初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.1 圆练习题

第22课  圆的基本概念和性质

知识点01  圆的定义及性质

1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做          . 以点O为圆心的圆，记作“     ”，读作“圆O”．

要点诠释：
　  ①圆心确定圆的       ，半径确定圆的      ；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
  　②圆是一条封闭曲线.

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内  的集合.
要点诠释：
　  ①定点为圆心，定长为半径；
　　②圆指的是圆周，而不是圆面；
　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

2.圆的性质
　　①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是       图形，对称中心是       ；
  　②圆是         图形：任何一条直径         都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条

     都是圆的对称轴.

要点诠释：
　　①圆有     条对称轴；
　  ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是         ，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.
3.两圆的性质
　   两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.

知识点02  与圆有关的概念

1. 弦

弦：                 叫做弦.
　　直径：经过                 叫做直径.

弦心距：                 叫做弦心距.
要点诠释：
　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中           ，即直径是弦，但弦不一定是直径.
　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
 

证明：连结OC、OD
 

　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦.
2. 弧
弧：           叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，       都叫做半圆；
　　优弧：               的弧叫做优弧；
　　劣弧：               的弧叫做劣弧.
要点诠释：
　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.同心圆与等圆
　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
 

4.等弧
　　在同圆或等圆中，               叫做等弧.
要点诠释：
　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
    ②圆中两平行弦所夹的弧相等.

考法01   圆的定义

【典例1】已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.

【即学即练1】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（   ）

A.正方形      B.菱形     C.矩形       D.等腰梯形

【典例2】爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？

考法02   圆及有关概念

【典例3】下列说法中，正确的是（　　）

A．两个半圆是等弧

B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧

C．长度相等的弧是等弧

D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧

【即学即练2】 点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

考法03   圆的对称性

【典例4】圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？

【即学即练3】平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（   ）.

A.2.5cm      B.6.5cm     C. 2.5cm或6.5cm     D. 5cm或13cm

【即学即练4】（1）过____________________上的三个点确定一个圆．

（2）交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．

【典例5】如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是           .

【即学即练5】已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是___        ____．

题组A  基础过关练

1．有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

2．过圆上一点可以作圆的最长弦有（ ）条．

A．1 B．2 C．3 D．无数条

3．等于圆周的弧为(　　)

A．劣弧 B．半圆 C．优弧 D．圆

4．如果圆外一点P到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（    ）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

5．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作( )

A．1    B．2    C．3    D．无数个

6．在同圆或等圆中________弧叫等弧．

7．已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为______________cm

8．下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是______填序号．

题组B  能力提升练

1．下列说法正确的是（　　）

A．弦是直径    B．弧是半圆

C．半圆是弧    D．通过圆心的线段是直径

2．下列语句中，不正确的个数是(　　)

①弦是直径　②半圆是弧　③长度相等的弧是等弧　④经过圆内一点可以作无数条直径

A．1 B．2 C．3 D．4

3．如图，中，点，，以及点，，分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）

A．条 B．条 C．条 D．条

4．如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有______个．

5．如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则a、b、c的大小是_________．

6．如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于________．

7．P为⊙O内一点，OP＝3cm，⊙O的半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_____cm，最长弦长为_____cm．

题组C  培优拔尖练

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数．

2．如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.

3．如图，点E为⊙O的直径AB上一个动点，点C、D在下半圆AB上（不含A、B两点），且∠CED=∠OED=60°，连OC、OD

（1）求证：∠C=∠D；

（2）若⊙O的半径为r，请直接写出CE+ED的变化范围．

4．（问题提出）用n个圆最多能把平面分成几个区域？

（问题探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．

探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域．

探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？

如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．

探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？

如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．

（1）用4个圆最多能把平面分成几个区域？

仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．

（2）（一般结论）用n个圆最多能把平面分成几个区域？

为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成______________部分，从而增加___________________个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成__________________个区域．（将结果进行化简）

（3）（结论应用）

①用10个圆最多能把平面分成_________个区域；

②用___________个圆最多能把平面分成422个区域．