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北师大版七年级上册2.1 有理数课堂检测
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这是一份北师大版七年级上册2.1 有理数课堂检测,文件包含北师大版初一数学上册秋季班讲义第4讲有理数的加减乘除乘方运算--尖子班教师版docx、北师大版初一数学上册秋季班讲义第4讲有理数的加减乘除乘方运算--尖子班学生版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共26页, 欢迎下载使用。
第4讲 有理数的加减乘除乘方运算 知识点1 加减运算有理数加法法则:①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.②异号两数相加,绝对值相等时,和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数.有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数..有理数加法运算律:①加法交换律:两个加数相加,交换加数的位置,和不变.②加法结合律:三个数加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.有理数加减混合运算的步骤:①把算式中的减法转化为加法;②省略加号与括号;③利用运算律及技巧简便计算,求出结果.加减混合运算技巧:把符号相同的加数相结合;把和为整数的加数相结合;把分母相同或便于通分的加数相结合;既有小数又有分数的运算要统一后再结合;把带分数拆分后再结合;分组结合;先拆项后结合.【典例】1.计算:(1)4+(﹣6);(2)(﹣1)+(-);(3)-2-(﹣3.5);(4)|(﹣7)+(﹣2)|-(﹣3);(5)[1.4﹣(﹣3.6+5.2)﹣4.3]﹣(﹣1.5).【解析】解:(1)4+(-6)=﹣(6﹣4)=﹣2.(2)(﹣1)+(-)=-(+)=-(+)=﹣;(3)-2-(﹣3.5)=-2+3.5=3.5-2=1.5;(4)|(﹣7)+(﹣2)|-(﹣3)=9+3=12;(6)[1.4﹣(﹣3.6+5.2)﹣4.3]﹣(﹣1.5)=(1.4﹣1.6﹣4.3)﹣(﹣1.5) =﹣4.5+1.5=﹣3.【难度】中【结束】【方法总结】考查了有理数的加法,在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0,从而确定用哪一条法则.在应用过程中,要牢记“先符号,后绝对值”.注意:绝对值有括号的作用.2.【题干】计算:(1)﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5;(2);(3);(4)1+(﹣2)+3+(﹣4)…+2015+(﹣2016)+2017+(﹣2018).【解析】解:(1)﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5=(﹣2.4)+3.5+(﹣4.6)+3.5=[(﹣2.4)+(﹣4.6)]+(3.5+3.5)=-7+7=0;(2)===-10+=﹣8.(3)原式==(﹣2009)+(﹣)+(﹣2008)+(﹣)+4018++(﹣1)+(﹣)=[(﹣2009)+(﹣2008)+4018+(﹣1)]+[(﹣)+(﹣)++(﹣)]=0+(﹣1)=﹣1.(4)1+(﹣2)+3+(﹣4)…+2015+(﹣2016)+2017+(﹣2018)=(1﹣2)+(3﹣4)…+(2015﹣2016)+(2017﹣2018)=﹣1+(-1)+(-1)+…+(-1)(共1009个-1)=﹣1009.【方法总结】(1)把和为整数的数结合在一起;(2)把分母相同或容易通分的数结合在一起;(3)拆项法,把带分数拆成整数和分数,再把所有整数和分数分别结合在一起;(4)找规律,相邻两数之和为﹣1.本题考查的是有理数加减混合运算,掌握有理数加减混合运算的方法“将有理数加减法统一成加法”是解题的关键.能使用运算律的要使用运算律,以简化计算,减少计算错误.【随堂练习】1.(2018秋•青岛期末)在一个3×3的方格中填写了9个数字,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等,得到的3×3的方格称为一个三阶幻方.(1)在图1中空格处填上合适的数字,使它构成一个三阶幻方;(2)如图2的方格中填写了一些数和字母,当x+y的值为多少时,它能构成一个三阶幻方.【解答】解:(1)2+3+4=9,9﹣6﹣4=﹣1,9﹣6﹣2=1,9﹣2﹣7=0,9﹣4﹣0=5,如图所示:(2)﹣3+1﹣4=﹣6,﹣6+1﹣(﹣3)=﹣2,﹣2+1+4=3,如图所示:x=3﹣4﹣(﹣6)=5,y=3﹣1﹣(﹣6)=8,x+y=5+8=13.2.(2017秋•朝阳区期末)观察下面的等式:﹣1=﹣|﹣+2|+3;3﹣1=﹣|﹣1+2|+3;1﹣1=﹣|1+2|+3;(﹣)﹣1=﹣|+2|+3;(﹣2)﹣1=﹣|4+2|+3回答下列问题:(1)填空: ﹣3 ﹣1=﹣|5+2|+3;(2)已知2﹣1=﹣|x+2|+3,则x的值是 0 ;(3)设满足上面特征的等式最左边的数为y,求y的最大值,并写出此时的等式.