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专题7-1 均值不等式及其应用-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练(全国通用)
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专题7-1 均值不等式及其应用 目录【题型一】基础型:公式“取等”条件【题型二】基础型:型【题型三】凑配“对钩”型【题型四】常数代换型【题型五】分式型凑配【题型六】“积、和”化“1”型【题型七】“和、积”解不等式型【题型八】消元型【题型九】分子代换分离型【题型十】均值用两次【题型十一】齐次同除型【题型十二】多元均值【题型十三】代数式换元【题型十四】三角函数式换元【题型十五】“万能K”法【题型十六】因式分解型【题型十七】权方和不等式应用【题型十八】复杂的求“和”型【题型十九】公式扩展:不等式链真题再现模拟检测综述:均值不等式1.(1)若,则 (2)若,则(当且仅当时取“=”)2. (1)若,则 (2)若,则(当且仅当时取“=”)(3)若,则 (当且仅当时取“=”)3.若,则 (当且仅当时取“=”);若,则 (当且仅当时取“=”)若,则 (当且仅当时取“=”)4.若,则 (当且仅当时取“=”)若,则 (当且仅当时取“=”)5.若,则(当且仅当时取“=”) 【题型一】基础型:公式“取等”条件【典例分析】(2022·新疆·乌苏市第一中学高三开学考试)下列函数,最小值为2的函数是( )A. B.C. D. 【提分秘籍】基本规律 基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方 【变式演练】1.(2022·全国高三课时练习)已知,用基本不等式求的最小值时,有,则取得最小值时的值为( )A. B. C. D.3 2.(2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高三模拟)已知正数,满足,则取得最小值时,的值为( )A.2,2 B.2,4 C.4,4 D.4,2 3.(2021·全国高三课时练习)在均值不等式中,令,,则得到的对应结论为( )A.如果,都是正数,那么,当且仅当时,等号成立B.如果,都是正数,那么,当且仅当时,等号成立C.如果,都不为零,那么,当且仅当时,等号成立D.如果,都不为零,那么,当且仅当时,等号成立 【题型二】基础型:型【典例分析】(2021·全国高三专题练习)已知,,则的最小值为( )A.3 B.4 C.5 D.6 【提分秘籍】基本规律形如,要分类讨论正负1.若,则 (当且仅当时取“=”)2.若,则 (当且仅当时取“=”) 【变式演练】1.(2021·全国高三课时练习)是的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2022·全国高三专题练习)若,,则的最小值是( )A. B. C.4 D.2 3.(2021·全国高三课时练习)代数式的最小值是( ).A.4 B.2 C.k D.不能确定【题型三】凑配“对钩”型【典例分析】(2021·全国高三专题练习)若关于的不等式对任意恒成立,则正实数的取值集合为( )A.(-1,4] B.(0,4) C.(0,4] D.(1,4] 【提分秘籍】基本规律凑配“对钩”型:添常数凑配. 【变式演练】1.(2022·甘肃·兰州市第二中学高三期末)若,则的最小值为( )A. B. C. D. 2.(2021·云南省楚雄天人中学高三阶段练习)当时,( )A.有最大值1 B.有最大值2 C.有最小值5 D.有最小值 3.(2021·全国高三课时练习)代数式的最小值是( ).A.4 B.2 C.k D.不能确定【题型四】常数代换型【典例分析】(2021·全国高三专题练习)已知x>0,y>0,且+=1,若恒成立,则实数m的取值范围是( )A.m≤-2或m≥2 B.m≤-4或m≥2C.-2<m<4 D.-2<m<2 【提分秘籍】基本规律条件和所求式子中有与a+b,可以借助m=来来构造替换,进而展开用均值不等式 【变式演练】1.(2021·江苏高三单元测试)已知,且,若对任意的恒成立,则实数的取值不可能为( )A. B. C. D.2 2.(2022·全国高三专题练习)已知,,且,则的最小值是( )A. B.2 C.9 D.4 3.(2022·全国高三专题练习)若正数满足,则的最小值是( )A. B. C.5 D.6 【题型五】分式型凑配【典例分析】(2021·河南开封高三模拟)若正数,满足,则的最小值是( )A. B. C. D.【提分秘籍】基本规律形如a+b=t,求型,则可以凑配(a+m)+(b+n)=t+m+m,再利用“1”的代换来求解。其中可以任意调换a、b系数,来进行变换凑配。 【变式演练】1.(2022·甘肃·张掖市第二中学高三期末)已知两个正实数,满足,则的最小值是( )A. B. C.8 D.3 2.(2021·江苏淮安高三模拟)当0<x<1时,最小值为( )A.0 B.9 C.10 D.18 3.(2021·全国高三专题练习)已知实数x,y满足,且,则的最小值为( )A. B. C.1 D.【题型六】“积、和”化“1”型【典例分析】(2022·全国高三专题练习)已知,,,则的最小值为( )A.2 B.3 C. D. 