专题9-3 求椭圆双曲线离心率题型归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题9-3 椭圆双曲线离心率题型归类

目录
【题型一】 2
【题型二】 2
【题型三】 3
【题型四】 5
【题型五】 6
【题型六】 7
【题型七】 7
【题型八】 8
【题型九】 9
【题型十】 10
真题再现 12
模拟检测 14

综述
1.离心率是双曲线最重要的几何性质，求的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

2.椭圆离心率：
.e＝＝ e∈(0,1)
椭圆扁平程度：因为e＝＝＝＝，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆

3.双曲线离心率：
e＝＝ e∈(1,)



【题型一】定义与几何性质求离心率
【典例分析】
设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．


【提分秘籍】
基本规律
1.椭圆第一定义：
双曲线第一定义：

2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。
（椭圆是减， 双曲线是结合左右两支判断加减）


【变式演练】
1.
若椭圆的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则的离心率等于（    ）
A． B． C．或 D．或

2.已知双曲线的左焦点为F，虚轴的上端点为B，P为双曲线右支上的一个动点，若周长的最小值等于实轴长的4倍，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．

3.过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线,交双曲线于,是另一焦点,若,则双曲线的离心率等于（   ）
A． B． C． D．
【题型二】利用点差法求离心率
【典例分析】
已知椭圆，，，过点的直线与椭圆交于，，过点的直线与椭圆交于，，且满足，设和的中点分别为，，若四边形为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（    ）．
A． B． C． D．
【变式演练】
1.已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为_______

2.已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．


3.已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为______.


【题型三】焦点三角形与离心率
【典例分析】
已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．


【提分秘籍】
基本规律
焦点三角形
（1）焦点三角形面积：
椭圆：，双曲线：
2．顶角
椭圆顶角在短轴顶点处最大。
3．与正余弦定理结合
设椭圆（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
设双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有


【变式演练】
1.已知椭圆的左右焦点分别为，直线与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若M，，N，四点共圆，且直线倾斜角不小于，则椭圆C的离心率e的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

2.已知，分别是双曲线，的左、右焦点，双曲线上有一点，满足，且，则该双曲线离心率的取值范围是____

3.已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
【题型四】第三定义与离心率
【典例分析】
已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．3



【提分秘籍】
基本规律
第三定义：
1.A,B是椭圆C:+＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明）
结论拓展
已知直线：与椭圆相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则.

2.A,B是双曲线C:－＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明）
结论拓展
已知直线：与双曲线相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则.

【变式演练】
1.已知平行四边形的四个顶点均在双曲线上，为坐标原点，为线段的中点且的斜率之积为3，则双曲线的离心率为_________.

2.若A，B分别是椭圆，短轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，若直线AP与BP的斜率之积为，则椭圆的离心率为_________.
3..已知A，B是不过原点O的直线l与椭圆C：的两个交点，E为A，B中点，设直线AB、OE的斜率分别为且、，若，则该椭圆的离心率为_________．

【题型五】第二定义与离心率
【典例分析】
已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．

【提分秘籍】
基本规律
椭圆双曲线第二定义：动点到定点的距离与它到直线的距离的比为常数（即离心率）.


【变式演练】
1.已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是椭圆上一点，直线与直线相交于点.且是顶角为120°的等腰三角形，则该椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
2.已知为双曲线(，)左支上一点，，为其左右焦点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．

3.若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，若C的右支上存在点Q，使得Q到左焦点的距离等于它到直线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______．

【题型六】焦点弦余弦定理与离心率
【典例分析】
已知椭圆的左焦点和右焦点，上顶点为，的中垂线交椭圆于点，若左焦点在线段上，则椭圆离心率为____．

【提分秘籍】
基本规律
焦点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图：


可分别在俩三角形中各自用余弦定理，联立解离心率


【变式演练】
1.已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，则该椭圆离心率的取值范围是（       ）
A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)

