专题7-1 均值不等式及其应用-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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专题7-1 均值不等式及其应用

目录
【题型一】基础型：公式“取等”条件 2
【题型二】基础型：型 3
【题型三】凑配“对钩”型 4
【题型四】常数代换型 5
【题型五】分式型凑配 5
【题型六】“积、和”化“1”型 6
【题型七】“和、积”解不等式型 7
【题型八】消元型 7
【题型九】分子代换分离型 8
【题型十】均值用两次 8
【题型十一】齐次同除型 9
【题型十二】多元均值 10
【题型十三】代数式换元 11
【题型十四】三角函数式换元 11
【题型十五】“万能K”法 12
【题型十六】因式分解型 12
【题型十七】权方和不等式应用 13
【题型十八】复杂的求“和”型 14
【题型十九】公式扩展：不等式链 14
真题再现 15
模拟检测 16

综述：
均值不等式
1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
(3)若，则 (当且仅当时取“=”）
3.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
4.若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
5.若，则（当且仅当时取“=”）



【题型一】基础型：公式“取等”条件
【典例分析】
（2022·新疆·乌苏市第一中学高三开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（       ）
A． B．
C． D．

【提分秘籍】
基本规律

基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

【变式演练】
1.（2022·全国高三课时练习）已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（       ）
A． B． C． D．3

2.（2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高三模拟）已知正数，满足，则取得最小值时，的值为（       ）
A．2，2 B．2，4 C．4，4 D．4，2

3.（2021·全国高三课时练习）在均值不等式中，令，，则得到的对应结论为（    ）
A．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立
B．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立
C．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立
D．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立


【题型二】基础型：型
【典例分析】
（2021·全国高三专题练习）已知，，则的最小值为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6


【提分秘籍】
基本规律
形如，要分类讨论正负
1.若，则 (当且仅当时取“=”）
2.若，则 (当且仅当时取“=”）


【变式演练】
1.（2021·全国高三课时练习）是的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2.（2022·全国高三专题练习）若，，则的最小值是（       ）
A． B． C．4 D．2

3.（2021·全国高三课时练习）代数式的最小值是（       ）．
A．4 B．2 C．k D．不能确定
【题型三】凑配“对钩”型
【典例分析】
（2021·全国高三专题练习）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（       ）
A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]


【提分秘籍】
基本规律
凑配“对钩”型：
添常数凑配.


【变式演练】
1.（2022·甘肃·兰州市第二中学高三期末）若，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．

2.（2021·云南省楚雄天人中学高三阶段练习）当时，（       ）
A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值

3.（2021·全国高三课时练习）代数式的最小值是（       ）．
A．4 B．2 C．k D．不能确定
【题型四】常数代换型
【典例分析】
（2021·全国高三专题练习）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（       ）
A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2



【提分秘籍】
基本规律
条件和所求式子中有与a+b，可以借助m=来来构造替换，进而展开用均值不等式



【变式演练】
1.（2021·江苏高三单元测试）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值不可能为（       ）
A． B． C． D．2

2.（2022·全国高三专题练习）已知，，且，则的最小值是（       ）
A． B．2 C．9 D．4

3.（2022·全国高三专题练习）若正数满足，则的最小值是（       ）
A． B． C．5 D．6


【题型五】分式型凑配
【典例分析】
（2021·河南开封高三模拟）若正数，满足，则的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本规律
形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+m，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。



【变式演练】
1.（2022·甘肃·张掖市第二中学高三期末）已知两个正实数，满足，则的最小值是（       ）
A． B． C．8 D．3

2.（2021·江苏淮安高三模拟）当00，b>0，且a+b=1，则（    ）
A． B．
C． D．

7．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
8．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．

9．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______．

10．（2019·天津·高考真题（文）） 设，，，则的最小值为__________.

11．（2019·天津·高考真题（理））设，则的最小值为______.

12．（·浙江·高考真题（理））设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是___________．

13．（·浙江·高考真题（文））_____

14．（·江苏·高考真题）的最小值为_______________．


1.（2021·江苏高三专题练习）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（       ）
A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x0），则x+y的最小值为（ ）
A．53 B．9 C．4+26 D．10


17.（2019·江苏高三月考）若a,b∈R，且a2+2ab-3b2=1，则a2+b2的最小值为_____

18.已知正数满足，则的最大值为 　　 ．

19.

20.（2021·江苏高三专题练习）设，且，，则（       ）
A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值