【解答】解:观察可知:a﹣1=﹣|2﹣a+2|+3,则(1)﹣3﹣1=﹣|5+2|+3;(2)已知2﹣1=﹣|x+2|+3,则x的值是0;(3)由a﹣1=﹣|2﹣a+2|+3,可得|4﹣a|=4﹣a,则4﹣a≥0,解得a≤4,即y的最大值是4,此时的等式是4﹣1=﹣|﹣2+2|+3.故答案为:﹣3;0.3.(2018秋•新疆期末)某工厂一周计划每日生产自行车100辆,由于工人实行轮休,每日上班人数不一定相等,实际每日生产量与计划量相比情况如下表(以计划量为标准,增加的车辆数记为正数,减少的车辆数记为负数):星期一二三四五六日增减/辆﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10(1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆?(2)本周总生产量是多少?比原计划增加了还是减少了?增减数为多少?【解答】解:(1)7﹣(﹣10)=17(辆);(2)100×7+(﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10)=696(辆),答:(1)生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产17辆;(2)本周总生产量是696辆,比原计划减少了4辆. 知识点2 乘除运算有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.任何数同相乘,都得.有理数乘法的运算步骤:先确定积的符号,再确定积的绝对值.多个有理数相乘:(1)几个不是的数相乘,负因数的个数是偶数时,积为正数;负因数的个数是奇数时,积为负数,即“奇负偶正”.(2)几个数相乘,如果其中有因数为,那么积等于.有理数乘法运算律:(1)乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等. (2)乘法结合律:一般地,有理数乘法中,三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等. (3)分配律:一般地,有理数乘法中,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.倒数的概念:乘积是的两个数互为倒数.有理数除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.,两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0.有理数除法的运算步骤:首先确定商的符号,然后再求出商的绝对值.整除:一个整数a除以一个不为0的整数b,商是整数,而没有余数,则我们说a能被b整除(或说b能整除a).【典例】1.计算:(1)(﹣2)×(﹣8);(2)(﹣8)÷(﹣1.25);(3);(4).【解析】解:(1)(﹣2)×(﹣8)=2×8,=16;(2)(﹣8)÷(﹣1.25)=8÷=8×,=;(3)11÷×(﹣),=﹣11×7×,=﹣28;(4)(﹣1.5)×÷(﹣)×,=×××,=.【方法总结】(1)根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解;(2)根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解;(3)把除法转化为乘法,然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解;(4)把小数转化为分数,除法转化为乘法,然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解.本题考查了有理数的乘法和除法,熟记运算法则是解题的关键. 2.计算:(1)×(﹣)××;(2)29(﹣);(3)﹣5×(﹣)+13×(﹣)﹣3×(﹣).【解析】解:(1)原式=(×)×(﹣×)=×(﹣)=﹣.(2)原式=(30﹣)×(﹣12)=30×(﹣12)﹣×(﹣12)=﹣360+=﹣359;(3)原式=(﹣)×[(﹣5)+13﹣3]=(﹣)×5=﹣11.【方法总结】(1)利用乘法交换律和乘法结合律,把分子或分母容易约分的因数结合;(2)先把除法转换为乘法,再利用乘法的分配律计算;(3)利用乘法分配律的逆运用,即可解答.本题考查了有理数的乘除法的运算,解决本题的关键是选用合适的乘法运算律进行计算.【随堂练习】1.(2018秋•南开区校级月考)现有以下五个结论:①有理数包括所有正数、负数和0;②若两个数互为相反数,则它们相除的商等于﹣1;③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数;④绝对值等于其本身的有理数是零;⑤几个有理数相乘,负因数个数为奇数则乘积为负数.其中正确的有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解答】解:①有理数包括所有正有理数、负有理数和0;故原命题错误;②若两个数(除零)互为相反数,则它们相除的商等于﹣1;故原命题错误;③数轴上的每一个点均表示一个确定的实数;故原命题错误;④绝对值等于其本身的有理数是零和正数,故原命题错误;⑤几个非零的有理数相乘,负因数个数为奇数则乘积为负数,故原命题错误.