专题4-2 三角函数图像与性质归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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目录
一、热点题型归纳
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc24895" 【题型一】平移1：正弦←→余弦 PAGEREF _Tc24895 2
\l "_Tc6437" 【题型二】平移2：识图平移3
\l "_Tc27425" 【题型三】平移3：恒等变形平移4
\l "_Tc31125" 【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质5
\l "_Tc11443" 【题型五】平移5：最小平移6
\l "_Tc29912" 【题型六】平移6：求w最值7
\l "_Tc16663" 【题型七】正余弦函数对称轴8
\l "_Tc21184" 【题型八】正余弦对称中心9
\l "_Tc19782" 【题型九】三角函数周期 PAGEREF _Tc19782 10
\l "_Tc22305" 【题型十】单调性与最值11
\l "_Tc30076" 【题型十一】正余弦“和”与“积”性质、最值11
\l "_Tc11799" 【题型十二】三角函数零点12
\l "_Tc13034" 【题型十三】图像与性质：x1与x2型13
\l "_Tc7030" 【题型十四】三角函数最值14
\l "_Tc13304" 【题型十五】万能代换与换元15
\l "_Tc3701" 【题型十六】图像和性质综合15
\l "_Tc929" 二、真题再现16
\l "_Tc1061" 三、模拟检测 PAGEREF _Tc1061 18
【题型一】平移1：正弦←→余弦
【典例分析】
（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）已知函数，若的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1（2023·全国·高三专题练习）已知直线是函数的图像的一条对称轴，为了得到函数的图像，可把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
2.（2022·全国·高三专题练习）为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
3.（2023·全国·高三专题练习）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
【题型二】平移2：识图平移
【典例分析】
（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））如图，函数的图像过两点，为得到函数的图像，应将的图像（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【变式演练】
1.（2022·河南·高三阶段练习（理））函数（且）在一个周期内的图象如图所示，将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．1C．－1D．
2.（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移个单位长度，最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到如图所示的函数的部分图象，则的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【题型三】平移3：恒等变形平移
【典例分析】
（2022·湖北·高三开学考试）要得到的图象，只需要将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·全国·高三专题练习）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
3.（【百强校】2015届浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试理科数学）设，把的图像向左平移个单位后，恰好得到函数的图象，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【题型四】平移4：中心对称，轴对称，单调性等性质
【典例分析】
（2022·安徽·高三开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．0D．
【变式演练】
1.（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数 的图象， 若的图象关于原点对称， 则 （ ）
A．B．C．D．
2.．（2021·河南·高三开学考试（理））将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，若是函数图像的一个对称中心，则函数的一个单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·全国·高三专题练习）将偶函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则的一个单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【题型五】平移5：最小平移
【典例分析】
（【百强校】2019-2020学年湖南省株洲二中）把函数的图像沿轴向左平移个单位，所得函数的图像关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023·全国·高三专题练习）函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·全国·高三专题练习（文））将曲线向左平移个单位长度得到曲线，将曲线向右平移个单位长度得到曲线，若与关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【题型六】平移6：求w最值
【典例分析】
（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为（ ）
A．B．2C．3D．
【变式演练】
1.（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．5
2.（2023·全国·高三专题练习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知函数的最小正周期为，将其图象沿x轴向左平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【题型七】正余弦函数对称轴
【典例分析】
已知函数，直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知函数，记函数在区间t,t+π4上的最大值为，最小值为，设函数ht=Mt-mt.若t∈π12,5π12，则函数ht的值域为______.
广东省潮州市2019-2020学年高三下学期模拟数学试题
2..若fx=2sin2x+φφ>0的图象关于直线x=π12对称，且当取最小值时，∃x0∈0,π2，使得fx0=a，则的取值范围是______.
广东省华南师范大学附属中学2022届高三上学期1月模拟数学试题
3.已知函数 ，记方程在上的根从小到大依次为，，，求=____.