2.已知双曲线的左、右焦点分别为，分别过，作斜率为2的直线交C在x轴上半平面部分于P，Q两点．记面积分别为，若，则双曲线C的离心率为_____________．

3.已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．

【题型七】定比分点与离心率
【典例分析】
椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（    ）
A． B． C． D．


【提分秘籍】
基本规律
过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为



【变式演练】
1.在平面直角坐标系xOy中，点F是椭圆的左焦点，A为椭圆的上顶点，过点A作垂直于AF的直线分别与x轴正半轴和椭圆交于点M，N，若，则椭圆C的离心率e的值为（    ）
A． B． C． D．

2.已知点F为双曲线(，)的左焦点，过原点O的直线与双曲线交于A、B两点(点B在双曲线左支上)，连接BF并延长交双曲线于点C，且，AF⊥BC，则该双曲线的离心率为(    )
A． B． C． D．

3.设为双曲线（，）的右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为________.


【题型八】三角形四心与离心率
【典例分析】
已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（    ）
A． B． C． D．


【变式演练】
1.已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（    ）
A． B． C． D．
2.已知双曲线的左､右顶点分别是，，点，点在过点且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．

3.已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（       ）
A． B． C． D．

【题型九】切线与离心率
【典例分析】
已知椭圆与圆，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．


【提分秘籍】
基本规律
圆的切线：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

同理，椭圆双曲线的切线与切点弦统一方程为：

【变式演练】
1.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（   ）

A． B． C． D．

2.在直角平面坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线左、右两支分别交于点，若，则的值是_________．

3.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点．若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

【题型十】共焦点椭圆与双曲线离心率
【典例分析】
设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为________________________．
【提分秘籍】
基本规律
.椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则

【变式演练】
1.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为
A． B． C． D．

2.设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为
A． B．
C． D．

3.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是
A． B．
C． D．


【题型十一】双曲线渐近线与离心率
【典例分析】
已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是双曲线渐近线上一点，且(其中为坐标原点)，交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．

【变式演练】
1.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一渐近线交于点，若，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．2

2.已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．

3.已知为双曲线：的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（    ）
A．2 B． C． D．
【题型十二】“小题大做”计算离心率（韦达定理型）
【典例分析】
.，分别是椭圆的左右焦点，B是椭圆的上顶点，过点作的垂线交椭圆C于P，Q两点，若，则椭圆的离心率是（    ）
A．或 B．或 C．或 D．或


【提分秘籍】
基本规律
韦达定理型解题思维：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.

【变式演练】
1.点，是曲线C：的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（    ）
A． B． C． D．


2.已知O为坐标原点，双曲线上有A，B两点满足，且点O到直线的距离为c，则双曲线的离心率为__________.



1．（2022·全国·高考真题（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．

2．（山东·高考真题）已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（    ）
A． B． C．2 D．3

3．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．3

4．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ）
A． B． C． D．

5．（2021·全国·高考真题（理））设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

6．（2021·全国·高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．

7．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．

8．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于______.

9．（2020·全国·高考真题（理））已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.

10．（浙江·高考真题（文））椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．

11．（重庆·高考真题（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是__________.

12．（2019·全国·高考真题（理））已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．



1．已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，E上存在两点A，B使得梯形的高为c（其中c为半焦距），且，则E的离心率为（    ）
A． B． C． D．
2．如图，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，正六边形的一边的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．
3．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

4．已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．

5．已知双曲线的左，右焦点分别为、，A是双曲线C的左顶点，以、为为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．

6．设双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则（    ）
A． B． C． D．

7．如图，已知双曲线的左，右焦点分別为，过的直线与双曲线的右支交于两点.若，且，则的值为（    ）

A．3 B．2 C． D．

8．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．直线与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．

9．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点（在同一象限内），且满足． 联结，满足． 若该双曲线的离心率为，求的值_______．

10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，直线垂直于且交线段于点，若，则该椭圆的离心率的取值范围是______.


11．已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.

12．已知双曲线的左右顶点分别是，右焦点，过垂直于轴的直线交双曲线于两点，为直线上的点，当的外接圆面积达到最小时，点恰好落在（或）处，则双曲线的离心率是__________．