2023年高考数学一轮复习《圆锥曲线》分层练习(2份打包，教师版+原卷版)

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2023年高考数学一轮复习《圆锥曲线》分层练习椭圆标准方程与几何性质1.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　)A.＋＝1        B.x2＋＝1    C.＋y2＝1        D.＋＝1【答案解析】答案为：B；解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.2.设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　 　)A.4         B.3       C.2         D.5【答案解析】答案为：A.解析：由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a﹣|PF2|＝10﹣6＝4.3.已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　 　)A.          B.        C.或          D.或【答案解析】答案为：C.解析：由题意知m2＝36，解得m＝±6.当m＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a＝，b＝1，c＝，则e＝；当m＝﹣6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a＝1，b＝，c＝，则e＝.故选C.4.设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)A.        B.           C.        D.【答案解析】答案为：D解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.故e＝＝＝.故选D.5.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点.若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.【答案解析】答案为：8解析：本题主要考查椭圆的定义.由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a.又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.6.设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为________.【答案解析】答案为：24；解析：因为|PF1|＋|PF2|＝14，又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.因为|F1F2|＝10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24.7.已知P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时，cos∠F1PF2＝，则椭圆的离心率为________.【答案解析】答案为：；解析：易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆＋＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a2﹣＝4c2，即a＝c，所以椭圆的离心率e＝＝.8.在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点(，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝__________.【答案解析】答案为：.解析：如图，切线PA、PB互相垂直，半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故＝a，解得e＝＝.双曲线标准方程与几何性质9.方程表示双曲线，则m的取值范围为(　　)A.﹣2＜m＜2　　　   B.m＞0      C.m≥0      D.|m|≥2【答案解析】答案为：A；解析：∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2﹣m)＞0.∴﹣2＜m＜2.10.以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)A.＋＝1        B.＋＝1       C.＋＝1        D.＋＝1【答案解析】答案为：D解析：方程可化为－＝1，∴焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．从而椭圆方程中，a＝4，c＝2，∴b＝2.∵焦点在y轴上，∴椭圆方程为＋＝1.11.直线l：x－2y－5＝0过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为(　　)A.－＝1           B.－＝1      C.－y2＝1           D.x2－＝1【答案解析】答案为：A.解析：根据题意，令y＝0，则x＝5，即c＝5.又＝，所以a2＝20，b2＝5，所以双曲线的方程为－＝1.]12.已知双曲线－＝1(b＞0)的离心率等于b，则该双曲线的焦距为(　　)A.2        B.2     C.6         D.8【答案解析】答案为：D解析：设双曲线的焦距为2c.由已知得＝b，又c2＝4＋b2，解得c＝4，则该双曲线的焦距为8.13.设点P是双曲线﹣＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.【答案解析】答案为：16或4；解析：由双曲线的标准方程得a＝3，b＝4.于是c＝＝5.(1)若点P在双曲线的左支上，则|PF2|﹣|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16；(2)若点P在双曲线的右支上，则|PF1|﹣|PF2|＝6，∴|PF2|＝|PF1|﹣6＝10﹣6＝4.综上，|PF2|＝16或4.14.已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝______.【答案解析】答案为：5解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去).15.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为__________.【答案解析】答案为：.解析：双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，一个焦点坐标为(c,0).由题意得＝×2c.所以c＝2b，a＝＝b，所以e＝＝＝.16.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．