故选:A.2.(2018春•泗洪县期末)取一个自然数,若它是奇数,则乘以3加上1,若它是偶数,则除以2,按此规则经过若干步的计算最终可得到1.这个结论在数学上还没有得到证明.但举例验证都是正确的.例如:取自然数5.经过下面5步运算可得1,即:如图所示.如果自然数m恰好经过7步运算可得到1,则所有符合条件的m的值有( )A.3个 B.4个 C.5个 D.6个【解答】解:根据分析,可得则所有符合条件的m的值为:128、21、20、3.故选:B.二.填空题(共1小题)3.(2018秋•南开区校级月考)10个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”,则这10个有理数的和为 .【解答】解:这10个有理数,每9个相加,一共得出另外10个数,由于原10个有理数互不相等,可以轻易得出它们相加后得出的另外10个数也是互不相等的,而这10个数根据题意都是分母22的既约真分数,而满足这个条件的真分数正好有10个,∴这10项分别是:,,,,,,,,,,它们每一个都是原来10个有理数其中9个相加的和,那么,如果再把这10个以22为分母的真分数相加,得出来的结果必然是原来的10个有理数之和的9倍.所以,10个真分数相加得出结果为5,于是所求的10个有理数之和为.故答案为:.三.解答题(共1小题)4.(2018秋•邓州市期中)如图,A,B两点在数轴上对应的数分别为a,b,且点A在点B的左边,|a|=10,a+b=80,ab<0.(1)求出a,b的值;(2)现有一只电子蚂蚁P从点A出发,以3个单位长度/秒的速度向右运动,同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发,以2个单位长度/秒的速度向左运动.①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇,求出点C对应的数是多少?②经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度?【解答】解:(1)∵A,B两点在数轴上对应的数分别为a,b,且点A在点B的左边,|a|=10,a+b=80,ab<0,∴a=﹣10,b=90,即a的值是﹣10,b的值是90;(2)①由题意可得,点C对应的数是:90﹣[90﹣(﹣10)]÷(3+2)×2=90﹣100÷5×2=90﹣40=50,即点C对应的数为:50;②设相遇前,经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度,[90﹣(﹣10)﹣20]÷(3+2)=80÷5=16(秒),设相遇后,经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度,[90﹣(﹣10)+20]÷(3+2)=120÷5=24(秒),由上可得,经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度. 知识点3 乘方乘方的概念:求个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.(1)一般地,个相同的因数相乘,即,记作,读作“的次方”;(2)在中,叫做底数,叫做指数;(3)当看作的次方的结果时,读作的次幂.注意:,其底数为,;,其底数为,;,其底数为,;,其底数为,;,带分数的乘方运算,一定要先化成假分数后再运算.一个数可以看作这个数本身的一次方,例如,就是,指数通常省略不写.正数的任何次幂都是正数;负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数.特别的,一个数的二次方,也称为这个数的平方;一个数的三次方,也称为这个数的立方.科学记数法:把一个大于的数表示成的形式(其中,是正整数).用科学记数法表示一个位整数,其中的指数是,的指数比整数的位数少.万,亿 .【典例】1.一张纸的厚度为 0.09mm(毫米),将这张纸连续对折8次,这时它的厚度是多少?假设连续对折始终是可能的,那么对折15次后,所得的厚度是否可以超过你的身高?先猜猜,然后计算出实际答案.【解析】解:∵折一次厚度是这张纸的21倍,折两次厚度就是这张纸的22倍,折三次厚度就是这张纸的23倍,∴这张纸连续对折8次时厚度就是这张纸的28倍,又∵这张纸的厚度为0.09mm,∴连续对折8次时这张纸的厚度是:0.09×28=0.09×256,=23.04(mm).对折15次后纸的厚度为0.09×215=2949.12(mm)≈2.9m,所以对折15次后,所得的厚度可以超过自己的身高.【方法总结】根据乘方的定义和题意可计算出折第一次、第二次、第三次、第四次得厚度,由此可算出折第8次的厚度.一张纸的厚度为0.09mm,对折1次后纸的厚度为0.09×2mm;对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm;对折3次后纸的厚度为0.09×23mm;对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm,据此列出算式.即可求解.本题主要考查从实际问题中寻找规律的能力.