对折后得到7条折痕,那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条.【解析】解:对折2次比对折1次折痕多3﹣1=2(条),对折3次比对折2次折痕多7﹣3=4=22(条),对折4次比对折3次折痕多15﹣7=8=23(条),……对折10次比对折9次折痕多29条,故答案为:296.计算:(﹣0.5)+|0﹣6|﹣(﹣7)﹣(﹣4.75).【解析】解:原式=﹣0.5+6+7+4.75=0.5+7+6=(﹣0.5+7.5)+(6=7+11=18.7.高速公路养护小组,乘车沿东西向公路巡视维护,如果约定向东为正,向西为负,当天的行驶记录如下(单位:千米):+18,﹣9,+7,﹣14,﹣3,+11,﹣6,﹣8,+6,+15.(1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向?距出发点多远?(2)养护过程中,最远处离出发点有多远?(3)若汽车行驶每千米耗油量为a升,求这次养护小组的汽车共耗油多少升?【解析】解:(1)18﹣9+7﹣14﹣3+11﹣6﹣8+6+15=+17.则养护小组最后到达的地方在出发点的东边,17千米处;(2)养护过程中,通过计算绝对值可知该小组距离出发点的距离依次为18,9,16,2,1,10,4,4,2,17,所以养护过程中,最远处离出发点是18千米;(3)(18+9+7+14+3+11+6+8+6+15)a=97a.答:这次养护小组的汽车共耗油97a升.8.计算下列各式:(1)(﹣14)×(﹣100)×(﹣6)×(0.01);(2)9×15;(3)﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×(﹣12.5%);4)(1﹣2)×(2﹣3)×(3﹣4)×(4﹣5)×…(19﹣20).【解析】解:(1)(﹣14)×(﹣100)×(﹣6)×(0.01)=﹣(100×0.01)×(14×6)=﹣1×84=﹣84;(2)9×15=(10﹣)×15=10×15﹣×15=150﹣=149(3)﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×(﹣12.5%)=﹣100×0.125﹣0.125×35.5+14.5×(﹣0.125)=0.125×(﹣100﹣35.5﹣14.5)=×(﹣150)=﹣4)(1﹣2)×(2﹣3)×(3﹣4)×(4﹣5)×…×(19﹣20)=(﹣1)×(﹣1)×(﹣1)×(﹣1)×…×(﹣1)(共19个-1)=﹣1.9.已知(x+3)2+|3x+y+m|=0中,y的平方等于它本身,求m的值.【解析】解:依题意得:(x+3)2=0,|3x+y+m|=0,即x+3=0,3x+y+m=0,x=﹣3,﹣9+y+m=0,即m=9﹣y              根据y的平方等于它本身,可知y=0或1.当y=0时,有m=9-0=9,m=9;当y=1时,有m=9-1=8,m=8.m的值为9或8.

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