初中数学北师大版九年级下册1 锐角三角函数当堂检测题

《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题
1．（2020•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（　　）

A． B．4 C．8 D．4

2．（2020•抚顺县四模）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（　　）

　 A．60° B． 90° C． 120° D． 150°

3．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的值是(    )．

A．3        B．6        C．8        D．9

            第1题图                第3题图                 第4题图

4．如图所示，在菱形ABCD中，DE⊥AB，， tan∠DBE的值是(    )．

    A.         B.2          C.        D.

5．如图所示，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于(    )．

A．       B．        C．        D．

第5题图                               第7题图

6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosA的值为（    ）．

    A．        B．      C．      D．

7．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为(    )．

    A．5cosα米     B．米     C．米       D．米

8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（   ）．

A．30°         B．50°         C．60°或120°    D．30°或150°

二、填空题

9．计算：________．

10．如图所示，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，，则AC＝________．

11．如图所示，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到，使点与C重合，连接，则tan∠的值为________．

第10题图                   第11题图                    第12题图

12．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC＝3米，，则梯子

长AB＝_______米．

13.如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的 处，那么tan∠BAD′等于________．

                  第13题图                     第15题图

14．一次函数经过(tan 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________．

15．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，AC＝6，CD＝5，则sinA等于________．

16．（2020•自贡）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=　　，tan∠APD的值=　　．

三、解答题

17. （2020•沛县二模）如图是某市一座人行过街天桥，天桥高CB=5米，斜坡AC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的傾斜角为30°．若新坡脚前需留3m的人行道，问离原坡脚A处7m的建筑物M是否需要拆除，请说明理由．

（≈1.73）

18．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．

(1)求tan∠ACB的值；

(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．

19．如图所示，点E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．

(1)求证：AB＝DE；

(2)若AC交DE于M，且AB＝，ME＝，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．

20. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD＝10，连接BD．

    (1)求证：∠CDE＝2∠B；

    (2)若BD:AB＝:2，求⊙O的半径及DF的长．

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】D.

【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，即cos30°=，

∴BC=8×=4；故选：D．

2．【答案】A；

【解析】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥CB于D，

依题意得CD：AD=1：=：3，

而tan∠DAC=CD：AD，

∴tan∠DAC=：3，

∴∠DAC=30°，

∴顶角∠BAC=60°．

3.【答案】B；

【解析】因为AD＝DC，所以∠DAC＝∠DCA，又∵  AD∥BC，∴  ∠DAC＝∠ACB，

所以∠DCA＝∠ACB．在Rt△ACB中，AC＝BC·cos∠BCA＝，则．

4.【答案】B；

【解析】∵DE⊥AB，∴在Rt△ADE中，cosA＝．

∴设AD＝5k，则AE＝3k，DE＝4k，又AD＝AB，

∴BE＝2k，

∴tan∠DBE＝．

5.【答案】B；

【解析】如图所示，连结BD，由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4，又BC＝5，CD＝3，

∴  CD2+BD2＝BC2．∴  △BDC是直角三角形．且∠BDC＝90°，∴  ．

6.【答案】C；

【解析】∵，∴ ∠B＝60°，∠A＝90°－60°＝30°，

∴．

7．【答案】B；

【解析】由上图知，在Rt△ABC中，．∴．

8．【答案】D；

【解析】有两种情况：当∠A为锐角时，如图(1)，sin A＝，∠A＝30°；

当∠A为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝，180°－∠BAC＝30°，∠BAC＝150°．

二、填空题

9．【答案】；

  【解析】原式＝．

10．【答案】5；

【解析】在Rt△ABC中，．AD⊥BC，所以∠CAD＝∠B．

∴，∴，

又∵  AD＝4，∴AC＝5．．

11．【答案】；

【解析】过作于点D，在Rt△中，设，则，BC=2x,BD=3x.

12．【答案】4 ；  

【解析】由，知，AB＝4米．

13．【答案】；

   【解析】由题意知．在Rt△ABD′中，．

14．【答案】；

【解析】tan 45°＝1, tan60°＝，-cos60°＝，-6tan30°＝．

设y＝kx+b经过点、，则用待定系数法可求出，．

15．【答案】；

【解析】∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，

∴AB＝2CD＝2×5＝10，BC＝，

∴．

16.【答案】3，2．

【解析】解：∵四边形BCED是正方形，

∴DB∥AC，

∴△DBP∽△CAP，

∴==3，

连接BE，

∵四边形BCED是正方形，

∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，

∴BF=CF，

根据题意得：AC∥BD，

∴△ACP∽△BDP，

∴DP：CP=BD：AC=1：3，

∴DP：DF=1：2，

∴DP=PF=CF=BF，

在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，

∵∠APD=∠BPF，

∴tan∠APD=2，

三、解答题

17.【答案与解析】

解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=5，

∵i=1：1，∴AB=5，

在Rt△DBC中，∠DBC=90°，∠CDB=30°，BC=5，

tan30°=，

∴=，

解得DB==5×1.73≈8.65，

∵BM=7+5=12，BD≈8.65，

∴12﹣8.65＞3，

所以，离原坡脚7m的建筑物无需拆除．

18.【答案与解析】

    (1)如图所示，作AE⊥BC于E，

则BE＝AB·cos B＝8cos 60°＝．

AE＝AB·sin B＝8sin 60°＝．

∴EC＝BC－BE＝12—4＝8．

∴在Rt△ACE中，tan∠ACB＝

(2)作DF⊥BC于F，则AE∥DF，

∵ AD∥EF，∴ 四边形AEFD是矩形．AD＝EF．

∵ AB＝DC，∴ ∠B＝∠DCF．

又∵∠AEB＝∠DFC＝90°，∴△ABE△≌△DCF(AAS)．

∴FC＝BE＝4，∴EF＝BC－BE—FC＝4．∴AD＝4．

∴MN＝(AD+BC)＝×(4+12)＝8．

19.【答案与解析】

    (1)证明：∵BE＝FC，∴BC＝EF．

     又∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，

     ∴△ABC≌△DEF．∴AB＝DE．

    (2)解：∵∠DEF＝∠B＝45°，∴DE∥AB．

∴∠CME＝∠A＝90°．

∴AC＝AB＝，MC＝ME＝．∴CG＝CE＝2．

在Rt△CAG中，，∴∠ACG＝30°．

∴∠ECG＝∠ACB－∠ACB＝45°－30°＝15°．

20.【答案与解析】

(1)连接OD，∵直线CD与⊙O相切于点D，

∴OD⊥CD，∴∠CD0＝90°，∴∠CDE+∠ODE＝90°．

又∵DF⊥AB，∴∠DEO＝∠DEC＝90°，∴∠EOD+∠ODE＝90°．

∴∠CDE＝∠EOD．又∵∠EOD＝2∠B；

∴∠CDE＝2∠B．

(2)连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．

∵BD:AB＝:2，∴在Rt△ADB中，，

∴∠B＝30°，∵∠AOD＝2∠B＝60°．

又∵∠CDO＝90°，∴∠C＝30°，∵在Rt△CDO中，CD＝10，

∴ OD＝10tan 30°＝．即⊙O的半径为．

在Rt△CDE中，CD＝10，∠C＝30°，∴DE＝CDsin 30°＝5．

∵ 弦DF⊥直径AB于点E，∴ DE＝EF＝DF，∴ DF＝2DE＝10．