乘方是乘法的特例,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.乘方的意义就是多少个某个数字的乘积.2.若,则yx=__________.【解析】解:根据题意得,解得,则yx=()2=.故答案是:.【方法总结】绝对值和偶次方具有非负性,由“若几个非负数的和为0,则这几个非负数都为0”可求出x、y的值,然后将x、y的值代入计算即可求解.3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km,比太阳到地球的距离还远690000倍.(1)用科学记数法表示出暗星到地球的距离;(2)用科学记数法表示出690000这个数;(3)如果光的速度大约是300000km/s,那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗?用科学记数法表示出来.【答案】【解析】解:(1)将102000000000000用科学记数法表示为:1.02×1014;(2)将690000用科学记数法表示为:6.9×105;(3)∵102000000000000÷300000=340000000(s),∴将340000000用科学记数法表示为:3.4×108.【方法总结】用科学记数法表示较大数的形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为正整数.确定n的值时,要看由原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.此题考查科学记数法的表示方法,关键是要正确确定a的值以及n的值.【随堂练习】1.(2018秋•翠屏区期中)定义一种对正整数n的“F运算”:①当n为奇数时,结果为3n+5;②当n为偶数时,结果为(其中k是使为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如,取n=26,第三次“F运算”的结果是11.则:若n=449,则第449次“F运算”的结果是 8 .【解答】解:本题提供的“F运算”,需要对正整数n分情况(奇数、偶数)循环计算,由于n=449为奇数应先进行F①运算,即3×449+5=1352(偶数),需再进行F②运算,即1352÷23=169(奇数),再进行F①运算,得到3×169+5=512(偶数),再进行F②运算,即512÷29=1(奇数),再进行F①运算,得到3×1+5=8(偶数),再进行F②运算,即8÷23=1,再进行F①运算,得到3×1+5=8(偶数),…,即第1次运算结果为1352,…,第4次运算结果为1,第5次运算结果为8,…,可以发现第6次运算结果为1,第7次运算结果为8,从第6次运算结果开始循环,且奇数次运算的结果为8,偶数次为1,而第499次是奇数,这样循环计算一直到第449次“F运算”,得到的结果为8.故答案为:8.二.解答题(共3小题)2.(2018秋•农安县期末)已知:a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值是2,求x2﹣(a+b+cd)x+(a+b)2011+(﹣cd)2012的值.【解答】解:由已知可得,a+b=0,cd=1,x=±2;当x=2时,x2﹣(a+b+cd)x+(a+b)2011+(﹣cd)2012=22﹣(0+1)×2+02011+(﹣1)2012=4﹣2+0+1=3当x=﹣2时,x2﹣(a+b+cd)x+(a+b)2011+(﹣cd)2012=(﹣2)2﹣(0+1)×(﹣2)+02011+(﹣1)2012=4+2+0+1=73.(2019•柳州模拟)阅读材料,求值:1+2+22+23+24+…+22015.解:设S=1+2+22+23+24+…+22015,将等式两边同时乘以2得: 2S=2+22+23+24+…+22015+22016 将下式减去上式得2S﹣S=22016﹣1 即S=1+2+22+23+24+…+22015=22016﹣1请你仿照此法计算:(1)1+2+22+23+…+210(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数)【解答】解:(1)设S=1+2+22+23+24+…+210,将等式两边同时乘以2,得2S=2+22+23+24+…+211将下式减去上式,得2S﹣S=211﹣1即S=1+2+22+23+24+…+210=211﹣1;(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n,将等式两边同时乘以3,得3S=3+32+33+34+…+3n+1,将下式减去上式,得3S﹣S=3n+1﹣1即2S=3n+1﹣1得S=1+3+32+33+34+…+3n=.4.(2018•凉山州模拟)我们常用的数是十进制数,如4657=4×103+6×102+5×101+7×100,数要用10个数码(又叫数字):0、1、2、3、4、5、6、7、8、9,在电子计算机中用的二进制,只要两个数码:0和1,如二进制中110=1×22+1×21+0×20等于十进制的数6,110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十进制的数53.那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数?