【提分秘籍】基本规律有和有机无常数型等式,可以同除积,再进行“1”的代换 【变式演练】1.(2022·湖北宜昌高三模拟)已知 为正实数, 且 , 则 的最小值是( )A. B. C. D. 2.(2021·黑龙江·铁人中学高三模拟)已知,则和的最小值分别是( )A.16 ,32 B.16 ,64 C.18,32 D.18,64 3.(2021·湖南岳阳高三模拟)已知,,且,则的最小值是( )A. B. C. D. 【题型七】“和、积”解不等式型【典例分析】(2022·河南三门峡高三期末)若正实数,满足,则的最小值为( )A. B. C. D. 【提分秘籍】基本规律形如求型,可以对“积pxy”部分用均值,再解不等式,注意凑配对应的“和”的系数系数,如下: 【变式演练】1.(2021·江苏高三专题练习)若正实数满足,则的最小值为( )A. B. C. D. 2.若实数,满足,则的最大值是( )A.12 B. C.8 D. 3.已知,为正实数,且,则( 多选题 )A.的最大值为2 B.的最小值为4 C.的最小值为3 D.的最小值为 【题型八】消元型【典例分析】(2021·全国高三单元测试)已知,,且,则的最小值为( )A. B. C. D. 【提分秘籍】基本规律如果不容易直接观察出均值,可以反解代入消元,在构造“单变量”均值形式求解 【变式演练】1.(2021·重庆八中高三模拟)已知,,,则的最小值为( )A.8 B. C.9 D. 2.(2022·山东临沂高三期末)已知,且,则有( )A.最大值 B.最小值 C.最大值 D.最小值 3.(2021·广东·广州外国语学校高三阶段练习)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是( )A.1 B.3C.6 D.12 【题型九】分子代换分离型【典例分析】已知正实数满足,则的最小值是( )A. B. C. D. 【变式演练】1.已知正数a,b满足,则的最小值是___________. 2.已知正数满足,则的最大值是( )A. B. C.1 D. 3.若正实数x,y满足2x+y=2,则的最小值是_____. 【题型十】均值用两次【典例分析】设a、b、c是正实数满足,则的最小值为______. 【提分秘籍】基本规律一般情况下均值用两次,要保证相同字母“取等”条件和数值一致。 【变式演练】1.设,,则当___________时,的最小值为___________. 2.若,则的最小值为____________. 3.是不同时为0的实数,则的最大值为( )A. B. C. D. 【题型十一】齐次同除型【典例分析】若a,b均为正实数,则的最大值为 A. B. C. D.2天津市南开区2019届高三上学期末数学试卷(文) 【提分秘籍】基本规律一般情况下,满足(1)分式;(2)分子分母齐次。则可以同除构造单变量来求最值。 【变式演练】1.已知,,则的最小值为____. 2.函数的最大值为( )A. B. C. D. 3.已知,,则的最大值是 . 【题型十二】多元均值【典例分析】己知,,,且,则的最小值为 . 【变式演练】1.已知正数满足, 则的最小值是( )A. B. C. D. 2..设是三个正实数,且,则的最大值为_______. 3.(2021·全国高三专题练习)设且不等式恒成立,则实数t的最大值为( )A.13 B.6 C.8 D.62. 【题型十三】代数式换元【典例分析】(2019·天津高考模拟(文))已知,若点在直线上,则的最小值为__________ 【变式演练】1.(黑龙江大庆实验中学高三模拟)设为正实数,且,则的最小值为__ 2.若实数x,y满足,则的取值范围是 . 3.设正实数满足,不等式恒成立,则的最大值为 ( )A. B. C. D. 【题型十四】三角函数式换元【典例分析】已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0,则|x|+|y|的最大值为A.2 B.4 C. D. 【变式演练】1.已知,,则的最小值为____. 2.(2021嘉兴期末)已知实数x,y满足,则的取值范围是__ _ 3.设a,b∈R,a2 + 2b2 = 6, 则a+b的最小值是( ).A. B. C. D. 【题型十五】“万能K”法【典例分析】(2021·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知,若,则的最小值是( )A.8 B.7 C.6 D.5 【提分秘籍】基本规律一般情况下的“万能K法”设K法的三个步骤:⑴、问谁设谁:求谁,谁就是K;⑵、代入整理:整理成某个变量的一元二次方程(或不等式);⑶、确认最值:方程有解(或不等式用均值放缩),≥0确定最值。 【变式演练】1.已知正数满足,则的最大值为__________. 2.已知,若,则的最小值是( )A. B. C. D. 3.已知(),则的最小值为( )A. B.9 C. D. 【题型十六】因式分解型【典例分析】若实数、、,且,则的最小值为( )A. B. C. D. 【提分秘籍】基本规律 1.特征:条件式子复杂,一般有一次和二次(因式分解展开就是一次和二次),可能就符合因式分解原理2.最常见的因式分解:a+b+ab+1=(a+1)(b+1) 【变式演练】1.(2022·全国高三课时练习)已知正实数,,若,,则的取值范围是( )A. B. C. D. 2.已知,且,则的最小值是___. 