【答案解析】答案为：2；解析：双曲线的一条渐近线方程为bx﹣ay＝0，则F(c，0)到这条渐近线的距离为＝c，∴b＝c，∴b2＝c2，又b2＝c2﹣a2，∴c2＝4a2，∴e＝＝2． 抛物线标准方程与几何性质17.抛物线y＝ax2(a≠0)的准线方程是y＝2，则a的值为(　　)A.         B.﹣            C. 8             D.﹣8【答案解析】答案为：B解析：y＝ax2⇒x2＝y，故＝﹣2，所以a＝﹣.故选B.18.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)A.4          B.6        C.8          D. 12【答案解析】答案为：B解析：由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.19.抛物线y2＝2px(p＞0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是焦点，|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则(　　)A.x1，x2，x3成等差数列B.x1，x3，x2成等差数列C.y1，y2，y3成等差数列D.y1，y3，y2成等差数列【答案解析】答案为：A解析：由抛物线的定义知|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|CF|＝x3＋.因为|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，所以2(x2＋)＝(x1＋)＋(x3＋)，即2x2＝x1＋x3.故x1，x2，x3成等差数列.故选A.20.已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)A.x＝1          B.x＝﹣1       C.x＝2          D.x＝﹣2【答案解析】答案为：B解析：∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x﹣，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2﹣2py﹣p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝﹣1.21.抛物线x＝y2的焦点坐标是________.【答案解析】答案为：(m，0).解析：方程改写成y2＝4mx，得2p＝4m，∴p＝2m，即焦点(m，0).22.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2﹣6x﹣7＝0相切，则p的值为________.【答案解析】答案为：2.解析：依题意得，直线x＝﹣与圆(x﹣3)2＋y2＝16相切，因此圆心(3，0)到直线x＝﹣的距离等于半径4，于是有3＋＝4，即p＝2.23.已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.【答案解析】答案为：.解析：设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝，设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝.24.已知顶点与原点O重合，准线为直线x＝﹣的抛物线上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，若y1·y2＝﹣1，则∠AOB的大小是________.【答案解析】答案为：90°；解析：由已知得抛物线方程为y2＝x，因此·＝x1x2＋y1y2＝yy＋y1y2＝(﹣1)2＋(﹣1)＝0.∴⊥.∴∠AOB＝90°.直线与圆锥曲线的综合问题25.若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　　)A.(，)      B.(，＋∞)∪(﹣∞，)C.(，＋∞)          D.(﹣∞，﹣)【答案解析】答案为：B解析：本题考查椭圆的范围.因为点P在椭圆＋＝1的外部，所以＋＞1，解得a＞或a＜，故选B.26.直线y=x＋3与双曲线－=1的交点个数是(　　)A.1　　　　B.2　　　　C.1或2　　　　D.0【答案解析】答案为：A.解析：因为直线y=x＋3与双曲线的渐近线y=x平行，所以它与双曲线只有1个交点.]27.经过椭圆＋y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于(　　)A.－3           B.－         C.－或－3          D.±【答案解析】答案为：B.解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0=tan 45°(x－1)，即y=x－1，代入椭圆方程＋y2=1并整理得3x2－4x=0，解得x=0或x=，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，（，），∴·=－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·=－.]28.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是(　　)A.－＝1         B.－＝1     C.－＝1         D.－＝1【答案解析】答案为：D解析：设双曲线方程－＝1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴①－②，得＝·.∴1＝·，∴5a2＝2b2.又a2＋b2＝7，∴a2＝2，b2＝5，故选D.29.已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长AB＝3，(1)求m的值；(2)设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P点的坐标.【答案解析】解：(1)由⇒4x2＋4(m﹣1)x＋m2＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝1﹣m，x1·x2＝，|AB|＝·＝·＝.由|AB|＝3，即＝3⇒m＝﹣4.(2)设P(a,0)，P到直线AB的距离为d，则d＝＝，又S△ABP＝|AB|·d，则d＝，＝⇒|a﹣2|＝3⇒a＝5或a＝﹣1，故点P的坐标为(5,0)或(﹣1,0).30.已知抛物线C:x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线C交于M，N两点.(1)若直线l的方程为y＝x＋3，求∣MF∣＋∣NF∣的值；(2)若直线l的斜率为2，l与y轴的交点为P，且，求∣MN∣.【答案解析】解:(1)设，.联立整理得， 则. 因为均在抛物线C上，所以. (2)设，则直线l的方程为.联立整理得， 则，，且，即. 因为，所以点N为线段的中点，所以. 因为，所以，，此时，， 故.