【题型八】正余弦对称中心
【典例分析】
已知（）既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
黑龙江省哈尔滨德强学校2021-2022学年高三上学期期末考试数学（文）试题（清北班）
【变式演练】
1.（2020·湖南岳阳·二模（理））的最大值是3，的图像与y轴的交点坐标为，其相邻两个对称中心的距离为2，则______．
2.（2021江苏·南京师大附中一模）设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，则在区间上的最大值为______________
3.（20122·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝sin(2x＋φ)与函数g(x)＝cs (ω＞0)的所有的对称中心全都相同，则φ＝_____．
【题型九】三角函数周期
【典例分析】
（2020·全国·模拟预测（理））函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知函数，则
A．的最小正周期为，最小值为1
B．的最小正周期为，最小值为-3
C．的最小正周期为，最小值为1
D．的最小正周期为，最小值为-3
2.（2020·浙江·模拟预测）已知函数，，与的最小正周期分别是（ ）
A．B．C．D．
3.（2019·四川成都·模拟预测（文））函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【题型十】单调性与最值
【典例分析】
函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是
A．B．
C．D．
重庆市南开中学2019-2020学年高三上学期第二次教学质量检测数学（理）试题
【变式演练】
1.已知函数 的图象过点（0， ），最小正周期为 ，且最小值为－1.若 ，的值域是 ，则m的取值范围是_____.
2.已知函数在上的值域为，则的取值范围为______.
3.已知fx=sinωx+φ+π3ω>0同时满足下列三个条件：①T=π；②y=fx-π3是奇函数；③f0江西省宜春市2019-2020学年高三期末质量监测数学试题
【题型十一】正余弦“和”与“积”性质、最值
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.（2021·江西抚州·三质检）若 是三角形的最小内角，则函数的最小值是
A．B．C．D．
2..已知实数a>0，若函数fx=asinx+csx-sinxcsx-ax∈R的最大值为92，则a的值为____________.
河南省信阳高级中学2020-2021学年高三数学试题
3.已知直线与函数和函数的图象分别交于两点，若，则线段中点的纵坐标为_________.
福建省2016届高三毕业班总复习（三角函数）单元过关形成性测试卷（理科）数学试题
【题型十二】三角函数零点
【典例分析】
设函数为定义域为R的奇函数，且，当 时，，则函数在区间上的所有零点的和为
A．6B．7C．13D．14
福建省泉州市泉港区第一中学2019届高三上学期第二次月考数学（理）试题
【变式演练】
1.设正整数使得关于的方程在区间内恰有个实根，则（ ）
A． B．
C． D．，，成等差数列
武汉大学2020年强基计划数学试题
2函数在上的所有零点之和等于______.
3.已知函数是定义在R的偶函数，当时， 若函数有且仅有6个不同的零点，则实数a取值范围_____________________.
山东省日照第一中学2017届高三4月“圆梦之旅”（九）数学（文）试题
【题型十三】图像与性质：x1与x2型
【典例分析】
（【百强校】2021届江西金溪一中等校高三上期中联考文数）已知函数（其中为正实数）的图象关于直线对称，且，且恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A． B．不等式取到等号时的最小值为
C. 函数的图象一个对称中心为 D．函数在区间上单调递增
【变式演练】
1.（2020届浙江省瑞安市高三上学期第一次四校联考理科数学）函数，，，，对任意的，总存在，使得成立，则的取值范围为 ．
2.（【百强校】2019届江西省南昌二中高三上学期第一次考试理科数学）已知函数（其中常数），若存在，，使得，则的取值范围为 ．
3.（2022·全国·高三专题练习）已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【题型十四】三角函数最值
【典例分析】
（2019·辽宁实验中学高三模拟）函数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.函数的值域为
A．B．C．D．
湖北省黄冈市麻城市2019-2020学年高三上学期10月月考数学（理）试题
2.设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．B．
C．D．
浙江省杭州市建人高复学校2020届高三下学期5月模拟数学试题
3.函数的最大值为_________.
2019山东省济宁一中高三数学试卷
【题型十五】万能代换与换元
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习（理））函数的最大值和最小值分别为（ ）
A． B．C．，0D．
【变式演练】
1.（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2.已知函数，若集合，则实数的取值范围为___________.
江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月第二次调研考试数学试题
3.若，那么的最大值为_________________.