【解答】解:101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=43,所以二进制中的数101011等于十进制中的43. 综合运用1.若|a|=2,b=﹣3,c是最大的负整数,a+b﹣c的值为_______.【解析】解:∵|a|=2,c是最大的负整数,∴a=±2,c=﹣1.当a=2时,a+b﹣c=2+(﹣3)﹣(﹣1)=2﹣3+1=0;当a=﹣2时,a+b﹣c=﹣2+(﹣3)﹣(﹣1)=﹣2﹣3+1=﹣4.故答案为0或-4.2.2.5+(﹣2)﹣1.75+(﹣)=____.【解析】解:原式=2.5﹣2.25﹣1.75﹣0.5=2.5﹣0.5﹣(2.25+1.75)=2﹣4=﹣2,故答案为:﹣2.3.某外贸企业为参加2016年中国江阴外贸洽谈会,印制了105 000张宣传彩页.105 000这个数字用科学记数法表示为___________.【解析】解:105 000=1.05×105.故答案为:1.05×105.4.一根1米长的绳子,第一次剪去一半,第二次剪去剩下的一半,如此剪下去,第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米;第n次后剩下的绳子的长度是_______ 米.【解析】解:1米长的绳子,第一次剪去一半后剩下;第二次剪去剩下的一半后剩下的一半是;第三次再剪去的一半后剩下;第三次再剪去的一半剩下.第n次后剩下()n=.故答案为:,.5.将一张长方形的纸按如图对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,第一次对折后可得到1条折痕(图中虚线),第二次对折后可得到3条折痕,第三次对折后得到7条折痕,那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条.【解析】解:∵对折2次比对折1次折痕多3﹣1=2(条),对折3次比对折2次折痕多7﹣3=4=22(条),对折4次比对折3次折痕多15﹣7=8=23(条),……∴对折10次比对折9次折痕多29条,故答案为:29.6.计算:(﹣0.5)+|0﹣6|﹣(﹣7)﹣(﹣4.75).【解析】解:原式=﹣0.5+6+7+4.75=(﹣0.5+7)+(6)=(﹣0.5+7.5)+(6)=7+11=18.7.高速公路养护小组,乘车沿东西向公路巡视维护,如果约定向东为正,向西为负,当天的行驶记录如下(单位:千米):+18,﹣9,+7,﹣14,﹣3,+11,﹣6,﹣8,+6,+15.(1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向?距出发点多远?(2)养护过程中,最远处离出发点有多远?(3)若汽车行驶每千米耗油量为a升,求这次养护小组的汽车共耗油多少升?【解析】解:(1)18﹣9+7﹣14﹣3+11﹣6﹣8+6+15=+17.则养护小组最后到达的地方在出发点的东边,17千米处;(2)养护过程中,通过计算绝对值可知该小组距离出发点的距离依次为18,9,16,2,1,10,4,4,2,17,所以养护过程中,最远处离出发点是18千米;(3)(18+9+7+14+3+11+6+8+6+15)a=97a.答:这次养护小组的汽车共耗油97a升.8.计算下列各式:(1)(﹣14)×(﹣100)×(﹣6)×(0.01);(2)9×15;(3)﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×(﹣12.5%);(4)(1﹣2)×(2﹣3)×(3﹣4)×(4﹣5)×…(19﹣20).【解析】解:(1)(﹣14)×(﹣100)×(﹣6)×(0.01)=﹣(100×0.01)×(14×6)=﹣1×84=﹣84;(2)9×15=(10﹣)×15=10×15﹣×15=150﹣=149;(3)﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×(﹣12.5%)=﹣100×0.125﹣0.125×35.5+14.5×(﹣0.125)=0.125×(﹣100﹣35.5﹣14.5)=×(﹣150)=﹣;(4)(1﹣2)×(2﹣3)×(3﹣4)×(4﹣5)×…×(19﹣20)=(﹣1)×(﹣1)×(﹣1)×(﹣1)×…×(﹣1)(共19个-1)=﹣1.9.已知(x+3)2+|3x+y+m|=0中,y的平方等于它本身,求m的值.【解析】解:依题意得:(x+3)2=0,|3x+y+m|=0,即x+3=0,3x+y+m=0,∴x=﹣3,∴﹣9+y+m=0,即m=9﹣y, 根据y的平方等于它本身,可知y=0或1.当y=0时,有m=9-0=9,m=9;当y=1时,有m=9-1=8,m=8.∴m的值为9或8.
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这是一份人教版七年级上册1.3.1 有理数的加法练习,文件包含人教版初一数学上册秋季班讲义第3讲有理数的加减乘除乘方运算--基础班教师版docx、人教版初一数学上册秋季班讲义第3讲有理数的加减乘除乘方运算--基础班学生版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共27页, 欢迎下载使用。