3.已知,且,则的取值范围是A. B. C. D. 【题型十七】权方和不等式应用【典例分析】 (2019·赤峰二中高三月考(理))若正数满足,则的最小值为A. B. C.2 D. 【提分秘籍】基本规律:二元结构形式:取,设则,当且仅当时等号成立.三元结构形式:取,设则,当且仅当时等号成立. 【变式演练】1.已知正数满足,则的最大值为__________. 2.已知实数且,则的最小值为__________. 3.【2019届徐州市12月月考12】已知正实数满足,则的最小值为 . 【题型十八】复杂的求“和”型【典例分析】 【变式演练】1.(2019·浙江高三期末)已知,,且,则的最小值为A. B. C.5 D.9 2.已知,且满足,则的最小值为 【题型十九】公式扩展:不等式链【典例分析】(2022·全国高三课时练习)若不等式对任意正数a,b恒成立,则实数x的最大值为A. B.3 C. D.1 【提分秘籍】基本规律均不等式链: 【变式演练】1.(2020·重庆十八中高三阶段练习)已知,且,则最大值与最小值的和为( )A.16 B.15 C.14 D.13 2.(2021·全国高三专题练习)的最大值为( )A. B.13 C. D. 3.(2020·浙江高三期末)若,则下列关系正确的是( )A. B.C. D. 1,(2021·全国·高考真题(文))下列函数中最小值为4的是( )A. B.C. D. 2.(2020·全国·高考真题(理))设为坐标原点,直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点,若的面积为8,则的焦距的最小值为( )A.4 B.8 C.16 D.32 3.(·重庆·高考真题(文))f(x)=x+(x>2),在x=a处取最小值,则a=A.1+ B.1+ C.3 D.4 4.(山东·高考真题(文))设正实数满足,则当取得最小值时,的最大值为A. B. C. D. 5.(2022·全国·高考真题)若x,y满足,则( )A. B.C. D. 6.(2020·海南·高考真题)已知a>0,b>0,且a+b=1,则( )A. B.C. D. 7.(2021·天津·高考真题)若,则的最小值为____________.8.(2020·天津·高考真题)已知,且,则的最小值为_________. 9.(2020·江苏·高考真题)已知,则的最小值是_______. 10.(2019·天津·高考真题(文)) 设,,,则的最小值为__________. 11.(2019·天津·高考真题(理))设,则的最小值为______. 12.(·浙江·高考真题(理))设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是___________. 13.(·浙江·高考真题(文))_____ 14.(·江苏·高考真题)的最小值为_______________. 1.(2021·江苏高三专题练习)不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为( )A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y2.(2021·安徽省六安中学高三模拟)下列运用基本不等式求最值,使用正确的个数是①已知,由,求得的最小值为2②由,求得的最小值为2③已知,由,当且仅当即时等号成立,把代入得的最小值为4.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.(2019·江西师大附中高三模拟)的最小值是( )A. B. C. D. 4.(2021·江苏高三单元测试)已知,且,若恒成立,则实数的取值范围是( )A.或 B.或C. D. 5.(2022·全国高三课时练习)已知正实数x,y满足4x+3y=4,则的最小值为( )A. B. C. D. 6.(2021·江苏·赣榆一中高三阶段练习)若两个正实数,满足,若不等式恒成立,则实数的取值范围是( )A. B.C. D. 7.已知,,,则( 多选题 )A.的最大值为2 B.的最小值为4C.的最小值为3 D.的最小值为 8.(2021·浙江省杭州第二中学高三模拟)已知正数a和b满足ab+a+2b=7,则的最小值为( )A. B. C. D. 9.已知,,且,则最小值为_ 10(2021·全国高三专题练习)已知实数a,b满足,若不等式恒成立,则实数m的取值范围是( )A. B. C. D. 11.已知正实数,,满足,则的最小值为______. 12.(2021·全国高三专题练习)若对于正实数,,有,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 13.(2021·全国高三专题练习)已知,,,且,则的最小值为( )A. B. C. D. 14.若实数满足,则的最大值为______________。 15.若 且满足 ,则 的最大值是 ( ) A.2 B. C.3 D. 16已知(),则的最小值为( )A. B.9 C. D. 17.(2019·江苏高三月考)若,且,则的最小值为_____ 18.已知正数满足,则的最大值为 . 19. 20.(2021·江苏高三专题练习)设,且,,则( )A.有最大值,无最小值 B.有最大值,有最小值C.无最大值,有最小值 D.无最大值,无最小值