广东省清远市恒大足球学校2020届高三上学期九月月考数学试题
【题型十六】图像和性质综合
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【变式演练】
1.（2019·甘肃·天水市第一中学高三阶段练习（理））已知函数 在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是
A．B．C．D．
2..（2020·四川成都·二模（文））已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3.已知，对任意的，，都存在，，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ）
A．B．C．D．

1．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和B．和2C．和D．和2
2．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
3．（浙江·高考真题（文））函数ƒ(x)＝sin xcs x＋cs 2x的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．π，1B．π，2
C．2π，1D．2π，2
4．（湖南·高考真题（理））函数f（x）=sinx-cs(x+)的值域为
A．[ -2 ,2]B．[-,]C．[-1,1 ]D．[-, ]
5．（2021·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·北京·高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
7．（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·天津·高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
9．（2020·天津·高考真题）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
10．（全国·高考真题（理））设函数=（＞0，＜）的最小正周期为，且=，则（ ）
A．在单调递减B．在单调递减
C．在单调递增D．在单调递增
11.（2022·全国·高考真题（理））记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
12．（2021·全国·高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
1（2022·全国·模拟预测（文））要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移B．向右平移
C．向左平移D．向右平移
2.（2023·全国·高三专题练习）如图是函数的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
3.（2022·全国·高三专题练习）若函数(其中)图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
4.（2022·河北沧州·二模）将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，若恰好在函数的图像上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5.（2022·全国·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6.（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若对满足的有，则_____.
2021年湖南省怀化市高三二模数学（理）试题
8.（2020·江苏·高三专题练习）已知函数是偶函数，点是函数图象的对称中心，则最小值为________.
9.函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
2020届湖南省五岳高三下学期5月联考理科数学试题
10..已知函数在上的最大值为M，最小值为m，则（ ）.
A．4B．2C．1D．0
2020届山西省运城市高三上学期期中调研测试数学（理）试题
11.函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期期中数学（理）试题
12.已知函数,,则下列说法中错误的是
A．有个零点B．最小值为
C．在区间单调递减D．的图象关于轴对称
2021年新高考北京数学高考真题变式题6-10题
13..将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1、x2有|x1-x2|min=π3，则φ=______．
14.已知函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
学海导航全国卷大联考2021届高三数学（理）试题
15.记，其中、，已知、是椭圆上的任意两点，是椭圆右顶点，则的最大值是______.
浙江省超级全能生2020届高三下学期3月联考数学试题（C卷）
16.已知点Ax1,fx1，Bx2,fx2是函数fx=2sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<0图象上的任意两点，角的终边经过点P1,-3，且当fx1-fx2=4时，x1-x2的最小值为.若x∈0,π6，不等式mfx+2m≥fx恒成立，则实数的取值范围是_____________.
北京市一零一中学2020-2021学年高三考试数学试题
【提分秘籍】
基本规律
函数名称不一致的平移，有两种方法：
诱导公式化同名
五点画图法，观察“第一零点第二零点一致性”
【提分秘籍】
基本规律
确定的步骤和方法:
(1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，；
(2)求：确定函数的周期，则可；
(3)求：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
【提分秘籍】
基本规律
利用正余弦两角和与差公式，二倍角公式，降幂公式，半角公式等恒等变形进行平移
【提分秘籍】
基本规律
1.一般情况下， 两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。
2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。
3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。
4正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。
5.一般情况下，的最大值或者最小值，必在对称轴处。
6.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。
【提分秘籍】
基本规律
三角函数图像公式，再借助五点画图法，可直观观察对应的最小值
【提分秘籍】
基本规律
大多数时候，是代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出值或者范围。
【提分秘籍】
基本规律
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
单调性
[－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上递增；
[eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上递减
[－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z)上递增；
[2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)上递减
(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)
(k∈Z)上递增
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(eq \f(π,2)＋kπ，0)
(k∈Z)
(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)
对称轴
方程
x＝eq \f(π,2)＋kπ
(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
【提分秘籍】
基本规律
1.化一法：恒等变形，化为正余弦形式
2.数形结合
【提分秘籍】
基本规律
之间的互化关系
1.
2.
【提分秘籍】
基本规律
综合运用三角函数图像和性质
【提分秘籍】
基本规律
分式型，注意化一，和分子分母因式分解约分
2.利用正余弦的有界性，构造函数，转化化归
【提分秘籍】
基本规律
三角函数中的万能公式
，，